《2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 坐標(biāo)系與參數(shù)方程第1講 坐標(biāo)系教案 理 選修4-4》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 坐標(biāo)系與參數(shù)方程第1講 坐標(biāo)系教案 理 選修4-4(5頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 坐標(biāo)系與參數(shù)方程第1講 坐標(biāo)系教案 理 選修4-4
第1講 坐標(biāo)系
【xx年高考會(huì)這樣考】
考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化以及有關(guān)圓的極坐標(biāo)問題.
【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】
復(fù)習(xí)本講時(shí),要抓住極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式這個(gè)關(guān)鍵點(diǎn),這樣就可以把極坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)問題解決,同時(shí)復(fù)習(xí)以基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法為主.
基礎(chǔ)梳理
1.極坐標(biāo)系的概念
在平面上取一個(gè)定點(diǎn)O叫做極點(diǎn);自點(diǎn)O引一條射線Ox叫做極軸;再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位、角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針方向?yàn)檎较?,這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系(如圖).設(shè)M是平面上的任一點(diǎn),極點(diǎn)O與點(diǎn)M的距離|
2、OM|叫做點(diǎn)M的極徑,記為ρ;以極軸Ox為始邊,射線OM為終邊的∠xOM叫做點(diǎn)M的極角,記為θ.有序數(shù)對(duì)(ρ,θ)稱為點(diǎn)M的極坐標(biāo),記作M(ρ,θ).
2.直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化
把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn),x軸正半軸作為極軸,且在兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位.如圖,設(shè)M是平面內(nèi)的任意一點(diǎn),它的直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)分別為(x,y)和(ρ,θ),則或
3.直線的極坐標(biāo)方程
若直線過(guò)點(diǎn)M(ρ0,θ0),且極軸到此直線的角為α,則它的方程為:ρsin(θ-α)=ρ0sin (θ0-α).
幾個(gè)特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程
(1)直線過(guò)極點(diǎn):θ=θ0和θ=π-θ0;
(2)直線過(guò)點(diǎn)M(a,0
3、)且垂直于極軸:ρcos θ=a;
(3)直線過(guò)M且平行于極軸:ρsin θ=b.
4.圓的極坐標(biāo)方程
若圓心為M(ρ0,θ0),半徑為r的圓方程為
ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ-r2=0.
幾個(gè)特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程
(1)當(dāng)圓心位于極點(diǎn),半徑為r:ρ=r;
(2)當(dāng)圓心位于M(a,0),半徑為a:ρ=2acos_θ;
(3)當(dāng)圓心位于M,半徑為a:ρ=2asin_θ.
雙基自測(cè)
1.點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(-,),那么它的極坐標(biāo)可表示為________.
解析 直接利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式.
答案
2.若曲線的極坐標(biāo)方程為ρ=2sin θ+4cos θ
4、,以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系,則該曲線的直角坐標(biāo)方程為________.
解析 ∵ρ=2sin θ+4cos θ,∴ρ2=2ρsin θ+4ρcos θ.
∴x2+y2=2y+4x,即x2+y2-2y-4x=0.
答案 x2+y2-4x-2y=0
3.(xx·西安五校一模)在極坐標(biāo)系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,曲線ρ=2sin θ與ρcos θ=-1的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為________.
解析 ρ=2sin θ的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2y=0,ρcos θ=-1的直角坐標(biāo)方程為x=-1,聯(lián)立方程,得解得即兩曲線的交點(diǎn)為(-1,1),又0≤θ<2π,因此這兩條曲線
5、的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為.
答案
4.在極坐標(biāo)系中,直線l的方程為ρsin θ=3,則點(diǎn)到直線l的距離為________.
解析 ∵直線l的極坐標(biāo)方程可化為y=3,點(diǎn)化為直角坐標(biāo)為(,1),
∴點(diǎn)到直線l的距離為2.
答案 2
5.(xx·廣州調(diào)研)在極坐標(biāo)系中,直線ρsin=2被圓ρ=4截得的弦長(zhǎng)為________.
解析 由ρsin=2,得(ρsin θ+ρcos θ)=2可化為x+y-2=0.圓ρ=4可化為x2+y2=16,由圓中的弦長(zhǎng)公式得:2 =2 =4.
答案 4
考向一 極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化
【例1】?(xx·廣州測(cè)試(二))設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為,直線l過(guò)點(diǎn)A且與
6、極軸所成的角為,則直線l的極坐標(biāo)方程為________________.
[審題視點(diǎn)] 先求直角坐標(biāo)系下的直線方程再轉(zhuǎn)化極坐標(biāo)方程.
解析 ∵點(diǎn)A的極坐標(biāo)為,∴點(diǎn)A的平面直角坐標(biāo)為(,1),又∵直線l過(guò)點(diǎn)A且與極軸所成的角為,∴直線l的方程為y-1=(x-)tan ,即x-y-2=0,∴直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos θ-ρsin θ-2=0,可整理為ρcos=1或ρsin=1或ρsin=1.
答案 ρcos=1或ρcos θ-ρsin θ-2=0或ρsin=1或ρsin=1.
(1)在由點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)時(shí),一定要注意點(diǎn)所在的象限和極角的范圍,否則點(diǎn)的極坐標(biāo)將不唯一.
(2)在
7、曲線的方程進(jìn)行互化時(shí),一定要注意變量的范圍.要注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性.
【訓(xùn)練1】 (xx·佛山檢測(cè))在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1,-).若以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,則點(diǎn)P的極坐標(biāo)可以是________.
解析 由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式ρcos θ=x,ρsin θ=y(tǒng)可得,ρcos θ=1,
ρsin θ=-,解得ρ=2,θ=2kπ-(k∈Z),故點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(k∈Z).
答案 (k∈Z)
考向二 圓的極坐標(biāo)方程的應(yīng)用
【例2】?(xx·廣州測(cè)試)在極坐標(biāo)系中,若過(guò)點(diǎn)(1,0)且與極軸垂直的直線交曲線ρ=4cos θ于A、B兩點(diǎn),則|AB|
8、=________.
[審題視點(diǎn)] 先將直線與曲線的極坐標(biāo)方程化為普通方程,再利用圓的知識(shí)求|AB|.
解析 注意到在極坐標(biāo)系中,過(guò)點(diǎn)(1,0)且與極軸垂直的直線的直角坐標(biāo)方程是x=1,曲線ρ=4cos θ的直角坐標(biāo)方程是x2+y2=4x,即(x-2)2+y2=4,圓心(2,0)到直線x=1的距離等于1,因此|AB|=2=2.
答案 2
解決此類問題的關(guān)鍵還是將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程.
【訓(xùn)練2】 (xx·深圳調(diào)研)在極坐標(biāo)系中,P,Q是曲線C:ρ=4sin θ上任意兩點(diǎn),則線段PQ長(zhǎng)度的最大值為________.
解析 由曲線C:ρ=4sin θ,得ρ2=4ρsin θ
9、,x2+y2-4y=0,x2+(y-2)2=4,即曲線C:ρ=4sin θ在直角坐標(biāo)系下表示的是以點(diǎn)(0,2)為圓心、以2為半徑的圓,易知該圓上的任意兩點(diǎn)間的距離的最大值即是圓的直徑長(zhǎng),因此線段PQ長(zhǎng)度的最大值是4.
答案 4
考向三 極坐標(biāo)方程的綜合應(yīng)用
【例3】?如圖,在圓心的極坐標(biāo)為A(4,0),半徑為4的圓中,求過(guò)極點(diǎn)O的弦的中點(diǎn)的軌跡.
[審題視點(diǎn)] 在圓上任取一點(diǎn)P(ρ0,θ0),建立P點(diǎn)與P的中點(diǎn)M的關(guān)系即可.
解 設(shè)M(ρ,θ)是所求軌跡上任意一點(diǎn).連接OM并延長(zhǎng)交圓A于點(diǎn)P(ρ0,θ0),則有θ0=θ,ρ0=2ρ.由圓心為(4,0),半徑為4的圓的極坐標(biāo)方程為ρ=8
10、cos θ,得ρ0=8cos θ0.所以2ρ=8cos θ,即ρ=4cos θ.故所求軌跡方程是ρ=4cos θ.它表示以(2,0)為圓心,2為半徑的圓.
求軌跡的方法與普通方程的方法相同,但本部分只要求簡(jiǎn)單的軌跡求法.
【訓(xùn)練3】 從極點(diǎn)O作直線與另一直線ρcos θ=4相交于點(diǎn)M,在OM上取一點(diǎn)P,使|OM|·|OP|=12,求點(diǎn)P的軌跡方程.
解 設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(ρ,θ),則M(ρ0,θ).
∵|OM|·|OP|=12.∵ρ0ρ=12.ρ0=.
又M在直線ρcos θ=4上,∴cos θ=4,∴ρ=3cos θ.這就是點(diǎn)P的軌跡方程.
高考中極坐標(biāo)問題的求解策略
從近兩年新課標(biāo)高考試題可以看出,高考對(duì)該部分重點(diǎn)考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化以及圓的極坐標(biāo)問題,但各省市的要求不盡相同.
【示例1】? (xx·安徽)在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)到圓ρ=2cos θ的圓心的距離為
( ).
A.2 B. C. D.
【示例2】? (xx·廣東)在極坐標(biāo)系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,曲線ρ(cos θ+sin θ) =1與ρ(sin θ-cos θ)=1的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為________.