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1、2022年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫 第九章 第8節(jié) n次獨立重復(fù)試驗與二項分布 理（含解析） 1．（xx新課標(biāo)全國Ⅱ，5分）某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是(　　) A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45 解析：根據(jù)條件概率公式P(B|A)＝，可得所求概率為＝0.8. 答案：A 2．（xx廣東，13分）隨機(jī)觀測生產(chǎn)某種零件的某工廠25名工人的日加工零件數(shù)(單位：件)，獲得數(shù)據(jù)如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25

2、,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36. 根據(jù)上述數(shù)據(jù)得到樣本的頻率分布表如下： 分組 頻數(shù) 頻率 [25,30] 3 0.12 (30,35] 5 0.20 (35,40] 8 0.32 (40,45] n1 f1 (45,50] n2 f2 (1)確定樣本頻率分布表中n1，n2，f1和f2的值； (2)根據(jù)上述頻率分布表，畫出樣本頻率分布直方圖； (3)根據(jù)樣本頻率分布直方圖，求在該廠任取4人，至少有1人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間(30,35]的概率． 解：(1)根據(jù)已知數(shù)據(jù)統(tǒng)計出n1＝7，

3、n2＝2； 計算得f1＝0.28，f2＝0.08. (2)由于組距為5，用得各組的縱坐標(biāo)分別為0.024，0.040,0.064,0.056,0.016. 不妨以0.008為縱坐標(biāo)的一個單位長、5為橫坐標(biāo)的一個單位長畫出樣本頻率分布直方圖如下： (3)根據(jù)樣本頻率分布直方圖，以頻率估計概率，則在該廠任取1人，其日加工零件數(shù)落在區(qū)間(30,35]的頻率為0.2，估計其概率為0.2. 所以在該廠任取4人，至少有1人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間(30,35]的概率P＝1－C(0.2)0(1－0.2)4＝0.590 4. 3．（xx遼寧，12分）一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日

4、銷售量的頻率分布直方圖．如圖所示． 將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨立． (1)求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率； (2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)． 解：(1)設(shè)A1表示事件“日銷售量不低于100個”，A2表示事件“日銷售量低于50個”，B表示事件“在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個”，因此 P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6， P(A2)＝0.

5、003×50＝0.15， P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108. (2)X可能取的值為0,1,2,3，相應(yīng)的概率為 P(X＝0)＝C·(1－0.6)3＝0.064， P(X＝1)＝C·0.6(1－0.6)2＝0.288， P(X＝2)＝C·0.62(1－0.6)＝0.432， P(X＝3)＝C·0.63＝0.216. X的分布列為 X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 因為X～B(3,0.6)，所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72. 4．（xx四川，12分）

6、一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂獲得20分，出現(xiàn)三次音樂獲得100分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分(即獲得－200分)．設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨立． (1)設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為X，求X的分布列； (2)玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少？ (3)玩過這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn)，若干盤游戲后，與最初的分?jǐn)?shù)相比，分?jǐn)?shù)沒有增加反而減少了．請運用概率統(tǒng)計的相關(guān)知識分析分?jǐn)?shù)減少的原因． 解：(1)X可能的取值為：10,20,100，－200.根據(jù)題意，

7、有 P(X＝10)＝C×1×2＝， P(X＝20)＝C×2×1＝， P(X＝100)＝C×3×0＝， P(X＝－200)＝C×0×3＝. 所以X的分布列為 X 10 20 100 －200 P (2)設(shè)“第i盤游戲沒有出現(xiàn)音樂”為事件Ai(i＝1,2,3)，則P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝. 所以“三盤游戲中至少有一次出現(xiàn)音樂”的概率為1－P(A1A2A3)＝1－3＝1－＝. 因此，玩三盤游戲至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是. (3)X的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝10×＋20×＋100×－200×＝－. 這表明，獲得分?jǐn)?shù)X的均值為負(fù)

8、， 因此，多次游戲之后分?jǐn)?shù)減少的可能性更大． 5．（xx湖北，12分）計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機(jī)的水電站，過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量X(年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和，單位：億立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年．將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨立． (1)求未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率； (2)水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運行臺數(shù)受年入流量X限制，并有如下關(guān)系： 年入流量X 40

9、80≤X≤120 X>120 發(fā)電機(jī)最多 可運行臺數(shù) 1 2 3 若某臺發(fā)電機(jī)運行，則該臺年利潤為5 000萬元；若某臺發(fā)電機(jī)未運行，則該臺年虧損800萬元．欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺？ 解：(1)依題意，p1＝P(40120)＝＝0.1. 由二項分布，在未來4年中至多有1年的年入流量超過120的概率為p＝C(1－p3)4＋C(1－p3)3p3＝4＋4×3×＝0.947 7. (2)記水電站年總利潤為Y(單位：萬元)． ①安裝1臺發(fā)電機(jī)的情形． 由于水庫年入流

10、量總大于40，故一臺發(fā)電機(jī)運行的概率為1，對應(yīng)的年利潤Y＝5 000，E(Y)＝5 000×1＝5 000. ②安裝2臺發(fā)電機(jī)的情形． 依題意，當(dāng)40

11、． 依題意，當(dāng)40120時，三臺發(fā)電機(jī)運行，此時Y＝5 000×3＝15 000，因此P(Y＝15 000)＝P(X>120)＝p3＝0.1.因此得Y的分布列如下： Y 3 400 9 200 15 000 P 0.2 0.7 0.1 所以，E(Y)＝3 400×0.2＋9 200×0.

12、7＋15 000×0.1＝8 620. 綜上，欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺． 6．（xx安徽，13分）某高校數(shù)學(xué)系計劃在周六和周日各舉行一次主題不同的心理測試活動，分別由李老師和張老師負(fù)責(zé)．已知該系共有n位學(xué)生，每次活動均需該系k位學(xué)生參加(n和k都是固定的正整數(shù))．假設(shè)李老師和張老師分別將各自活動通知的信息獨立、隨機(jī)地發(fā)給該系k位學(xué)生，且所發(fā)信息都能收到．記該系收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的學(xué)生人數(shù)為X. (1)求該系學(xué)生甲收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的概率； (2)求使P(X＝m)取得最大值的整數(shù)m. 解：本題主要考查古典概型，計數(shù)原理，分類

13、討論思想等基礎(chǔ)知識和基本技能，考查抽象的思想，邏輯推理能力，運算求解能力，以及運用數(shù)學(xué)知識分析和解決實際問題的能力． (1)因為事件A：“學(xué)生甲收到李老師所發(fā)信息”與事件B：“學(xué)生甲收到張老師所發(fā)信息”是相互獨立的事件，所以與相互獨立．由于P(A)＝P(B)＝＝，故P()＝P()＝1－，因此學(xué)生甲收到活動通知信息的概率P＝1－2＝. (2)當(dāng)k＝n時，m只能取n，有P(X＝m)＝P(X＝n)＝1. 當(dāng)k

14、發(fā)信息的學(xué)生人數(shù)恰為2k－m，僅收到李老師或僅收到張老師轉(zhuǎn)發(fā)信息的學(xué)生人數(shù)均為m－k.由乘法計數(shù)原理知： 事件{X＝m}所含基本事件數(shù)為 CCC＝CCC.此時 P(X＝m)＝＝. 當(dāng)k≤m

15、k

16、型、離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力、應(yīng)用意識，考查必然與或然思想． 法一：(1)由已知得，小明中獎的概率為，小紅中獎的概率為，且兩人中獎與否互不影響． 記“這兩人的累計得分X≤3”的事件為A， 則事件A的對立事件為“X＝5”， 因為P(X＝5)＝×＝，所以P(A)＝1－P(X＝5)＝， 即這兩人的累計得分X≤3的概率為. (2)設(shè)小明、小紅都選擇方案甲抽獎中獎次數(shù)為X1，都選擇方案乙抽獎中獎次數(shù)為X2，則這兩人選擇方案甲抽獎累計得分的數(shù)學(xué)期望為E(2X1)，選擇方案乙抽獎累計得分的數(shù)學(xué)期望為E(3X2)． 由已知可得，X1～B，X2～B

17、， 所以E(X1)＝2×＝，E(X2)＝2×＝， 從而E(2X1)＝2E(X1)＝，E(3X2)＝3E(X2)＝. 因為E(2X1)>E(3X2)， 所以他們都選擇方案甲進(jìn)行抽獎時，累計得分的數(shù)學(xué)期望較大． 法二：(1)由已知得，小明中獎的概率為，小紅中獎的概率為，且兩人中獎與否互不影響． 記“這兩人的累計得分X≤3”的事件為A， 則事件A包含有“X＝0”，“X＝2”，“X＝3”三個兩兩互斥的事件， 因為P(X＝0)＝×＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝×＝， 所以P(A)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝， 即這兩人的累計得分X≤3的概率為. (2)設(shè)小明

18、、小紅都選擇方案甲所獲得的累計得分為X1，都選擇方案乙所獲得的累計得分為X2，則X1，X2的分布列如下： X1 0 2 4 P 　 X2 0 3 6 P 所以E(X1)＝0×＋2×＋4×＝， E(X2)＝0×＋3×＋6×＝. 因為E(X1)>E(X2)，所以他們都選擇方案甲進(jìn)行抽獎時，累計得分的數(shù)學(xué)期望較大． 8．（xx四川，12分）某算法的程序框圖如圖所示，其中輸入的變量x在1,2,3，…，24這24個整數(shù)中等可能隨機(jī)產(chǎn)生． (1)分別求出按程序框圖正確編程運行時輸出y的值為i的概率Pi(i＝1,2,3)； (2)甲、乙兩同學(xué)依據(jù)自己

19、對程序框圖的理解，各自編寫程序重復(fù)運行n次后，統(tǒng)計記錄了輸出y的值為i(i＝1,2,3)的頻數(shù)．以下是甲、乙所作頻數(shù)統(tǒng)計表的部分?jǐn)?shù)據(jù)． 甲的頻數(shù)統(tǒng)計表(部分) 運行次數(shù)n 輸出y的值為1的頻數(shù) 輸出y的值為2的頻數(shù) 輸出y的值為3的頻數(shù) 30 14 6 10 … … … … 2 100 1 027 376 697 乙的頻數(shù)統(tǒng)計表(部分) 運行次數(shù)n 輸出y的值為1的頻數(shù) 輸出y的值為2的頻數(shù) 輸出y的值為3的頻數(shù) 30 12 11 7 … … … … 2 100 1 051 696 353 當(dāng)n＝2 100時，根據(jù)表

20、中的數(shù)據(jù)，分別寫出甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i＝1,2,3)的頻率(用分?jǐn)?shù)表示)，并判斷兩位同學(xué)中哪一位所編程序符合算法要求的可能性較大； (3)將按程序框圖正確編寫的程序運行3次，求輸出y的值為2的次數(shù)ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望． 解：本題主要考查算法與程序框圖、古典概型、獨立重復(fù)試驗、隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、頻數(shù)、頻率等概念及相關(guān)計算，考查運用統(tǒng)計與概率的知識解決實際問題的能力，考查數(shù)據(jù)處理能力、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識． (1)變量x是在1,2,3，…，24這24個整數(shù)中隨機(jī)產(chǎn)生的一個數(shù)，共有24種可能． 當(dāng)x從1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23這12個

21、數(shù)中產(chǎn)生時，輸出y的值為1，故P1＝； 當(dāng)x從2,4,8,10,14,16,20,22這8個數(shù)中產(chǎn)生時，輸出y的值為2，故P2＝； 當(dāng)x從6,12,18,24這4個數(shù)中產(chǎn)生時，輸出y的值為3，故P3＝. 所以，輸出y的值為1的概率為，輸出y的值為2的概率為，輸出y的值為3的概率為. (2)當(dāng)n＝2 100時，甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i＝1,2,3)的頻率如下： 輸出y的值為1的頻率 輸出y的值為2的頻率 輸出y的值為3的頻率 甲 乙 比較頻率趨勢與概率，可得乙同學(xué)所編程序符合算法要求的可能性較大． (3)隨機(jī)變量ξ可能的取值為0,

22、1,2,3. P(ξ＝0)＝C×0×3＝， P(ξ＝1)＝C×1×2＝， P(ξ＝2)＝C×2×1＝， P(ξ＝3)＝C×3×0＝， 故ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P 所以，Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝1. 即ξ的數(shù)學(xué)期望為1. 9．（xx新課標(biāo)全國，5分）某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1 000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)期望為(　　) A．100 B．200 C．300 D．400 解析：記“不發(fā)芽的種子數(shù)為ξ”，則ξ～B(1 000,0.1)，所以Eξ＝1 000

23、×0.1＝100，而X＝2ξ，故EX＝E(2ξ)＝2Eξ＝200. 答案：B 10．（xx安徽，5分）甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球．先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機(jī)取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件．則下列結(jié)論中正確的是________(寫出所有正確結(jié)論的編號)． ①P(B)＝； ②P(B|A1)＝； ③事件B與事件A1相互獨立； ④A1，A2，A3是兩兩互斥的事件； ⑤P(B)的值不能確定，因為它與A1，A2，A3中究竟哪一個發(fā)生有關(guān)． 解析

24、：由題意知P(B)的值是由A1，A2，A3中某一個事件發(fā)生所決定的，故①③錯誤； ∵P(B|A1)＝＝＝，故②正確； 由互斥事件的定義知④正確，故正確的結(jié)論的編號是②④. 答案：②④ 11．（xx遼寧，12分）電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查．下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖： 將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”． (1)根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)？ 非體育迷 體育迷 合計 男 女10 5

25、5 合計 (2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率．現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X.若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X)． 附：χ2＝， P(χ2≥k) 0.05 0.01 k 3.841 6.635 解：(1)由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“體育迷”有25人，從而2×2列聯(lián)表如下： 非體育迷 體育迷 合計 男 30 15 45 女 45 10 55 合計 75 25 100 將2×2列聯(lián)

26、表中的數(shù)據(jù)代入公式計算，得χ2＝＝＝≈3.030. 因為3.030<3.841，所以沒有理由認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)． (2)由頻率分布直方圖知抽到“體育迷”的頻率為0.25，將頻率視為概率，即從觀眾中抽取一名“體育迷”的概率為. 由題意X～B(3，)，從而X的分布列為 X 0 1 2 3 P E(X)＝np＝3×＝， 12．(2011天津，13分)學(xué)校游園活動有這樣一個游戲項目：甲箱子里裝有3個白球、2個黑球，乙箱子里裝有1個白球、2個黑球，這些球除顏色外完全相同．每次游戲從兩個箱子里各隨機(jī)摸出2個球，若摸出的白球不少于2個，則獲獎．(每次游戲結(jié)束后將球

27、放回原箱) (1)求在1次游戲中， (ⅰ)摸出3個白球的概率； (ⅱ)獲獎的概率； (2)求在2次游戲中獲獎次數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)． 解：(1)(ⅰ)設(shè)“在1次游戲中摸出i個白球”為事件Ai(i＝0,1,2,3)，則P(A3)＝·＝. (ⅱ)設(shè)“在1次游戲中獲獎”為事件B，則B＝A2∪A3. 又P(A2)＝·＋·＝，且A2，A3互斥， 所以P(B)＝P(A2)＋P(A3)＝＋＝. (2)由題意可知X的所有可能取值為0,1,2. P(X＝0)＝(1－)2＝， P(X＝1)＝C×(1－)＝， P(X＝2)＝()2＝. 所以X的分布列是 X 0 1 2

28、P X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 13．(xx廣東，12分)某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機(jī)抽取該流水線上40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的重量(單位：克)，重量的分組區(qū)間為(490,495]，(495,500]，…，(510,515]，由此得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示． (1)根據(jù)頻率分布直方圖，求重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量； (2)在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)Y為重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的分布列； (3)從該流水線上任取5件產(chǎn)品，求恰有2件產(chǎn)品的重量超過505克的概率． 解：(1)根據(jù)頻率分布直方圖可知，重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為[(0.01＋0.05)×5]×40＝12(件)． (2)Y的可能取值為0,1,2. P(Y＝0)＝＝. P(Y＝1)＝＝. P(Y＝2)＝＝. Y的分布列為 Y 0 1 2 P (3)利用樣本估計總體，該流水線上產(chǎn)品重量超過505克的概率為0.3. 令ξ為任取的5件產(chǎn)品中重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量， 則ξ～B(5,0.3)， 故所求概率為P(ξ＝2)＝C(0.3)2(0.7)3＝0.308 7.