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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二講 橢圓講練 理 新人教A版 一、橢圓的定義 　平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫橢圓． 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c為常數(shù)． (1)若2a＞|F1F2|，則集合P為橢圓； (2)若2a＝|F1F2|，則集合P為線段； (3)若2a＜|F1F2|，則集合P為空集． 二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 圖形 性 質(zhì) 范圍 －a≤x≤a －b≤x≤b －b≤y≤b －a≤

2、y≤a 對(duì)稱性 對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn) 頂點(diǎn) A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b,0)，B2(b,0) 離心率 e＝∈(0,1) a，b，c的關(guān)系 c2＝a2－b2 點(diǎn)P(x0，y0)和橢圓的關(guān)系 (1)點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓內(nèi)?＋＜1； (2)點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓上?＋＝1； (3)點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓外?＋＞1. 基礎(chǔ)自測(cè) 1．設(shè)P是橢圓＋＝1上的點(diǎn)，若F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則|PF1|＋|PF2|等于(　　) A．4　　　　B．5　　　　C．8

3、　　　　D．10 【解析】　依橢圓的定義知：|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10. 【答案】　D 2．“－3＜m＜5”是“方程＋＝1表示橢圓”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【解析】　要使方程＋＝1表示橢圓，應(yīng)滿足5－m＞0，m＋3＞0且5－m≠m＋3， 解之得－3＜m＜5且m≠1， ∴“－3＜m＜5”是“方程＋＝1表示橢圓”的必要不充分條件． 【答案】　B 3．橢圓＋＝1的離心率為，則k的值為(　　) A．－21 B．21 C．－或21 D.或21 【解析】　若a2＝9，b2＝4＋k，則c＝，

4、 由＝即＝，得k＝－； 若a2＝4＋k，b2＝9，則c＝， 由＝，即＝，解得k＝21. 【答案】　C 4．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸，離心率為，且過點(diǎn)P(－5,4)，則橢圓的方程為________． 【解析】　設(shè)橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)，由于＝，故a2＝5c2，b2＝4c2，橢圓方程為＋＝1，P(－5,4)在橢圓上代入解得c2＝9，于是所求橢圓的方程為＋＝1. 【答案】　＋＝1 考點(diǎn)一 　橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程 例 [xx·全國(guó)卷] 已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為，過F2的直線l交C于A，B兩點(diǎn)．若△AF1B的周長(zhǎng)為4 ，則C的方程

5、為(　　) A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案：4，所以a＝.又因?yàn)闄E圓的離心率e＝＝，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以橢圓C的方程為＋＝1. 方法與技巧　1.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法：①定義法；②待定系數(shù)法；③軌跡方程法. (2)確定橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程需要一個(gè)“定位”條件，兩個(gè)“定量”條件，“定位”是指確定焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上，“定量”是指確定a、b的值.運(yùn)用待定系數(shù)法時(shí)，常結(jié)合橢圓性質(zhì)，已知條件，列關(guān)于a，b，c的方程. 2.涉及橢圓焦點(diǎn)三角形有關(guān)的計(jì)算或證明，常利用正(余)弦定理、橢圓定義，向量運(yùn)算，并注意|PF1|＋|PF2|與|PF1|

6、·|PF2|整體代換. 跟蹤練習(xí) (xx·大綱全國(guó)卷)已知F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F2且垂直于x軸的直線交C于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝3，則C的方程為(　　) A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 【解析】　由題意知橢圓焦點(diǎn)在x軸上，且c＝1，可設(shè)C的方程為＋＝1(a＞1)，由過F2且垂直于x軸的直線被C截得的弦長(zhǎng)|AB|＝3，知點(diǎn)必在橢圓上，代入橢圓方程化簡(jiǎn)得4a4－17a2＋4＝0，所以a2＝4或a2＝(舍去)．故橢圓C的方程為＋＝1. 【答案】　C 考點(diǎn)二 　橢圓的幾何性質(zhì) 例 (1)(xx·遼寧高考)已知橢圓C：＋＝1(

7、a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，C與過原點(diǎn)的直線相交于A，B兩點(diǎn)，連接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝，則C的離心率為(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. (2)已知橢圓：＋＝1(0＜b＜3)，左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若||＋||的最大值為8，則b的值是(　　) A．2 B. C. D. 【思路點(diǎn)撥】　(1)利用余弦定理確定AF，進(jìn)而判定△ABF的形狀，利用橢圓定義及直角三角形性質(zhì)確定離心率． (2)因△AF2B的周長(zhǎng)等于兩個(gè)長(zhǎng)軸長(zhǎng)，欲使||＋||的值最大，只需|AB|最小，利用橢圓的性質(zhì)可求得b的值． 【

8、嘗試解答】　(1)在△ABF中，|AF|2＝|AB|2＋|BF|2－2|AB|·|BF|·cos∠ABF＝102＋82－2×10×8×＝36，則|AF|＝6.由|AB|2＝|AF|2＋|BF|2可知，△ABF是直角三角形，OF為斜邊AB的中線，c＝|OF|＝＝5.設(shè)橢圓的另一焦點(diǎn)為F1，因?yàn)辄c(diǎn)O平分AB，有平分FF1，所以四邊形AFBF1為平行四邊形，所以|BF|＝|AF1|＝8.由橢圓的性質(zhì)可知|AF|＋|AF1|＝14＝2a?a＝7，則e＝＝. (2)∵F1、F2為橢圓＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)， ∴|AF1|＋|AF2|＝6，|BF1|＋|BF2|＝6， △AF2B的周長(zhǎng)為|AB|＋|A

9、F2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝12， 當(dāng)|AB|最小時(shí)，||＋||的值最大， 又當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，|AB|最小，此時(shí)|AB|＝， 故12－＝8，∴b＝. 【答案】　(1)B　(2)D 方法與技巧　1.求橢圓的離心率，其法有三：一是通過已知條件列方程組，解出a，c的值；二是由已知條件得出關(guān)于a，c的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的一元二次方程求解；三是通過取特殊值或特殊位置，求出離心率. 2.e與a，b間的關(guān)系e2＝＝1－2. 跟蹤練習(xí) (xx·福建高考)橢圓Γ：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c.若直線y＝(x＋

10、c)與橢圓Γ的一個(gè)交點(diǎn)M滿足∠MF1F2＝2∠MF2F1，則該橢圓的離心率等于________． 【解析】　已知F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)， 直線y＝(x＋c)過點(diǎn)F1，且斜率為， ∴傾斜角∠MF1F2＝60°. ∵∠MF2F1＝∠MF1F2＝30°， ∴∠F1MF2＝90°，∴|MF1|＝c，|MF2|＝c. 由橢圓定義知|MF1|＋|MF2|＝c＋c＝2a， ∴離心率e＝＝＝－1. 【答案】?。? 考點(diǎn)三 　直線與橢圓的位置關(guān)系 例 [xx·江蘇卷] 如圖1-5所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0

11、，b)，連接BF2并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作x軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn)C，連接F1C. (1)若點(diǎn)C的坐標(biāo)為，且BF2＝，求橢圓的方程； (2)若F1C⊥AB，求橢圓離心率e的值． 圖1-5 解： 設(shè)橢圓的焦距為2c, 則 F1(－c, 0), F2(c, 0)． (1)因?yàn)锽(0, b), 所以BF2＝＝a.又BF2＝， 故a＝. 因?yàn)辄c(diǎn)C在橢圓上，所以＋＝1，解得b2＝1. 故所求橢圓的方程為＋y2＝1. (2)因?yàn)锽(0, b), F2(c, 0)在直線 AB 上，所以直線 AB 的方程為 ＋＝1. 解方程組得 所以點(diǎn) A 的坐標(biāo)為. 又AC 垂直于x 軸， 由

12、橢圓的對(duì)稱性，可得點(diǎn) C 的坐標(biāo)為. 因?yàn)橹本€ F1C的斜率為＝，直線AB的斜率為－，且F1C⊥AB，所以·＝－1.又b2＝a2－c2，整理得a2＝5c2，故e2＝， 因此e＝. 方法與技巧　直線與橢圓相交問題解題策略,當(dāng)直線與橢圓相交時(shí)：涉及弦長(zhǎng)問題，常用“根與系數(shù)的關(guān)系”設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)；涉及求過定點(diǎn)的弦中點(diǎn)的軌跡和求被定點(diǎn)平分的弦所在的直線方程問題，常用“點(diǎn)差法”設(shè)而不求，將動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)、弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化.其中，判別式大于零是檢驗(yàn)所求參數(shù)的值有意義的依據(jù). 跟蹤練習(xí) 已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，左焦點(diǎn)為F(－2,0)． (1)求橢圓C的方程； (2)若直線y＝x＋m與曲線C交于不同的A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)M在圓x2＋y2＝1上，求m的值． 【解】　(1)由題意得＝，c＝2 ∴a＝2，b2＝a2－c2＝4. 所以橢圓c的方程為：＋＝1. (2)設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，線段AB的中點(diǎn)為M(x0，y0)， 由，消去y得3x2＋4mx＋2m2－8＝0 ∵Δ＝96－8m2＞0，∴－2＜m＜2 ∴x0＝＝－，y1＝x0＋m＝ ∵點(diǎn)M(x0，y0)在圓x2＋y2＝1上， ∴2＋2＝1，即m＝±. ∵±∈(－2，2)， ∴所求m的值為±.