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2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1章 常用邏輯用語章末復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教B版選修1-1

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1、第1章 常用邏輯用語 充分條件、必要條件與充要條件的探究 【例1】 已知p:-2

2、條件、必要條件與充要條件的判定,實際上是對命題真假的判定,記“若p,則q”為真命題,記為“p?q”,“若p,則q”為假命題,記為“pq”. 提醒:充分條件、必要條件與充要條件的探究,需要從兩個方面加以論證,切勿漏掉其中一個方面. 1.已知p:{x|-2≤x≤10},q:{x|x2-2x+1-m2≤0,m>0},若p是q的充分不必要條件,求實數(shù)m的取值范圍. [解] 法一:令A(yù)={x|-2≤x≤10}, B={x|x2-2x+1-m2≤0,m>0} ={x|[x-(1-m)][x-(1+m)]≤0,m>0} ={x|1-m≤x≤1+m,m>0}. ∵p是q的充分不必要條

3、件,∴AB. ∴或解得m≥9. 故實數(shù)m的取值范圍是{m|m≥9}. 法二:∵p是q的充分不必要條件,∴﹁p是﹁q的必要不充分條件. 由法一知p:A={x|-2≤x≤10},q:B={x|1-m≤x≤1+m,m>0}, ∴﹁p:C={x|x<-2或x>10},﹁q:D={x|x<1-m或x>1+m,m>0}. ∴DC,∴或 解得m≥9.故實數(shù)m的取值范圍是{m|m≥9}. 命題的否定與否命題 【例2】 寫出下列命題的否定和否命題: (1)若x=2或x=-1,則x2-x-2=0; (2)若集合B真包含于集合A,則集合A包含于集合B. [解] (1)命題的否定:若x=2

4、或x=-1,則x2-x-2≠0. 否命題:若x≠2且x≠-1,則x2-x-2≠0. (2)命題的否定:若集合B真包含于集合A,則集合A不包含于集合B. 否命題:若集合B不真包含于集合A,則集合A不包含于集合B. 命題的否定與否命題的區(qū)別 (1)定義 命題的否定一般是直接對命題的結(jié)論進(jìn)行否定,而否命題是對原命題的條件和結(jié)論分別否定組成的命題. (2)構(gòu)成形式 對于“若p,則q”形式的命題,其命題的否定為“若p,則q”,而其否命題的形式為“若p,則q”. (3)與原命題的真假關(guān)系 命題的否定與原命題的真假性總是相對的,即一真一假,而否命題與原命題的真假性無必然聯(lián)系.

5、 2.請寫出下列命題的否命題和命題的否定. (1)若|x|+|y|=0,則x=y(tǒng)=0; (2)若△ABC是等腰三角形,則它有兩個內(nèi)角相等; (3)若x2-3x-4≤0,則-1≤x≤4. [解] (1)否命題:若|x|+|y|≠0,則x,y中至少有一個不為0; 命題的否定:若|x|+|y|=0,則x,y中至少有一個不為0. (2)否命題:若△ABC不是等腰三角形,則它的任意兩個內(nèi)角都不相等; 命題的否定:若△ABC是等腰三角形,則它的任意兩個內(nèi)角都不相等. (3)否命題:若x2-3x-4>0,則x<-1或x>4; 命題的否定:若x2-3x-4≤0,則x<-1或x>4

6、. 等價轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用 【例3】 已知c>0,設(shè)p:函數(shù)y=cx在R上單調(diào)遞減;q:不等式x+|x-2c|>1的解集為R.如果p和q有且僅有一個為真命題,求c的取值范圍. [解] 函數(shù)y=cx在R上單調(diào)遞減?0<c<1. 不等式x+|x-2c|>1的解集為R?函數(shù)y=x+|x-2c|在R上恒大于1. ∵x+|x-2c|= 函數(shù)y=x+|x-2c|在R上的最小值為2c,∴2c>1,得c>. 如果p真q假,則 解得0

7、的相互轉(zhuǎn)化與集合之間的等價轉(zhuǎn)化、原命題與其逆否命題之間的等價轉(zhuǎn)化等,即以充要條件為基礎(chǔ),把同一種數(shù)學(xué)意義的內(nèi)容從一種數(shù)學(xué)語言形式等價轉(zhuǎn)化為另一種數(shù)學(xué)語言形式,從而使復(fù)雜問題簡單化、具體化. 3.已知命題p:(x+1)(x-5)≤0,命題q:1-m≤x<1+m(m>0). (1)若p是q的充分條件,求實數(shù)m的取值范圍; (2)若m=5,“p∨q”為真命題,“p∧q”為假命題,求實數(shù)x的取值范圍. [解] (1)由命題p:(x+1)(x-5)≤0,解得-1≤x≤5. 命題q:1-m≤x<1+m(m>0). ∵p是q的充分條件, ∴[-1,5]?[1-m,1+m), ∴解

8、得m>4, 則實數(shù)m的取值范圍為(4,+∞). (2)∵m=5,∴命題q:-4≤x<6. ∵“p∨q”為真命題,“p∧q”為假命題, ∴命題p,q為一真一假. 當(dāng)p真q假時,可得 解得x∈?. 當(dāng)q真p假時,可得 解得-4≤x<-1或5

9、,方程①有實數(shù)根的充要條件是Δ=16-4×4m≥0?m≤1; 方程②有實數(shù)根的充要條件是 Δ=16m2-4(4m2-4m-5)≥0?m≥-. ∴-≤m≤1.又∵m∈Z,∴m=-1或m=1. 當(dāng)m=-1時,方程①為x2+4x-4=0, 無整數(shù)根; 當(dāng)m=1時,方程①為x2-4x+4=0, 方程②為x2-4x-5=0. 此時①和②均有整數(shù)根. 綜上,方程①和②均有整數(shù)根的充要條件是m=1. 分類討論思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的數(shù)學(xué)思想之一,利用分類討論思想解答問題已成為高考中考查學(xué)生知識和能力的熱點.解題中要找清討論的標(biāo)準(zhǔn). 4.已知p:≥2;q:x2-ax≤x-a.若p是q的充分條件,求實數(shù)a的取值范圍. [解] ∵p:≥2, ∴≤0,即1≤x<3. 又∵q:x2-ax≤x-a, ∴x2-(a+1)x+a≤0. ①當(dāng)a<1時,a≤x≤1; ②當(dāng)a=1時,x=1; ③當(dāng)a>1時,1≤x≤a. 設(shè)q對應(yīng)的集合為A,p對應(yīng)的集合為B, ∵p是q的充分條件,∴?RB??RA,即A?B. 當(dāng)a<1時,AB,不合題意; 當(dāng)a=1時,A?B,符合題意; 當(dāng)a>1時,1≤x≤a,要使A?B,則1<a<3. 綜上,符合條件的a∈[1,3). - 6 -

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