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1、2022年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫 第八章 第5節(jié) 橢圓 理(含解析)
1.(xx安徽,5分)若F1,F(xiàn)2分別是橢圓E:x2+=1(0
2、=1,點M與C的焦點不重合.若M關(guān)于C的焦點的對稱點分別為A,B,線段MN的中點在C上,則|AN|+|BN|=________.
解析:設(shè)MN交橢圓于點P,連接F1P和F2P(其中F1、F2是橢圓C的左、右焦點),利用中位線定理可得|AN|+|BN|=2|F1P|+2|F2P|=2×2a=4a=12.
答案:12
3.(xx新課標(biāo)全國Ⅰ,12分)已知點A(0,-2),橢圓E:+=1(a>b>0)的離心率為,F(xiàn)是橢圓E的右焦點,直線AF的斜率為,O為坐標(biāo)原點.
(1)求E的方程;
(2)設(shè)過點A的動直線l與E相交于P,Q兩點.當(dāng)△OPQ的面積最大時,求l的方程.
解:(1)設(shè)F(c,
3、0),由條件知,=,得c=.
又=,所以a=2,b2=a2-c2=1.
故E的方程為+y2=1.
(2)當(dāng)l⊥x軸時不合題意,故設(shè)l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).
將y=kx-2代入+y2=1,
得(1+4k2)x2-16kx+12=0.
當(dāng)Δ=16(4k2-3)>0,即k2>時,
x1,2=.
從而|PQ|=|x1-x2|=.
又點O到直線PQ的距離d=.
所以△OPQ的面積S△OPQ=d·|PQ|=.
設(shè) =t,則t>0,S△OPQ==.
因為t+≥4,當(dāng)且僅當(dāng)t=2,即k=±時等號成立,且滿足Δ>0.
所以,當(dāng)△OPQ的面積最大時,l的方程
4、為y=x-2或y=-x-2.
4.(xx江蘇,14分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點,頂點B的坐標(biāo)為(0,b),連結(jié)BF2并延長交橢圓于點A,過點A作x軸的垂線交橢圓于另一點C,連結(jié)F1C.
(1)若點C的坐標(biāo)為,且BF2=,求橢圓的方程;
(2)若F1C⊥AB,求橢圓離心率e的值.
解:設(shè)橢圓的焦距為2c,則F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0).
(1)因為B(0,b),所以BF2==a.
又BF2=,故a=.
因為點C在橢圓上,所以+=1.
解得b2=1.
故所求橢圓的方程為+y2=1.
(2)因為B(0,b),F(xiàn)2(c
5、,0)在直線AB上,
所以直線AB的方程為+=1.
解方程組得或
所以點A的坐標(biāo)為.
又AC垂直于x軸,由橢圓的對稱性,可得點C的坐標(biāo)為.
因為直線F1C的斜率為=,直線AB的斜率為-,且F1C⊥AB,
所以·=-1.
又b2=a2-c2,整理得a2=5c2.故e2=.
因此e=.
5.(xx福建,14分)設(shè)P,Q分別為圓x2+(y-6)2=2和橢圓+y2=1上的點,則P,Q兩點間的最大距離是( )
A.5 B.+
C.7+ D.6
解析:選D 設(shè)圓的圓心為C,則C(0,6),半徑為r=,點C到橢圓上的點Q(cos α,sin α)的距離|CQ|===≤
6、=5,當(dāng)且僅當(dāng)sin α=-時取等號,所以|PQ|≤|CQ|+r=5+=6,即P,Q兩點間的最大距離是6,故選D.
6.(xx江西,14分)過點M(1,1)作斜率為-的直線與橢圓C:+=1(a>b>0)相交于A,B兩點,若M是線段AB的中點,則橢圓C的離心率等于________.
解析:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),分別代入橢圓方程相減得+=0,根據(jù)題意有x1+x2=2×1=2,y1+y2=2×1=2,且=-,所以+×=0,得a2=2b2,所以a2=2(a2-c2),整理得a2=2c2得=,所以e=.
答案:.
7.(xx天津,14分)設(shè)橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點分別
7、為F1,F(xiàn)2,右頂點為A,上頂點為B.已知|AB|=|F1F2|.
(1)求橢圓的離心率;
(2)設(shè)P為橢圓上異于其頂點的一點,以線段PB為直徑的圓經(jīng)過點F1,經(jīng)過原點O的直線l與該圓相切.求直線的斜率.
解析:(1)設(shè)橢圓右焦點F2的坐標(biāo)為(c,0).
由|AB|=|F1F2|,可得a2+b2=3c2,
又b2=a2-c2,則=.
所以橢圓的離心率e=.
(2)由(1)知a2=2c2,b2=c2.故橢圓方程為+=1.
設(shè)P(x0,y0),由F1(-c,0),B(0,c),
有=(x0+c,y0),=(c,c).
由已知,有·=0,即(x0+c)c+y0c=0.
又c≠0
8、,故有x0+y0+c=0.?、?
又因為點P在橢圓上,故+=1. ②
由①和②可得3x+4cx0=0.而點P不是橢圓的頂點,故x0=-c,代入①得y0=,則點P的坐標(biāo)為.
設(shè)圓的圓心為T(x1,y1),
則x1==-c,y1==c,
進而圓的半徑r==c.
設(shè)直線l的斜率為k,依題意,直線l的方程為y=kx.由l與圓相切,可得=r,即=c,整理得k2-8k+1=0,解得k=4±.
所以直線l的斜率為4+或4-.
8.(xx新課標(biāo)全國Ⅰ,5分)已知橢圓E:+=1(a>b>0)的右焦點為F(3,0),過點F的直線交E于A,B兩點.若AB的中點坐標(biāo)為(1,-1),則E的方程為( )
9、
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
解析:本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系、斜率公式、焦點弦和中點弦問題,意在考查考生通過解方程組求解弦的中點的能力.運用兩點式得到直線的方程,代入橢圓方程,消去y,由根與系數(shù)的關(guān)系得到a,b之間的關(guān)系,并由a,b,c之間的關(guān)系確定橢圓方程.因為直線AB過點F(3,0)和點(1,-1),所以直線AB的方程為y=(x-3),代入橢圓方程+=1消去y,得x2-a2x+a2-a2b2=0,所以AB的中點的橫坐標(biāo)為=1,即a2=2b2,又a2=b2+c2,所以b=c=3,選擇D.
答案:D
9.(xx廣東,5分)已知中心在原
10、點的橢圓C的右焦點為F(1,0),離心率等于,則C的方程是( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
解析:本題主要考查橢圓的圖像、方程、性質(zhì)等知識,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,意在考查考生的抽象概括能力、運算求解能力.依題意,設(shè)橢圓方程為+=1(a>b>0),所以解得a2=4,b2=3.
答案:D
10.(xx新課標(biāo)全國Ⅱ,5分)設(shè)橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,P是C上的點,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,則C的離心率為( )
A. B.
C. D.
解析:本題主要考查橢圓離心率的計算,
11、涉及橢圓的定義、方程與幾何性質(zhì)等知識,意在考查考生的運算求解能力.
法一:由題意可設(shè)|PF2|=m,結(jié)合條件可知|PF1|=2m,|F1F2|=m,故離心率e=====.
法二:由PF2⊥F1F2可知P點的橫坐標(biāo)為c,將x=c代入橢圓方程可解得y=±,所以|PF2|=.又由∠PF1F2=30°可得|F1F2|=|PF2|,故2c=·,變形可得(a2-c2)=2ac,等式兩邊同除以a2,得(1-e2)=2e,解得e=或e=-(舍去).
答案:D
11.(xx遼寧,5分)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左焦點為F,C與過原點的直線相交于A,B兩點,連接AF,BF.若|AB|=10,|B
12、F|=8,cos∠ABF=,則C的離心率為( )
A. B.
C. D.
解析:本題主要考查圓錐曲線的定義、離心率,解三角形等知識,意在考查考生對圓錐曲線的求解能力以及數(shù)據(jù)處理能力.由余弦定理得,|AF|=6,所以2a=6+8=14,又2c=10,所以e==.
答案:B
12.(xx四川,5分)從橢圓+=1(a>b>0)上一點P向x軸作垂線,垂足恰為左焦點F1,A是橢圓與x軸正半軸的交點,B是橢圓與y軸正半軸的交點,且AB∥OP(O是坐標(biāo)原點),則該橢圓的離心率是( )
A. B.
C. D.
解析:本題主要考查橢圓的簡單幾何性質(zhì),意在考查曲線和方程這一解析
13、幾何的基本思想.由已知,點P(-c,y)在橢圓上,代入橢圓方程,得P.∵AB∥OP,∴kAB=kOP,即-=-,則b=c,∴a2=b2+c2=2c2,則=,即該橢圓的離心率是.
答案:C
13.(xx天津,13分)設(shè)橢圓+=1(a>b>0)的左焦點為F,離心率為,過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)A,B分別為橢圓的左、右頂點,過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C,D兩點.若·+·=8,求k的值.
解:本小題主要考查橢圓的標(biāo)準方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、向量的運算等基礎(chǔ)知識,考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì),考查考生的運算求解能力以及運用方
14、程思想解決問題的能力.
(1)設(shè)F(-c,0),由=,知a=c.過點F且與x軸垂直的直線的方程為x=-c,代入橢圓方程有+=1,解得y=±,于是=,解得b=,又a2-c2=b2,從而a=,c=1,所以橢圓的方程為+=1.
(2)設(shè)點C(x1,y1),D(x2,y2),由F(-1,0)得直線CD的方程為y=k(x+1),由方程組消去y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0.
由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=-,x1x2=.因為A(-,0),B(,0)所以·+·=(x1+,y1)·(-x2,-y2)+(x2+,y2)·(-x1,-y1)
=6-2x1x2-2y1y2
=6-
15、2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)
=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2
=6+.
由已知得6+=8,解得k=±.
14.(xx山東,5分)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為.雙曲線x2-y2=1的漸近線與橢圓C有四個交點,以這四個交點為頂點的四邊形的面積為16,則橢圓C的方程為( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
解析:因為橢圓的離心率為,所以e==,c2=a2,c2=a2=a2-b2,所以b2=a2,即a2=4b2.雙曲線的漸近線方程為y=±x,代入橢圓方程得+=1,即+==1,所以x2=b2,x=±b,y2=
16、b2,y=± b,則在第一象限雙曲線的漸近線與橢圓C的交點坐標(biāo)為(b,b),所以四邊形的面積為4× b× b=b2=16,所以b2=5,所以橢圓方程為+=1.
答案:D
15.(xx新課標(biāo)全國,5分)設(shè)F1,F(xiàn)2是橢圓E:+=1(a>b>0)的左、右焦點,P為直線x=上一點,△F2PF1是底角為30°的等腰三角形,則E的離心率為( )
A. B.
C. D.
解析:由題意可得|PF2|=|F1F2|,所以2(a-c)=2c,所以3a=4c,所以e=.
答案:C
16.(2011浙江,5分)已知橢圓C1:+=1(a>b>0)與雙曲線C2:x2-=1有公共的焦點,C2的
17、一條漸近線與以C1的長軸為直徑的圓相交于A,B兩點.若C1恰好將線段AB三等分,則( )
A.a(chǎn)2= B.a(chǎn)2=13
C.b2= D.b2=2
解析:對于直線與橢圓、圓的關(guān)系,如圖所示,設(shè)直線AB與橢圓C1的一個交點為C(靠近A的交點),則|OC|=,
因tan∠COx=2,
∴sin∠COx=,
cos∠COx=,
則C的坐標(biāo)為(,),代入橢圓方程得+=1,∴a2=11b2.∵5=a2-b2,∴b2=.
答案:C
17.(2011新課標(biāo)全國,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C的中心為原點,焦點F1,F(xiàn)2在x軸上,離心率為.過F1的直線l交C于
18、A,B兩點,且△ABF2的周長為16,那么C的方程為____.
解析:根據(jù)橢圓焦點在x軸上,可設(shè)橢圓方程為+=1(a>b>0),∵e=,∴=.根據(jù)△ABF2的周長為16得4a=16,因此a=4,b=2,
所以橢圓方程為+=1.
答案:+=1
18.(xx陜西,13分)已知橢圓C1:+y2=1,橢圓C2以C1的長軸為短軸,且與C1有相同的離心率.
(1)求橢圓C2的方程;
(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點,點A,B分別在橢圓C1和C2上,=2,求直線AB的方程.
解:(1)由已知可設(shè)橢圓C2的方程為+=1(a>2),
其離心率為,故=,則a=4,
故橢圓C2的方程為+=1.
(2)法一:
19、A,B兩點的坐標(biāo)分別記為(xA,yA),(xB,yB),由=2及(1)知,O,A,B三點共線且點A,B不在y軸上,因此可設(shè)直線AB的方程為y=kx.
將y=kx代入+y2=1中,得(1+4k2)x2=4,
所以x=,
將y=kx代入+=1中,得(4+k2)x2=16,
所以x=,
又由=2,得x=4x,即=,
解得k=±1,故直線AB的方程為y=x或y=-x.
法二:A,B兩點的坐標(biāo)分別記為(xA,yA),(xB,yB),
由=2及(1)知,O,A,B三點共線且點A,B不在y軸上,
因此可設(shè)直線AB的方程為y=kx.
將y=kx代入+y2=1中,得(1+4k2)x2=4,所
20、以
x=,由=2,得x=,y=,
將x,y代入+=1中,得=1,即4+k2=1+4k2,
解得k=±1,故直線AB的方程為y=x或y=-x.
19.(xx天津,12分)已知橢圓+=1(a>b>0)的離心率e=,連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線l與橢圓相交于不同的兩點A,B,已知點A的坐標(biāo)為(-a,0),點Q(0,y0)在線段AB的垂直平分線上,且·=4,求y0的值.
解:(1)由e==,得3a2=4c2,再由c2=a2-b2,得a=2b.
由題意可知×2a×2b=4,即ab=2.
解方程組得a=2,b=1.
所以橢圓的方程為+y
21、2=1.
(2)由(1)可知A(-2,0),設(shè)B點的坐標(biāo)為(x1,y1),直線l的斜率為k,則直線l的方程為y=k(x+2).
于是A,B兩點的坐標(biāo)滿足方程組
由方程組消去y并整理,得
(1+4k2)x2+16k2x+(16k2-4)=0.
由-2x1=,得
x1=,從而y1=.
設(shè)線段AB的中點為M,則M的坐標(biāo)為(-,).
以下分兩種情況:
①當(dāng)k=0時,點B的坐標(biāo)為(2,0),線段AB的垂直平分線為y軸,
于是=(-2,-y0),=(2,-y0).
由·=4,得y0=±2.
②當(dāng)k≠0時,線段AB的垂直平分線的方程為y-=-(x+).
令x=0,解得y0=-.
由=(-2,-y0),=(x1,y1-y0),
·=-2x1-y0(y1-y0)=+(+)
==4,
整理得7k2=2,故k=±,
所以y0=±.
綜上,y0=±2或y0=±.