《2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6章 數(shù)列 第1節(jié) 數(shù)列的概念與簡單表示法教學(xué)案 理 北師大版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6章 數(shù)列 第1節(jié) 數(shù)列的概念與簡單表示法教學(xué)案 理 北師大版（12頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第6章 數(shù)列 全國卷五年考情圖解 高考命題規(guī)律把握 1.考查形式 高考在本章一般命制2道小題或者1道解答題，分值占10～12分． 2.考查內(nèi)容 (1)高考對(duì)小題的考查一般以等差、等比數(shù)列的基本量運(yùn)算，等差、等比數(shù)列的性質(zhì)為主． (2)解答題一般以數(shù)列遞推關(guān)系為載體，考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，等差、等比數(shù)列的證明，數(shù)列求和的方法等． 3.備考策略 從2019年高考試題可以看出，高考對(duì)數(shù)列知識(shí)的考查既注重基礎(chǔ)又注重能力且難度有可能會(huì)逐步加大. 第一節(jié)　數(shù)列的概念與簡單表示法 [最新考綱]　1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖像、通項(xiàng)公式).2.了解數(shù)列是自變量為

2、正整數(shù)的一類特殊函數(shù)． 1．?dāng)?shù)列的定義 按照一定次序排列起來的一列數(shù)叫做數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)． 2．?dāng)?shù)列的分類 分類原則 類型 滿足條件 按項(xiàng)數(shù)分類 有窮數(shù)列 項(xiàng)數(shù)有限 無窮數(shù)列 項(xiàng)數(shù)無限 按項(xiàng)與項(xiàng)間 的大小關(guān)系 分類 遞增數(shù)列 an＋1＞an 其中 n∈N＋ 遞減數(shù)列 an＋1＜an 常數(shù)列 an＋1＝an 3．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式 如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)函數(shù)式an＝f(n)來表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式． 4．?dāng)?shù)列的遞推公式 如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且從第二項(xiàng)

3、(或某一項(xiàng))開始的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an－1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式． 5．a(chǎn)n與Sn的關(guān)系 若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn， 則an＝ 特別地，若a1滿足an＝Sn－Sn－1(n≥2)，則不需要分段． 一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)相同的一組數(shù)按不同順序排列時(shí)都表示同一個(gè)數(shù)列．(　　) (2)1,1,1,1，…，不能構(gòu)成一個(gè)數(shù)列．(　　) (3)任何一個(gè)數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列．(　　) (4)如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則對(duì)任意n∈N＋，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　)

4、 [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 二、教材改編 1．已知數(shù)列，，，…，，…，下列各數(shù)中是此數(shù)列中的項(xiàng)的是(　　) A.　 B.　　　 C.　　　 D. B　[該數(shù)列的通項(xiàng)an＝，結(jié)合選項(xiàng)可知B正確．] 2．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，則a5等于(　　) A. B. C. D. D　[a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝， a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝.] 3．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2＋1，則an＝________. 　[當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2. 當(dāng)n≥2時(shí)， an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n

5、－1， 故an＝] 4．根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點(diǎn)數(shù)，寫出點(diǎn)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式an＝________. 5n－4　[由a1＝1＝5×1－4，a2＝6＝5×2－4，a3＝11＝5×3－4，…，歸納an＝5n－4.] 考點(diǎn)1　由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)公式 　利用觀察法求數(shù)列通項(xiàng)要抓住數(shù)列的4個(gè)特征 (1)分式中分子、分母的特征． (2)相鄰項(xiàng)的變化特征． (3)拆項(xiàng)后變化的部分和不變的部分的特征． (4)各項(xiàng)符號(hào)特征等． 　根據(jù)下面各數(shù)列前幾項(xiàng)的值，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式： (1)，，，，，…； (2)－1,7，－13,19，…； (3)，2，，8，，

6、…； (4)5,55,555,5 555，…. [解]　(1)這是一個(gè)分?jǐn)?shù)數(shù)列，其分子構(gòu)成偶數(shù)數(shù)列，而分母可分解為1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一項(xiàng)都是兩個(gè)相鄰奇數(shù)的乘積，分子依次為2,4,6，…，相鄰的偶數(shù)．故所求數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝. (2)偶數(shù)項(xiàng)為正，奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，故通項(xiàng)公式必含有因式(－1)n，觀察各項(xiàng)的絕對(duì)值，后一項(xiàng)的絕對(duì)值總比它前一項(xiàng)的絕對(duì)值大6，故數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(－1)n(6n－5)． (3)數(shù)列的各項(xiàng)，有的是分?jǐn)?shù)，有的是整數(shù)，可將數(shù)列的各項(xiàng)都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察．即，，，，，…，分子為項(xiàng)數(shù)的平方，從而可得數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝. (4

7、)將原數(shù)列改寫為×9，×99，×999，…，易知數(shù)列9,99,999，…的通項(xiàng)為10n－1，故所求的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(10n－1)． 　(1)對(duì)于符號(hào)交替出現(xiàn)的情況，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N＋處理，如T(2)； (2)若關(guān)系不明顯時(shí)，應(yīng)將部分項(xiàng)作適當(dāng)?shù)淖冃危y(tǒng)一成相同的形式，如T(3)． (3)考查歸納推理，特殊到一般，由數(shù)列的前n項(xiàng)歸納通項(xiàng)公式，答案并不唯一． 考點(diǎn)2　由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式 　已知Sn求an的3個(gè)步驟 (1)利用a1＝S1求出a1. (2)當(dāng)n≥2時(shí)，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an的表達(dá)式． (3)看a1是否符合n

8、≥2時(shí)an的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫；否則應(yīng)寫成分段的形式，即an＝ 　(1)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n2－3n，則an＝____. (2)(2018·全國卷Ⅰ)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若Sn＝2an＋1，則S6＝________. (3)已知數(shù)列{an}滿足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，則an＝________. (1)4n－5　(2)－63　(3)　[(1)a1＝S1＝2－3＝－1， 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5， 由于a1也適合此等式，∴an＝4n－5. (2)

9、因?yàn)镾n＝2an＋1，所以當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1， 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，所以an＝ 2an－1，所以數(shù)列{an}是以－1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以an＝－2n－1，所以S6＝＝－63. (3)當(dāng)n＝1時(shí)， a1＝21＝2， ∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，① 故a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n－1(n≥2)，② 由①－②得nan＝2n－2n－1＝2n－1，∴an＝. 顯然當(dāng)n＝1時(shí)不滿足上式， ∴an＝] 　Sn與an關(guān)系問題的求解思路要根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向不同的

10、兩個(gè)方向轉(zhuǎn)化． (1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式． (2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解． 提醒：利用an＝Sn－Sn－1求通項(xiàng)時(shí)，應(yīng)注意n≥2這一前提條件，易忽視驗(yàn)證n＝1致誤． [教師備選例題] 1．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n＋1，則an＝________. 　[當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3＋1＝4； 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2·3n－1.當(dāng)n＝1時(shí)，2×31－1＝2≠a1， 所以an＝] 2．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，Sn為數(shù)列{an

11、}的前n項(xiàng)和，且當(dāng)n≥2時(shí)，有＝1成立，則S2 019＝________. 　[當(dāng)n≥2時(shí)，由＝1，得2(Sn－Sn－1)＝(Sn－Sn－1)·Sn－S＝－SnSn－1，所以－＝1，又＝2，所以是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以＝n＋1，故Sn＝，則S2 019＝.] 　1.已知正項(xiàng)數(shù)列{an}中，＋＋…＋＝ ，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為(　　) A．a(chǎn)n＝n　　　　　　 B．a(chǎn)n＝n2 C．a(chǎn)n＝ D．a(chǎn)n＝ B　[∵＋＋…＋＝， ∴＋＋…＋＝(n≥2)， 兩式相減得＝－＝n(n≥2)， ∴an＝n2(n≥2)，① 又當(dāng)n＝1時(shí)，＝＝1，a1＝1，適合①式， ∴an

12、＝n2，n∈N＋.故選B.] 2．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，則Sn＝________. n－1　[因?yàn)镾n＝2an＋1，所以當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝2an，所以an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an(n≥2)， 即＝(n≥2)， 又a2＝，所以an＝×n－2(n≥2)． 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1≠×－1＝， 所以an＝ 所以Sn＝2an＋1＝2××n－1＝n－1.] 考點(diǎn)3　由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式 　累加法——形如an＋1－an＝f(n)，求an 　利用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝ f(

13、n－1)＋ f(n－2)＋…＋ f(1)＋a1求解． 　設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N＋)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________． an＝　[由題意得a2－a1＝2，a3－a2＝3，…， ∴an－an－1＝n(n≥2)． 以上各式相加，得 an－a1＝2＋3＋…＋n＝＝. ∵a1＝1，∴an＝(n≥2)． ∵當(dāng)n＝1時(shí)也滿足此式，∴an＝.] 　應(yīng)注意題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為“an－an－1＝n”時(shí)，其前提條件為“n≥2”，易忽視驗(yàn)證“n＝1”致誤． 　在數(shù)列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，則通項(xiàng)公式an＝________. 4－　[原遞推

14、公式可化為an＋1＝an＋－， 則a2＝a1＋－，a3＝a2＋－， a4＝a3＋－，…，an－1＝an－2＋－， an＝an－1＋－，逐項(xiàng)相加得an＝a1＋1－， 故an＝4－，經(jīng)驗(yàn)證a1，a2也符合．] 　累乘法——形如＝f(n)，求an 　 利用an＝···…···a1求解． 　在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N＋)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________． an＝　[∵an＝an－1(n≥2)， ∴an－1＝an－2，an－2＝an－3，…，a2＝a1. 以上(n－1)個(gè)式子相乘得， an＝a1···…·＝＝. 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1，符

15、合上式，∴an＝.] 　反復(fù)構(gòu)造“”是解答此類問題的關(guān)鍵． 　已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2nan，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． [解]　∵an＋1＝2nan，∴＝2n， ∴＝2n－1(n≥2)，∴an＝··…··a1 ＝2n－1·2n－2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n－1)＝2. 又a1＝1適合上式，故an＝2. 　待定系數(shù)法——形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1，B≠0)，求an 　求此類數(shù)列的通項(xiàng)公式，通常采用待定系數(shù)法將其轉(zhuǎn)化為(an＋1＋x)＝A(an＋x)，先求出x，再借助等比數(shù)列{an＋x }求解． 　(2019·青島模擬)已知數(shù)列{an}

16、滿足a1＝1， an＋1＝3an＋2(n∈N＋)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________． an＝2·3n－1－1　[∵an＋1＝3an＋2， ∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴＝3， ∴數(shù)列{an＋1}為等比數(shù)列，公比q＝3， 又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1， ∴an＝2·3n－1－1.] 　構(gòu)造“an＋1＋1＝3(an＋1)”是解答本題的關(guān)鍵． 　(2019·葫蘆島二模)九連環(huán)是我國從古至今廣泛流傳的 一種益智游戲，它用九個(gè)圓環(huán)相連成串，以解開為勝．據(jù)明代楊慎《丹鉛總錄》記載：“兩環(huán)互相貫為一，得其關(guān)捩，解之為二，又合面為一”．在某種玩法中，用an表示解下n

17、(n≤9，n∈N＋)個(gè)圓環(huán)所需的移動(dòng)最少次數(shù)，{an}滿足a1＝1，且an＝，則解下4個(gè)環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù)為(　　) A．7 B．10 C．12 D．22 A　[依題意a4＝2a3－1＝2(2a2＋2)－1＝2[2(2a1－1)＋2]－1＝7.故選A.] 　取倒數(shù)法——形如an＋1＝(A，B，C為常數(shù))，求an 　將原式變形為＝·＋. ①若A＝C，則是等差數(shù)列，且公差為，可直接用公式求通項(xiàng)；②若A≠C，則采用待定系數(shù)法，構(gòu)造新數(shù)列求解． 　已知數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N＋)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________. 　[∵an＋1＝，a1＝2，∴an

18、≠0， ∴＝＋，即－＝，又a1＝2，則＝， ∴是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列． ∴＝＋(n－1)×＝.∴an＝.] 　求解本題的關(guān)鍵是對(duì)等式取倒數(shù)變形后，發(fā)現(xiàn)成等差數(shù)列． 　(2019·張家界模擬)若數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝ ，則這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)a10＝(　　) A．28 B．29 C． D． C　[∵an＋1＝，兩邊取倒數(shù)得－＝3，又 a1＝1所以數(shù)列表示首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列， 所以＝1＋(n－1)×3＝3n－2，即an＝， 所以a10＝＝，故選C.] 考點(diǎn)4　數(shù)列的性質(zhì) 　數(shù)列的周期性及應(yīng)用 　解決數(shù)列周期性問題的方法：先根據(jù)已知條件求出數(shù)

19、列的前幾項(xiàng)，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值． 　(2019·包頭模擬)在數(shù)列{an}中，a1＝0，an＋1 ，則S2 020＝________. 0　[∵a1＝0，an＋1＝， ∴a2＝＝，a3＝＝＝－， a4＝＝0，即數(shù)列{an}的取值具有周期性，周期為3，且a1＋a2＋a3＝0，則S2 020＝S3×673＋1＝a1＝0.] 　解答本題的關(guān)鍵是正確求出數(shù)列的前3項(xiàng)后，發(fā)現(xiàn)數(shù)列{an}是周期數(shù)列． 　已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝，若a1＝，則a2 020＝(　　) A．－1　 B．　　　 C．1　　　 D．2 B　[由a1＝，an＋1＝，得a2＝＝2， a3＝＝－1

20、，a4＝＝，a5＝＝2，…， 于是可知數(shù)列{an}是以3為周期的周期數(shù)列，因此a2 020＝ a3×673＋1＝a1＝.] 　數(shù)列的單調(diào)性及應(yīng)用 　1.判斷數(shù)列單調(diào)性的2種方法 (1)作差(或商)法； (2)目標(biāo)函數(shù)法：寫出數(shù)列對(duì)應(yīng)的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)或利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性探求其單調(diào)性，再將函數(shù)的單調(diào)性對(duì)應(yīng)到數(shù)列中去． 2．求數(shù)列中最大(小)項(xiàng)的2種方法 (1)根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性判斷； (2)利用不等式組(或)求出n的值，進(jìn)而求得an的最值． 3．求含整數(shù)n的代數(shù)式的最值問題，一般采用作差(作商)研究單調(diào)性，特別是在大題中最有效． 　(1)[一題多解]已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)

21、公式為an＝nn，則數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)為(　　) A. B. C. D. (2)若an＝n2＋kn＋4且對(duì)于n∈N＋，都有an＋1＞an成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________． (1)A　(2) (－3，＋∞)　[(1)法一：(作差比較法) an＋1－an＝(n＋1)n＋1－nn＝·n， 當(dāng)n<2時(shí)，an＋1－an>0，即an＋1>an； 當(dāng)n＝2時(shí)，an＋1－an＝0，即an＋1＝an； 當(dāng)n>2時(shí)，an＋1－an<0，即an＋1a4>a5>…>an， 所以數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)為a2或a3， 且a2＝a3＝2×2＝.故選A

22、. 法二：(作商比較法) ＝＝， 令>1，解得n<2； 令＝1，解得n＝2； 令<1，解得n>2. 又an>0，故a1a4>a5>…>an， 所以數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)為a2或a3， 且a2＝a3＝2×2＝.故選A. (2)由an＋1＞an知該數(shù)列是一個(gè)遞增數(shù)列， 又∵通項(xiàng)公式an＝n2＋kn＋4， ∴(n＋1)2＋k(n＋1)＋4＞n2＋kn＋4， 即k＞－1－2n，又n∈N＋， ∴k＞－3.] 　由于數(shù)列對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像是離散型的點(diǎn)，故其單調(diào)性不同于函數(shù)的單調(diào)性，本例(2)在求解時(shí)常因誤用二次函數(shù)的單調(diào)性導(dǎo)致求錯(cuò)實(shí)數(shù)k的取值范圍． 　1.已知an＝，那么數(shù)列{an}是(　　) A．遞減數(shù)列　　　　 B．遞增數(shù)列 C．常數(shù)列 D．?dāng)[動(dòng)數(shù)列 B　[an＝1－，將an看作關(guān)于n的函數(shù)，n∈N＋，易知{an}是遞增數(shù)列．] 2．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝(n＋1)·n，則此數(shù)列的最大項(xiàng)是第________項(xiàng)． 9或10　[∵an＋1－an＝(n＋2)n＋1－(n＋1)n＝n×， 當(dāng)n＜9時(shí)，an＋1－an＞0，即an＋1＞an； 當(dāng)n＝9時(shí)，an＋1－an＝0，即an＋1＝an； 當(dāng)n＞9時(shí)，an＋1－an＜0，即an＋1＜an， ∴該數(shù)列中有最大項(xiàng)， 且最大項(xiàng)為第9,10項(xiàng)．] 12