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1、2022年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫 第二章 第9節(jié) 函數(shù)模型及其應(yīng)用 理(含解析)
1.(xx湖南,5分)某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加,第一年的增長率為p,第二年的增長率為q,則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為( )
A. B.
C. D.-1
解析:設(shè)年平均增長率為x,原生產(chǎn)總值為a,則(1+p)(1+q)a=a(1+x)2,解得x=-1,故選D.
答案:D
2.(xx山東,5分)已知函數(shù)y=f(x)(x∈R).對函數(shù)y=g(x)(x∈I),定義g(x)關(guān)于f(x
2、)的“對稱函數(shù)”為函數(shù)y=h(x)(x∈I),y=h(x)滿足:對任意x∈I,兩個(gè)點(diǎn)(x,h(x)),(x,g(x))關(guān)于點(diǎn)(x,f(x))對稱.若h(x)是g(x)=關(guān)于f(x)=3x+b的“對稱函數(shù)”,且h(x)>g(x)恒成立,則實(shí)數(shù)b的取值范圍是________.
解析:函數(shù)g(x)的定義域是[-2,2],
根據(jù)已知得=f(x),
所以h(x)=2f(x)-g(x)=6x+2b-.
又h(x)>g(x)恒成立,
即6x+2b-> 恒成立,
即3x+b>恒成立.
令y=3x+b,y=,
則只要直線y=3x+b在半圓x2+y2=4(y≥0)上方即可,由>2,解得b>2(舍去
3、負(fù)值),
故實(shí)數(shù)b的取值范圍是(2,+∞).
答案:(2,+∞)
3.(xx陜西,5分)在如圖所示的銳角三角形空地中, 欲建一個(gè)面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分), 則其邊長x為________(m).
解析:本題主要考查構(gòu)建函數(shù)模型,利用基本不等式求解應(yīng)用問題的能力.如圖,過A作AH⊥BC于H,交DE于F,易知===?AF=x?FH=40-x.則S=x(40-x)≤2,當(dāng)且僅當(dāng)40-x=x,即x=20時(shí)取等號.所以滿足題意的邊長x為20(m).
答案:20
4.(xx重慶,12分)某村莊擬修建一個(gè)無蓋的圓柱形蓄水池(不計(jì)厚度).設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米,高為h米,體積為
4、V立方米.假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān),側(cè)面的建造成本為100元/平方米,底面的建造成本為160元/平方米,該蓄水池的總建造成本為12 000π元(π為圓周率).
(1)將V表示成r的函數(shù)V(r),并求該函數(shù)的定義域;
(2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性,并確定r和h為何值時(shí)該蓄水池的體積最大.
解:本題主要考查導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想.
(1)因?yàn)樾钏貍?cè)面的總成本為100×2πrh=200πrh元,底面的總成本為160πr2元,所以蓄水池的總成本為(200πrh+160πr2)元.
根據(jù)題意得200πrh+160πr2=12
5、000π,
所以h=(300-4r2),
從而V(r)=πr2h=(300r-4r3).
由h>0,且r>0可得00,故V(r)在(0,5)上為增函數(shù);
當(dāng)r∈(5,5)時(shí),V′(r)<0,故V(r)在(5,5)上為減函數(shù).
由此可知,V(r)在r=5處取得最大值,此時(shí)h=8,即當(dāng)r=5,h=8時(shí),該蓄水池的體積最大.
5.(xx江西,
6、5分)某農(nóng)戶計(jì)劃種植黃瓜和韭菜,種植面積不超過50畝,投入資金不超過54萬元,假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價(jià)如下表( )
年產(chǎn)量/畝
年種植成本/畝
每噸售價(jià)
黃瓜
4噸
1.2萬元
0.55萬元
韭菜
6噸
0.9萬元
0.3萬元
為使一年的種植總利潤(總利潤=總銷售收入-總種植成本)最大,那么黃瓜和韭菜的種植面積(單位:畝)分別為( )
A.50,0 B.30,20
C.20,30 D.0,50
解析:設(shè)黃瓜和韭菜的種植面積分別為x畝,y畝,總利潤為z萬元,則目標(biāo)函數(shù)為z=(0.55×4x-1.2x)+(0.3×6y-0.9y
7、)=x+0.9y.
線性約束條件為即
畫出可行域,如圖所示.
作出直線l0:x+0.9y=0,向上平移至過點(diǎn)B時(shí),z取得最大值,由求得B(30,20),故選B.
答案:B
6.(xx湖南,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=ax+bx-cx,其中c>a>0,c>b>0.
(1)記集合M={(a,b,c)|a,b,c不能構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊長,且a=b},則(a,b,c)∈M所對應(yīng)的f(x)的零點(diǎn)的取值集合為________;
(2)若a,b,c是△ABC的三條邊長,則下列結(jié)論正確的是________.(寫出所有正確結(jié)論的序號)
①?x∈(-∞,1),f(x)>0;
②?x∈R,使ax
8、,bx,cx不能構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊長;
③若△ABC為鈍角三角形,則?x∈(1,2),使f(x)=0.
解析:本小題主要考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、全稱量詞和存在量詞的含義、零點(diǎn)存在性定理及推理論證能力.
(1)由題設(shè)f(x)=0,a=b?2ax=cx?x=,
又a+b≤c,a=b?≤?x≤x,x>0,所以≤x?0c?+>1,又0<<1,0<<1,?x∈(-∞,1)?x>,x>?x+x>1,即f(x)>0,所以①正確;由(1)可知②正確;
由△ABC為鈍角三角形,所以a2+b2c,所以+>1,所以f(1)>0,由零點(diǎn)存
9、在性定理可知③正確.
答案:{x|00,區(qū)間I={x|f(x)>0}.
(1)求I的長度(注:區(qū)間(α,β)的長度定義為β-α);
(2)給定常數(shù)k∈(0,1),當(dāng)1-k≤a≤1+k時(shí),求I長度的最小值.
解:本題考查含參數(shù)的一元二次不等式的解法、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等,意在考查考生恒等變形能力和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題的能力.
(1)因?yàn)榉匠蘟x-(1+a2)x2=0(a>0)有兩個(gè)實(shí)根x1=0,x2=,
故f(x)>0的解集為{x|x1
10、2)設(shè)d(a)=,則d′(a)=.令d′(a)=0,得a=1.由于00,d(a)單調(diào)遞增;
當(dāng)1
11、程總和最小,這個(gè)最小值為________(米).
解析:當(dāng)放在最左側(cè)坑時(shí),路程和為2×(0+10+20+…+190);當(dāng)放在左側(cè)第2個(gè)坑時(shí),路程和為2×(10+0+10+20+…+180)(減少了360米);當(dāng)放在左側(cè)第3個(gè)坑時(shí),路程和為2×(20+10+0+10+20+…+170)(減少了680米);依次進(jìn)行,顯然當(dāng)放在中間的第10、11個(gè)坑時(shí),路程和最小,為2×(90+80+…+0+10+20+…+100)=2000米.
答案:xx
9.(xx湖南,13分)某企業(yè)接到生產(chǎn)3 000臺某產(chǎn)品的A,B,C三種部件的訂單,每臺產(chǎn)品需要這三種部件的數(shù)量分別為2,2,1(單位:件).已知每個(gè)工
12、人每天可生產(chǎn)A部件6件,或B部件3件,或C部件2件.該企業(yè)計(jì)劃安排200名工人分成三組分別生產(chǎn)這三種部件,生產(chǎn)B部件的人數(shù)與生產(chǎn)A部件的人數(shù)成正比,比例系數(shù)為k(k為正整數(shù)).
(1)設(shè)生產(chǎn)A部件的人數(shù)為x,分別寫出完成A,B,C三種部件生產(chǎn)需要的時(shí)間;
(2)假設(shè)這三種部件的生產(chǎn)同時(shí)開工,試確定正整數(shù)k的值,使完成訂單任務(wù)的時(shí)間最短,并給出時(shí)間最短時(shí)具體的人數(shù)分組方案.
解:(1)設(shè)完成A,B,C三種部件的生產(chǎn)任務(wù)需要的時(shí)間(單位:天)分別為T1(x),T2(x),T3(x),由題設(shè)有
T1(x)==,T2(x)=,T3(x)=,
其中x,kx,200-(1+k)x均為1到200之
13、間的正整數(shù).
(2)完成訂單任務(wù)的時(shí)間為f(x)=max{T1(x),T2(x),T3(x)},其定義域?yàn)閧x|0<x<,x∈N*},易知,T1(x),T2(x)為減函數(shù),T3(x)為增函數(shù).注意到T2(x)=T1(x),于是
①當(dāng)k=2時(shí),T1(x)=T2(x),此時(shí)
f(x)=max{T1(x),T3(x)}=max{,}.
由函數(shù)T1(x),T3(x)的單調(diào)性知,當(dāng)=時(shí)f(x)取得最小值,解得x=.
由于44<<45,而f(44)=T1(44)=,
f(45)=T3(45)=,f(44)<f(45).
故當(dāng)x=44時(shí)完成訂單任務(wù)的時(shí)間最短,且最短時(shí)間為f(44)=.
②當(dāng)
14、k>2時(shí),T1(x)>T2(x),由于k為正整數(shù),故k≥3,此時(shí)≥=.
記T(x)=,φ(x)=max{T1(x),T(x)},易知T(x)是增函數(shù),則
f(x)=max{T1(x),T3(x)}≥max{T1(x),
T(x)}=φ(x)=max{,}.
由函數(shù)T1(x),T(x)的單調(diào)性知,當(dāng)=時(shí)φ(x)取最小值,解得x=.
由于36<<37,而φ(36)=T1(36)=>,
φ(37)=T(37)=>.此時(shí)完成訂單任務(wù)的最短時(shí)間大于.
(3)當(dāng)k<2時(shí),T1(x)<T2(x),由于k為正整數(shù),故k=1,此時(shí)f(x)=max{T2(x),T3(x)}=max{,}.
由函數(shù)T2(x),T3(x)的單調(diào)性知,當(dāng)=時(shí)f(x)取最小值,解得x=,類似(1)的討論,此時(shí)完成訂單任務(wù)的最短時(shí)間為,大于.
綜上所述,當(dāng)k=2時(shí),完成訂單任務(wù)的時(shí)間最短,此時(shí),生產(chǎn)A,B,C三種部件的人數(shù)分別為44,88,68.