6、，則f(2 016.5)＝________.
10．二次函數(shù)問題
(1)處理二次函數(shù)的問題勿忘數(shù)形結(jié)合．二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最值，求最值問題用“兩看法”：一看開口方向，二看對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關(guān)系．
(2)若原題中沒有指出是“二次”方程、函數(shù)或不等式，要考慮到二次項(xiàng)系數(shù)可能為零的情形．
[問題10] 若關(guān)于x的方程ax2－x＋1＝0至少有一個(gè)正根，則a的取值范圍為________．
11．(1)對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)
已知a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0.
則loga(MN)＝logaM＋logaN，
loga＝logaM－logaN，
logaMn＝nlogaM
7、，
對數(shù)換底公式：logaN＝.
推論：＝logaN；logab＝.
(2)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
可從定義域、值域、單調(diào)性、函數(shù)值的變化情況考慮，特別注意底數(shù)的取值對有關(guān)性質(zhì)的影響，另外，指數(shù)函數(shù)y＝ax的圖象恒過定點(diǎn)(0,1)，對數(shù)函數(shù)y＝logax的圖象恒過定點(diǎn)(1,0)．
[問題11] 函數(shù)y＝|log2|x－1||的遞增區(qū)間是________________．
12．冪函數(shù)y＝xα(α∈R)
(1)①若α＝1，則y＝x，圖象是直線．
②當(dāng)α＝0時(shí)，y＝x0＝1(x≠0)圖象是除點(diǎn)(0,1)外的直線．
③當(dāng)0<α<1時(shí)，圖象過(0,0)與(1,1)兩點(diǎn)，在第一
8、象限內(nèi)是上凸的．
④當(dāng)α>1時(shí)，在第一象限內(nèi)，圖象是下凸的．
(2)增減性：①當(dāng)α>0時(shí)，在區(qū)間(0，＋∞)上，函數(shù)y＝xα是增函數(shù)；②當(dāng)α<0時(shí)，在區(qū)間(0，＋∞)上，函數(shù)y＝xα是減函數(shù)．
[問題12] 函數(shù)f(x)＝x－x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________．
13．函數(shù)與方程
(1)對于函數(shù)y＝f(x)，使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)．事實(shí)上，函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)根．
(2)如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)曲線，且有f(a)f(b)<0，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c
9、)＝0，此時(shí)這個(gè)c就是方程f(x)＝0的根．反之不成立．
[問題13] 已知定義在R上的函數(shù)f(x)＝(x2－3x＋2)·g(x)＋3x－4，其中函數(shù)y＝g(x)的圖象是一條連續(xù)曲線，則方程f(x)＝0在下面哪個(gè)區(qū)間內(nèi)必有實(shí)數(shù)根( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
14．求導(dǎo)數(shù)的方法
(1)基本導(dǎo)數(shù)公式：c′＝0 (c為常數(shù))；(xm)′＝mxm－1 (m∈Q)；(sin x)′＝cos x；(cos x)′＝－sin x；(ex)′＝ex；(ax)′＝axln a；(ln x)′＝；(logax)′＝(a>0且a≠1)．
(2)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)
10、算：(u±v)′＝u′±v′；
(uv)′＝u′v＋uv′；′＝(v≠0)．
(3)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：yx′＝y(tǒng)u′·ux′.
如求f(ax＋b)的導(dǎo)數(shù)，令u＝ax＋b，則
(f(ax＋b))′＝f′(u)·a.
[問題14] f(x)＝e－2x，則f′(x)＝________.
15．利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性：設(shè)函數(shù)y＝f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f′(x)>0，那么f(x)在該區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；如果f′(x)<0，那么f(x)在該區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)；如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f′(x)＝0，那么f(x)在該區(qū)間內(nèi)為常函數(shù)．
注意：如果已知f(x)為減函數(shù)求字母取值范圍，那么不等式f′(x
11、)≤0恒成立，但要驗(yàn)證f′(x)是否恒等于0.增函數(shù)亦如此．
[問題15] 函數(shù)f(x)＝ax3－2x2＋x－1在R上是增函數(shù)，則a的取值范圍是________．
16．導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)并不一定是極值點(diǎn)，例如：函數(shù)f(x)＝x3，有f′(0)＝0，但x＝0不是極值點(diǎn)．
[問題16] 函數(shù)f(x)＝x4－x3的極值點(diǎn)是________．
17．定積分
運(yùn)用微積分基本定理求定積分?f(x)dx值的關(guān)鍵是用求導(dǎo)公式逆向求出f(x)的原函數(shù)，應(yīng)熟練掌握以下幾個(gè)公式：
?xndx＝|，
?sin xdx＝－cos x|，
?cos xdx＝sin x|，
?dx＝ln x|(b>a>0)，
12、
?axdx＝|.
[問題17] 計(jì)算定積分?(x2＋sin x)dx＝________.
例1 函數(shù)y＝log(x2－5x＋6)的單調(diào)遞增區(qū)間為_____________．
錯(cuò)因分析 忽視對函數(shù)定義域的要求，漏掉條件x2－5x＋6>0.
解析 由x2－5x＋6＞0知{x|x＞3或x＜2}．令u＝x2－5x＋6，則u＝x2－5x＋6在(－∞，2)上是減函數(shù)，∴y＝log(x2－5x＋6)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，2)．
答案 (－∞，2)
易錯(cuò)點(diǎn)2 分段函數(shù)意義理解不準(zhǔn)確
例2 定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＝則f(2 016)的值為( )
A．－1 B．0 C．
13、1 D．2
錯(cuò)因分析 不理解分段函數(shù)的意義，誤認(rèn)為應(yīng)將x＝2 016，代入log2(1－x)，或者認(rèn)為得不到f(2 016)的值．
解析 f(2 016)＝f(2 015)－f(2 014)＝f(2 014)－f(2 013)－f(2 014)＝－f(2 013)＝f(2 010)＝f(0)＝0.
答案 B
例3 函數(shù)f(x)＝在(－∞，＋∞)上單調(diào)，則a的取值范圍是________________．
錯(cuò)因分析 只考慮分段函數(shù)各段上函數(shù)值變化情況，忽視對定義域的臨界點(diǎn)處函數(shù)值的要求．
解析 若函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則有解之得a≤－；若函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則有解得1＜a≤，
故a的
14、取值范圍是(－∞，－]∪(1，]．
答案 (－∞，－]∪(1，]
易錯(cuò)點(diǎn)3 函數(shù)零點(diǎn)求解討論不全面
例4 函數(shù)f(x)＝mx2－2x＋1有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A．(－∞，1] B．(－∞，0]∪{1}
C．(－∞，0)∪{1} D．(－∞，1)
錯(cuò)因分析 解本題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有分類討論不全面、函數(shù)零點(diǎn)定理使用不當(dāng)，如忽視對m＝0的討論，就會(huì)錯(cuò)選C.
解析 當(dāng)m＝0時(shí)，x＝為函數(shù)的零點(diǎn)；當(dāng)m≠0時(shí)，若Δ＝0，即m＝1時(shí)，x＝1是函數(shù)唯一的零點(diǎn)，若Δ≠0，顯然x＝0不是函數(shù)的零點(diǎn)，這樣函數(shù)有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)等價(jià)于方程f(x)＝mx2－2x＋1
15、＝0有一個(gè)正根一個(gè)負(fù)根，即mf(0)＜0，即m＜0.故選B.
答案 B
易錯(cuò)點(diǎn)4 混淆“過點(diǎn)”和“切點(diǎn)”
例5 求過曲線y＝3x－x3上的點(diǎn)(2，－2)的切線方程．
錯(cuò)因分析 混淆過一點(diǎn)的切線和在一點(diǎn)處切線，錯(cuò)誤認(rèn)為(2，－2)一定是切點(diǎn)．
解 設(shè)切點(diǎn)為P(x0，y0)，則點(diǎn)P處的切線方程是
y－y0＝(3－3x)(x－x0)．
∵點(diǎn)A在切線上，
∴－2－y0＝(3－3x)(2－x0)．①
又∵點(diǎn)P在曲線C上，
∴y0＝3x0－x.②
由①、②，解得x0＝2或x0＝－1.
當(dāng)x0＝2時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，－2)，
切線方程是9x＋y－16＝0.
當(dāng)x0＝－1時(shí)，P點(diǎn)
16、的坐標(biāo)為(－1，－2)，
切線方程是y＋2＝0.
綜上，過點(diǎn)A的曲線C的切線方程是：9x＋y－16＝0或y＋2＝0.
易錯(cuò)點(diǎn)5 極值點(diǎn)條件不清
例6 已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值為10，則a＋b＝________.
錯(cuò)因分析 把f′(x0)＝0作為x0為極值點(diǎn)的充要條件，沒有對a，b值進(jìn)行驗(yàn)證，導(dǎo)致增解．
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由x＝1時(shí)，函數(shù)取得極值10，得
聯(lián)立①②得或
當(dāng)a＝4，b＝－11時(shí)，
f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)．
在x＝1兩側(cè)的符號相反，符合題意．
當(dāng)a＝－3，b＝3時(shí)，
f′(
17、x)＝3(x－1)2在x＝1兩側(cè)的符號相同，
所以a＝－3，b＝3不符合題意，舍去．
綜上可知a＝4，b＝－11，∴a＋b＝－7.
答案?。?
易錯(cuò)點(diǎn)6 函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)關(guān)系理解不準(zhǔn)確
例7 函數(shù)f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上是增函數(shù)，則a的取值范圍是________．
錯(cuò)因分析 誤認(rèn)為f′(x)＞0恒成立是f(x)在R上是增函數(shù)的必要條件，漏掉f′(x)＝0的情況．
解析 f(x)＝ax3－x2＋x－5的導(dǎo)數(shù)f′(x)＝3ax2－2x＋1，
由f′(x)≥0，得解得a≥.
答案 a≥
易錯(cuò)點(diǎn)7 計(jì)算定積分忽視細(xì)節(jié)
例8 ?dx等于( )
A．－2ln 2 B
18、．2ln 2 C．－ln 2 D．ln 2
錯(cuò)題分析 本題易出現(xiàn)的問題主要有兩個(gè)方面：一是混淆求原函數(shù)和求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，誤認(rèn)為原函數(shù)為y＝()′而找不到答案；二是記錯(cuò)公式，把積分的上、下限顛倒導(dǎo)致計(jì)算失誤，而錯(cuò)選C.
解析 因?yàn)?ln x)′＝，所以y＝的一個(gè)原函數(shù)是y＝ln x，
故?dx＝ln x|＝ln 4－ln 2＝ln 2，故選D.
答案 D
1．(xx·北京)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)上為增函數(shù)的是( )
A．y＝ B．y＝(x－1)2
C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1)
2．(xx·山東)函數(shù)f(x)＝的定義域?yàn)? )
A.
19、 B．(2，＋∞)
C.∪(2，＋∞) D.∪[2，＋∞)
3．下列各式中錯(cuò)誤的是( )
A．0.83>0.73 B．log0.50.4>log0.50.6
C．0.75－0.1<0.750.1 D．lg 1.6>lg 1.4
4．a(chǎn)是f(x)＝2x－logx的零點(diǎn)，若0＜x0＜a，則f(x0)的值滿足( )
A．f(x0)＝0 B．f(x0)＜0
C．f(x0)＞0 D．f(x0)的符號不確定
5．(xx·天津)函數(shù)f(x)＝log(x2－4)的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)
20、
6．已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，那么函數(shù)f(x)的圖象最有可能的是( )
7．(xx·福建)已知函數(shù)f(x)＝則下列結(jié)論正確的是( )
A．f(x)是偶函數(shù) B．f(x)是增函數(shù)
C．f(x)是周期函數(shù) D．f(x)的值域?yàn)閇－1，＋∞)
8．若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，在(－∞，0]上是減函數(shù)，且f(2)＝0，則使得f(x)<0的x的取值范圍是________．
9．已知函數(shù)f(x)＝且關(guān)于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
10．(xx·江蘇)已知函數(shù)f(x)＝x2＋mx－1
21、，若對于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．
11．已知函數(shù)f(x)＝x2＋(x≠0，a∈R)．
(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；
(2)若f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
12．已知函數(shù)f(x)＝ln(ax)(a≠0，a∈R)，g(x)＝.
(1)當(dāng)a＝1時(shí)，記φ(x)＝f(x)－，求函數(shù)φ(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若f(x)≥g(x)(x≥1)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
學(xué)生用書答案精析
2．函數(shù)與導(dǎo)數(shù)
要點(diǎn)回扣
[問題1] (－1,1)∪(1，＋∞)
[問題2] 1－
22、x2(x∈[－1,1])
[問題3]?。?
[問題4] 奇
解析 由得定義域?yàn)?－1,0)∪(0,1)，
f(x)＝＝.
∴f(－x)＝－f(x)，f(x)為奇函數(shù)．
[問題5] (－∞，0)，(0，＋∞)
[問題6] D [由題意可知f(0)＝0，即lg(2＋a)＝0，
解得a＝－1，
故f(x)＝lg ，函數(shù)f(x)的定義域是(－1,1)，
在此定義域內(nèi)f(x)＝lg ＝lg(1＋x)－lg(1－x)，
函數(shù)y1＝lg(1＋x)是增函數(shù)，函數(shù)y2＝lg(1－x)是減函數(shù)，故f(x)＝y(tǒng)1－y2是增函數(shù)．選D.]
[問題7]
解析 方法一 ∵x≥0，∴2x≥1，∴≥
23、1，
解得≤y<1.∴其值域?yàn)閥∈.
方法二 y＝1－，∵x≥0，
∴0<≤，∴y∈.
[問題8] (－1,2)
[問題9]?。?
[問題10]
[問題11] [0,1)，[2，＋∞)
解析 ∵y＝
作圖可知正確答案為[0,1)，[2，＋∞)．
[問題12] 1
[問題13] B [f(x)＝(x－2)(x－1)g(x)＋3x－4，
∴f(1)＝0＋3×1－4＝－1<0，f(2)＝2×3－4＝2>0.
又函數(shù)y＝g(x)的圖象是一條連續(xù)曲線，
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)有零點(diǎn)．
因此方程f(x)＝0在(1,2)內(nèi)必有實(shí)數(shù)根．]
[問題14]?。?e－2x
24、
[問題15] a≥
解析 f(x)＝ax3－2x2＋x－1的導(dǎo)數(shù)
f′(x)＝3ax2－4x＋1.
由f′(x)≥0，得
解得a≥.a＝時(shí)，f′(x)＝(2x－1)2≥0，
且只有x＝時(shí)，f′(x)＝0，
∴a＝符合題意．
[問題16] x＝1
[問題17]
解析 ?(x2＋sin x)dx＝＝.
查缺補(bǔ)漏
1．A [A項(xiàng)，函數(shù)y＝在[－1，＋∞)上為增函數(shù)，所以函數(shù)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，故正確；B項(xiàng)，函數(shù)y＝(x－1)2在(－∞，1)上為減函數(shù)，在[1，＋∞)上為增函數(shù)，故錯(cuò)誤；C項(xiàng)，函數(shù)y＝2－x＝()x在R上為減函數(shù)，故錯(cuò)誤；D項(xiàng)，函數(shù)y＝log0.5(x＋
25、1)在(－1，＋∞)上為減函數(shù)，故錯(cuò)誤．]
2．C [由題意知
解得x>2或0
26、原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，即求函數(shù)t＝x2－4的單調(diào)遞減區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的定義域，可知所求區(qū)間為(－∞，－2)．]
6．A [從導(dǎo)函數(shù)圖象上可以看出函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－2,0)，單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，－2)，(0，＋∞)，故函數(shù)圖象最有可能是選項(xiàng)A中的圖象．]
7．D [函數(shù)f(x)＝的圖象如圖所示，由圖象知只有D正確．]
8．(－2,2)
解析 因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，
所以f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
因?yàn)閒(x)<0，f(2)＝0.
所以f(|x|)
27、|<2，所以－21時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)只有一個(gè)．所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1，＋∞)．
10．(－，0)
解析 作出二次函數(shù)f(x)的圖象，對于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0，則有
即解得－
28、)≥0恒成立，
即2x－≥0，則a≤2x3，又因?yàn)?x3≥16.
故當(dāng)a≤16時(shí)，f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)．
12．解 (1)當(dāng)a＝1時(shí)，φ(x)＝f(x)－＝ln x－，則φ′(x)＝＋＝.
因?yàn)閤>0且x≠1，所以φ′(x)>0.
故函數(shù)φ(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)和(1，＋∞)．
(2)因?yàn)閘n(ax)≥對x≥1恒成立，
所以ln a＋ln x≥，
即ln a≥1－－ln x對x≥1恒成立．
令h(x)＝1－－ln x，則h′(x)＝－，因?yàn)閤≥1，故h′(x)≤0.所以h(x)在區(qū)間[1，＋∞)上單調(diào)遞減，
由ln a≥h(x)max＝h(1)＝0，解得a≥1.
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，＋∞)．
2022年高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí) 增分策略 第四篇 第2講 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)
