《高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明基本知能檢測(cè) 新人教B版選修1-2》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明基本知能檢測(cè) 新人教B版選修1-2（8頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明基本知能檢測(cè) 新人教B版選修1-2
一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1．(xx～xx學(xué)年度河北玉田縣高二期中測(cè)試)推理：因?yàn)槠叫兴倪呅螌?duì)邊平行且相等，而矩形是特殊的平行四邊形，所以矩形的對(duì)邊平行且相等，以上推理的方法是( )
A．歸納推理 B．類比推理
C．演繹推理 D．合情推理
[答案] C
[解析] 演繹推理是由一般到特殊的推理，當(dāng)前提為真時(shí)，結(jié)論必然為真，上述推理是演繹推理．
2．求證：＋>.
證明：因?yàn)椋投际钦龜?shù)，
所以為了證明＋>，
只需證明(＋)2>(
2、)2，
展開得5＋2>5，即2>0，
顯然成立，
所以不等式＋>.
上述證明過程應(yīng)用了( )
A．綜合法
B．分析法
C．綜合法、分析法配合使用
D．間接證法
[答案] B
[解析] 根據(jù)證明過程可以看出符合執(zhí)果索因的證法，故為分析法．
3．給出下列三個(gè)類比結(jié)論：①(ab)n＝anbn與(a＋b)n類比，則有(a＋b)n＝an＋bn；②loga(xy)＝logax＋logay與sin(αβ)類比，則有sin(αβ)＝sinα＋sinβ；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2與(a＋b)2類比，則有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A．0 B
3、．1
C．2 D．3
[答案] B
[解析] 只有③正確，故選B.
4．觀察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(－x)＝( )
A．f(x) B．－f(x)
C．g(x) D．－g(x)
[答案] D
[解析] 由例子可看出偶函數(shù)求導(dǎo)后都變成了奇函數(shù)，所以g(－x)＝－g(x)．
5．設(shè)a>0，b>0，若是3a與3b的等比中項(xiàng)，則＋的最小值為( )
A．8 B．4
C．1 D.
[答案] B
[解析] (3)2＝3a·3b
4、＝3a＋b，∴a＋b＝1
＋＝(＋)(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4
當(dāng)且僅當(dāng)＝即a＝b時(shí)等號(hào)成立，故選B.
6．a(chǎn)、b、c、d均為正實(shí)數(shù)，設(shè)S＝＋＋＋，則下列判斷中正確的是( )
A．0
5、
8．下列四個(gè)圖形中，著色三角形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)，則這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為( )
A．a(chǎn)n＝3n－1 B．a(chǎn)n＝3n
C．a(chǎn)n＝3n－2n D．a(chǎn)n＝3n－1＋2n－3
[答案] A
[解析] 由a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，故猜an＝3n－1.
9．在十進(jìn)制中，2 004＝4×100＋0×101＋0×102＋2×103，那么在5進(jìn)制(逢5進(jìn)1)中數(shù)碼2 004折合成十進(jìn)制為( )
A．29 B．254
C．602 D．2 004
[答案] B
[解析] 2 004＝4×50＋0×51＋0×52＋2×53＝254.
10．已知c>1，a
6、＝－，b＝－，則正確的結(jié)論是( )
A．a(chǎn)>b B．a(chǎn)b，則－>－.
∴＋>2，
∴c＋1＋c－1＋2>4c；
即>c矛盾，∴選B.
11．觀察下列等式：
1＝1， 13＝1，
1＋2＝3, 13＋23＝9，
1＋2＋3＝6, 13＋23＋33＝36，
1＋2＋3＋4＝10, 13＋23＋33＋43＝100，
1＋2＋3＋4＋5＝15, 13＋23＋33＋43＋53＝225.
… …
可以推測(cè)：13＋23＋33＋…＋n3可表示為( )
A.n(n＋1) B.n2(n＋
7、1)2
C.n2(n－1)2 D.n2(n＋1)2
[答案] D
[解析] 由1＝12,9＝32,36＝62,100＝102，…，知13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2＝[]2＝，故選D.
12．如果函數(shù)f(x)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，存在常數(shù)M，使得不等式|f(x)|≤M(x)恒成立，那么就稱函數(shù)f(x)為有界泛函數(shù)，下面四個(gè)函數(shù)：①f(x)＝1；②f(x)＝x2；③f(x)＝(sinx＋cosx)x；④f(x)＝.其中屬于有界泛函數(shù)的是( )
A．①② B．①③
C．②④ D．③④
[答案] D
[解析] ∵sinx＋cosx＝sin(x＋)≤，
8、
∴存在常數(shù)M≥成立|sinx＋cosx|≤M，
∴|x(sinx＋cosx)|≤M(x)，
即|f(x)|≤M(x)成立，
∴③是有界泛函數(shù)；
∵x2＋x＋1＝(x＋)2＋≥，
∴||≤，
∴存在常數(shù)M≥，
使≤M(x)，
即|f(x)|≤M(x)成立，
∴④是有界泛函數(shù)，因此選D.
二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分，將正確答案填在題中橫線上)
13．平面上，周長(zhǎng)一定的所有矩形中，正方形的面積最大；周長(zhǎng)一定的所有矩形與圓中，圓的面積最大．將這些結(jié)論類比到空間，可以得到的結(jié)論是______________________________________
9、．
[答案] 表面積一定的空間體中，球的體積最大
[解析] 平面中的“周長(zhǎng)”類比成空間中的“面積”，“平面圖形”類比成“空間體”，“面積”類比成“體積”，“圓”類比成“球”．
14．已知f(x)＝是奇函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的值等于__________．
[答案] 1
[解析] 因?yàn)閒(x)＝(x∈R)是奇函數(shù)，
則f(－x)＋f(x)＝＋＝0，所以a＝1.
15．已知數(shù)列{an}，a1＝，an＋1＝，則a2、a3、a4、a5分別為______________，猜想an＝____________.
[答案] ，，，
[解析] 每一項(xiàng)的分子相同，分母是從7開始的自然數(shù)．
16．已知
10、正項(xiàng)等比數(shù)列{an}滿足：a7＝a6＋2a5，若存在兩項(xiàng)am、an使得＝4a1，則＋的最小值為________．
[答案]
[解析] ∵{an}為等比數(shù)列，an>0，a7＝a6＋2a5，
∴a1q6＝a1q5＋2a1q4，
∴q2－q－2＝0，∴q＝－1或2.
∵an>0，∴q＝2.
∵＝4a1，∴a1qm－1·a1qn－1＝16a，∴qm＋n－2＝16，
即2m＋n－2＝24，
∴m＋n＝6，∴＋＝(m＋n)(＋)＝·(5＋＋)≥，等號(hào)在＝，即m＝2，n＝4時(shí)成立．
三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(本題滿分12分
11、)已知a是整數(shù)，a2是偶數(shù)．求證：a是偶數(shù)．
[證明] 假設(shè)a不是偶數(shù)，即a是奇數(shù)，則設(shè)a＝2n＋1(n∈Z)．
∴a2＝4n2＋4n＋1.
∵4(n2＋n)是偶數(shù)，∴4n2＋4n＋1是奇數(shù)，
這與已知a2是偶數(shù)矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤，
從而a一定是偶數(shù)．
18．(本題滿分12分)觀察下列數(shù)表：
1，
2,3，
4,5,6,7，
8,9,10,11,12,13,14,15，
……
(1)此表第n行的最后一個(gè)數(shù)是多少？
(2)此表第n行的各個(gè)數(shù)之和是多少？
(3)2 008是第幾行的第幾個(gè)數(shù)？
[解析] (1)由表知，從第二行起每行的第一個(gè)數(shù)為偶數(shù)，所以第n＋1行的第一個(gè)
12、數(shù)為2n，第n行的最后一個(gè)數(shù)為2n－1.
(2)由(1)知第n－1行的最后一個(gè)數(shù)為2n－1－1，第n行的第一個(gè)數(shù)為2n－1，第n行的最后一個(gè)數(shù)為2n－1.又觀察知，每行數(shù)字的個(gè)數(shù)與這一行的第一個(gè)數(shù)相同，所以由等差數(shù)列求和公式得
Sn＝＝22n－3＋22n－2－2n－2.
(3)因?yàn)?10＝1 024,211＝2 048，又第11行最后一個(gè)數(shù)為211－1＝2 047，所以2 008是在第11行中，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得2 008＝1 024＋(n－1)·1，所以n＝985，所以2 008是第11行的第985個(gè)數(shù)．
19．(本題滿分12分)已知a、b是不相等的正數(shù)，且a3－b3＝a2－b2
13、，求證1a2＋ab＋b2＝a＋b，
即(a＋b)2>a＋b，且a>0，b>0，
∴a＋b>1.要證a＋b<，
只需證3(a＋b)<4，
即證3(a＋b)2<4(a＋b)，
也就是要證3(a＋b)2<4(a2＋ab＋b2)，
即需證(a－b)2>0.
而(a－b)2>0顯然成立，∴1
14、函數(shù)嗎？證明你的結(jié)論．
[解析] (1)tan(x＋)＝
＝.
(2)f(x)是以4為其一個(gè)周期的周期函數(shù)．
∵f(x＋2)＝f((x＋1)＋1)＝
＝＝－，
∴f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－＝f(x)．
∴f(x)是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期為4.
21．(本題滿分12分)已知f(x)＝－x3－x＋1(x∈R)．
(1)求證：y＝f(x)是定義域上的減函數(shù)；
(2)求證：滿足f(x)＝0的實(shí)數(shù)根x至多只有一個(gè)．
[證明] (1)∵f′(x)＝－3x2－1
＝－(3x2＋1)<0(x∈R)，
∴y＝f(x)是定義域上的減函數(shù)．
(2)假設(shè)f(x)＝0的實(shí)數(shù)根x至
15、少有兩個(gè)，不妨設(shè)x1≠x2，且x1、x2∈R，
f(x1)＝f(x2)＝0.
∵y＝f(x)在R上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x1f(x2)，
當(dāng)x1>x2時(shí)，f(x1)
16、∴x2＋y2≥2.
②x2＋y2－2＝x2＋y2－xy＝(x2－2xy＋y2)＝(x－y)2≥0，
∴x2＋y2≥2.
③x2＋y2－2
＝x2＋y2－＝(x－y)2≥0，
∴x2＋y2≥2.
(2)一般的結(jié)論是：已知x、y∈R，a、b都是正數(shù)，且a＋b＝1，則(ax2＋by2)≥(ax＋by)2.
證明：∵a＋b＝1，∴a＝1－b>0，b＝1－a>0.
∵(ax2＋by2)－(ax＋by)2＝(a－a2)x2－2abxy＋(b－b2)y2＝a(1－a)x2－2a(1－a)xy＋a(1－a)y2＝a(1－a)(x2－2xy＋y2)＝a(1－a)(x－y)2，
又∵a>0,1－a>0，(x－y)2≥0，
∴(ax2＋by2)－(ax＋by)2≥0，
即ax2＋by2≥(ax＋by)2.
高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明基本知能檢測(cè) 新人教B版選修1-2
