《2021高考數學一輪復習 第6章 數列 第1節(jié) 數列的概念與簡單表示法教學案 文 北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2021高考數學一輪復習 第6章 數列 第1節(jié) 數列的概念與簡單表示法教學案 文 北師大版（9頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、第6章 數列 全國卷五年考情圖解 高考命題規(guī)律把握 1.考查形式 本章在高考中一般考查2道小題或1道解答題，分值占10～12分. 2.考查內容 高考對小題的考查一般以等差、等比數列的基本量運算、性質及數列的遞推公式等為主．解答題一般考查數列的通項公式、前n項和公式、等差、等比數列的判定及計算、錯位相減法、裂項相消法、公式法求和. 3.備考策略 (1)熟練掌握以下內容及方法 ①根據數列的遞推公式求通項公式的常用方法； ②等差、等比數列的通項公式、前n項和公式； ③等差、等比數列的性質； ④等差、等比數列的判定方法； ⑤數列求和方法：分組轉化法求和、錯位相減法求和、裂

2、項相消法求和. (2)重視分類討論、轉化與化歸思想在數列中的應用. 第一節(jié)　數列的概念與簡單表示法 [最新考綱]　1.了解數列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖像、通項公式).2.了解數列是自變量為正整數的一類特殊函數． (對應學生用書第93頁) 1．數列的概念 (1)數列的定義：按照一定順序排列著的一列數稱為數列，數列中的每一個數叫做這個數列的項． (2)數列的表示法 數列有三種表示法，它們分別是列表法、圖像法和通項公式法． 2．數列的分類 分類 標準 類型 滿足條件 項數 有窮數列 項數有限 無窮數列 項數無限 單調性 遞增數列 an＋1

3、>an 其中n∈N* 遞減數列 an＋1

4、 則an＝ 1．數列{an}是遞增數列?an＋1＞an恒成立． 2．數列{an}是遞減數列?an＋1＜an恒成立． 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)所有數列的第n項都能使用公式表達． (　　) (2)根據數列的前幾項歸納出的數列的通項公式可能不止一個． (　　) (3)如果數列{an}的前n項和為Sn，則對任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn. (　　) (4)若已知數列{an}的遞推公式為an＋1＝，且a2＝1，則可以寫出數列{an}的任何一項． (　　) [答案](1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 二、教材改編 1．

5、數列－1，，－，，－，…的一個通項公式為(　　) A．an＝±　　　　 B．an＝(－1)n· C．an＝(－1)n＋1 D．an＝ B　[由a1＝－1，代入檢驗可知選B.] 2．在數列{an}中，已知a1＝－，an＋1＝1－，則a3＝(　　) A．－3　　　　B.　　　　C．5　　　　D. D　[a2＝1－＝5，a3＝1－＝1－＝.] 3．把3,6,10,15,21，…這些數叫做三角形數，這是因為以這些數目的點可以排成一個正三角形(如圖所示)． 則第6個三角形數是(　　) A．27　　　 B．28　　　 C．29　　　 D．30 B　[由題圖可知，第6個三角形數

6、是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.] 4．已知數列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各項由an＝an－1＋an－2(n＞2)給出，則a5＝________. 8　[a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝5，a5＝a4＋a3＝8.] (對應學生用書第94頁) ⊙考點1　由數列的前n項歸納數列的通項公式 　解答具體策略：①相鄰項的變化規(guī)律；②各項的符號規(guī)律和其絕對值的變化規(guī)律；③分式中分子、分母的變化規(guī)律，分子與分母之間的關系；④合理拆項；⑤結構不同的項，化異為同． 　根據下面各數列前n項的值，寫出數列的一個通項公式． (1)，－，，－，，…； (2)，2，，8，，…；

7、 (3)5,55,555,5555，…； (4)1,3,1,3，…； (5)，，，，，…； (6)－1,1，－2,2，－3,3，…. [解](1)數列中各項的符號可通過(－1)n＋1表示．每一項絕對值的分子比分母少1，而分母組成數列21,22,23,24，…， 所以an＝(－1)n＋1. (2)數列的各項，有的是分數，有的是整數，可將數列的各項都統一成分數再觀察．即，，，，，…，分子為項數的平方，從而可得數列的一個通項公式為an＝. (3)將原數列改寫為×9，×99，×999，…，易知數列9,99,999，…的通項為10n－1，故所求的數列的一個通項公式為an＝(10n－1)．

8、 (4)這個數列的前4項構成一個擺動數列，奇數項是1，偶數項是3，所以數列的一個通項公式為an＝2＋(－1)n. (5)這是一個分數數列，其分子構成偶數數列，而分母可分解為1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一項都是兩個相鄰奇數的乘積，分子依次為2,4,6，…，相鄰的偶數．故所求數列的一個通項公式為an＝. (6)數列的奇數項為－1，－2，－3，…可用－表示， 數列的偶數項為1,2,3，…可用表示． 因此an＝ (1)記住常見數列的通項公式，有些數列可用常見數列表示，如T(3)． (2)對于奇數項和偶數項不能用同一表達式表示的數列，可用分段函數表示，如T(6)． ⊙考

9、點2　由an與Sn的關系求通項公式 　已知Sn求an的三個步驟 (1)先利用a1＝S1，求出a1； (2)用n－1替換Sn中的n得到一個新的關系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當n≥2時an的表達式； (3)注意檢驗n＝1時的表達式是否可以與n≥2的表達式合并． (1)若數列{an}的前n項和Sn＝3n2－2n＋1，則數列{an}的通項公式an＝________. (2)(2018·全國卷Ⅰ)記Sn為數列{an}的前n項和．若Sn＝2an＋1，則S6＝________. (3)已知數列{an}滿足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，則an＝________. (

10、1)　(2)－63　(3)　[(1)當n＝1時，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2； 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，顯然當n＝1時，不滿足上式． 故數列的通項公式為an＝ (2)由Sn＝2an＋1得S1＝2a1＋1，即a1＝2a1＋1，解得a1＝－1. 又Sn－1＝2an－1＋1(n≥2)，所以an＝2an－2an－1，即an＝2an－1. 所以數列{an}是首項為－1，公比為2的等比數列，所以S6＝＝1－26＝－63. (3)當n＝1時，由已知， 可得a1＝21＝2， ∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝

11、2n， ① 故a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n－1(n≥2)， ② 由①－②得nan＝2n－2n－1＝2n－1， ∴an＝(n≥2)． 顯然當n＝1時不滿足上式， ∴an＝] 　an＝Sn－Sn－1只適用于n≥2的情形，易忽略求a1，造成錯解，如T(1)，T(3)． 　1.(2019·鄭州模擬)已知Sn為數列{an}的前n項和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，則數列{an}的通項公式為________． an＝　[由log2(Sn＋1)＝n＋1得Sn＋1＝2n＋1，即Sn＝2n＋1－1. 當n＝1時，a1＝S1＝21＋1－1＝3. 當n≥2時，an＝Sn

12、－Sn－1＝(2n＋1－1)－(2n－1)＝2n， 顯然a1＝3不滿足上式， 所以an＝] 2．已知數列{an}的各項均為正數，Sn為其前n項和，且對任意n∈N*，均有2Sn＝a＋an，則an＝________. n　[由2Sn＝a＋an得 2Sn－1＝a＋an－1， ∴2an＝a－a＋an－an－1， 即a－a＝an＋an－1，又an＞0， ∴an－an－1＝1， 又2S1＝a＋a1，解得a1＝1， ∴數列{an}是首項為1，公差為1的等差數列． ∴an＝1＋(n－1)×1＝n.] ⊙考點3　由遞推公式求數列的通項公式 　由數列的遞推公式求通項公式的常用方法 (1

13、)形如an＋1＝an＋f(n)，可用累加法求an. (2)形如an＋1＝anf(n)，可用累乘法求an. (3)形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，可構造等比數列求an. (4)形如an＋1＝，可通過兩邊同時取倒數，構造新數列求解． 　形如an＋1＝an＋f(n)，求an 　在數列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2(n∈N*)，求數列{an}的通項公式． [解]　∵an＋1－an＝3n＋2， ∴an－an－1＝3n－1(n≥2)， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝(3n－1)＋(3n－4)＋…＋8＋5＋2

14、＝， ∴an＝n2＋. 　求解時，易錯誤地認為an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)造成錯解． 　形如an＋1＝anf(n)，求an 　已知數列{an}滿足a1＝4，an＋1＝an，求數列{an}的通項公式． [解]　由an＋1＝an得＝， ∴＝(n≥2)， ∴an＝···…···a1＝···…···4 ＝××2×1×4＝， 即an＝. 　求解時易錯誤地認為an＝···…··，造成錯解． 　形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an 　已知數列{an}滿足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求數列{an}的通項公式． [解]　∵an＋

15、1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)， 又a1＝1，∴a1＋1＝2， 故數列{an＋1}是首項為2，公比為3的等比數列， ∴an＋1＝2·3n－1，因此an＝2·3n－1－1. 　an＋1＝Aan＋B可轉化為an＋1＋k＝A(an＋k)的形式，其中k可用待定系數法求出． 　1.(2019·泰安模擬)已知數列{an}滿足a1＝2，an＋1＝an＋2n－1＋1，則an＝________. 2n－1＋n　[由an＋1＝an＋2n－1＋1得an＋1－an＝2n－1＋1， ∴an－an－1＝2n－2＋1(n≥2)， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3

16、－a2)＋(a2－a1)＋a1 ＝2n－2＋2n－3＋…＋2＋1＋(n－1)＋2 ＝＋n＋1＝2n－1＋n， 即an＝2n－1＋n.] 2．已知數列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2nan，則an＝________. 2　[∵an＋1＝2nan，∴＝2n，∴＝2n－1(n≥2)， ∴an＝··…··a1 ＝2n－1·2n－2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n－1)＝2， 即an＝2.] 3．已知數列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋3，則an＝________. 2n＋1－3　[由an＋1＝2an＋3得an＋1＋3＝2(an＋3)． 又a1＝1，∴a1＋3＝4.

17、 故數列{an＋3}是首項為4，公比為2的等比數列， ∴an＋3＝4·2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3.] ⊙考點4　數列的周期性 　先根據已知條件求出數列的前幾項，確定數列的周期，再根據周期求值． (1)數列{an}滿足an＋1＝a1＝，則數列的第2 020項為________． (2)在數列{an}中，a1＝0，an＋1＝，則S2 020＝________. (1)　(2)0　[(1)因為a1＝，故a2＝2a1－1＝，a3＝2a2＝，a4＝2a3＝，a5＝2a4－1＝，a6＝2a5－1＝，a7＝2a6＝，…，故數列{an}是周期數列且周期為4，故a2 020＝a505×

18、4＝a4＝. (2)∵a1＝0，an＋1＝， ∴a2＝＝，a3＝＝＝－， a4＝＝0， 即數列{an}是周期為3的周期數列， 且a1＋a2＋a3＝0， 則S2 020＝S3×673＋1＝a1＝0.] 　求解時，易算錯數列的周期，可計算數列的前幾項，直至找到和a1相同的項ak，則數列的周期為k－1. [教師備選例題] 已知數列{an}滿足an＋1＝，若a1＝，則a2 020＝(　　) A．－1　　　　B.　　　　C．1　　　　D．2 B　[由a1＝，an＋1＝，得a2＝＝2，a3＝＝－1，a4＝＝，a5＝＝2，…，于是可知數列{an}是以3為周期的周期數列，因此a2 020

19、＝a3×673＋1＝a1＝.] 　1.已知數列{an}滿足a1＝1，an＋1＝a－2an＋1(n∈N*)，則a2 020＝________. 0　[∵a1＝1，an＋1＝a－2an＋1＝(an－1)2， ∴a2＝(a1－1)2＝0，a3＝(a2－1)2＝1，a4＝(a3－1)2＝0，…，可知數列{an}是以2為周期的周期數列，∴a2 020＝a2＝0.] 2．(2019·青島模擬)已知數列2 008,2 009,1，－2 008，…，若這個數列從第二項起，每一項都等于它的前后兩項之和，則這個數列的前2 020項之和S2 020＝________. 2 010　[由題意知a1＝2 008，a2＝2 009，a3＝1，a4＝－2 008，a5＝－2 009，a6＝－1，a7＝2 008，a8＝2 009，…，因此數列是以6為周期的周期數列，且a1＋a2＋…＋a6＝0，∴S2 020＝S6×336＋4＝336×0＋a1＋a2＋a3＋a4＝2 010.] - 9 -