高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 8-1合情推理與演繹推理檢測(cè)試題(2)文
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1、高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 8-1合情推理與演繹推理檢測(cè)試題(2)文 一、選擇題 1.推理“①矩形是平行四邊形;②三角形不是平行四邊形;③三角形不是矩形”中的小前提是( ) A.① B.② C.③ D.①和② 解析:由演繹推理三段論可知,①是大前提;②是小前提;③是結(jié)論.故選B. 答案:B 2.正弦函數(shù)是奇函數(shù),f(x)=sin(x2+1)是正弦函數(shù),因此f(x)=sin(x2+1)是奇函數(shù),以上推理( ) A.結(jié)論正確 B.大前提不正確 C.小前提不正確 D.全不正確 解析:因?yàn)閒(x)=sin(x2+1)不是正弦函數(shù),所以小前提不正確. 答案
2、:C 3.在平面幾何中有如下結(jié)論:正三角形ABC的內(nèi)切圓面積為S1,外接圓面積為S2,則=,推廣到空間可以得到類似結(jié)論;已知正四面體P-ABC的內(nèi)切球體積為V1,外接球體積為V2,則=( ) A. B. C. D. 解析:正四面體的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為1∶3,故=. 答案:D 4.觀察如圖所示的正方形圖案,每條邊(包括兩個(gè)端點(diǎn))有n(n≥2,n∈N*)個(gè)圓點(diǎn),第n個(gè)圖案中圓點(diǎn)的總數(shù)是Sn.按此規(guī)律推斷出Sn與n的關(guān)系式為( ) A.Sn=2n B.Sn=4n C.Sn=2n D.Sn=4n-4 解析:由n=2,n=3,n=4的圖案,推斷第n個(gè)圖案
3、是這樣構(gòu)成的:各個(gè)圓點(diǎn)排成正方形的四條邊,每條邊上有n個(gè)圓點(diǎn),則圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為Sn=4n-4. 答案:D 5.下列推理中屬于歸納推理且結(jié)論正確的是( ) A.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.由an=2n-1,求出S1=12,S2=22,S3=32,…,推斷:Sn=n2 B.由f(x)=xcosx滿足f(-x)=-f(x)對(duì)? x∈R都成立,推斷:f(x)=xcosx為奇函數(shù) C.由圓x2+y2=r2的面積S=πr2,推斷:橢圓+=1(a>b>0)的面積S=πab D.由(1+1)2>21,(2+1)2>22,(3+1)2>23,…,推斷:對(duì)一切n∈N*,(n+1)2>2n 解析:
4、選項(xiàng)A由一些特殊事例得出一般性結(jié)論,且注意到數(shù)列{an}是等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和等于Sn==n2,選項(xiàng)D中的推理屬于歸納推理,但結(jié)論不正確.因此選A. 答案:A 6.觀察下式:1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,…,則第n個(gè)式子是( ) A.n+(n+1)+(n+2)+…+(2n-1)=n2 B.n+(n+1)+(n+2)+…+(2n-1)=(2n-1)2 C.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2 D.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=(2n-1)2 解析:方法一:由已知得第n個(gè)式子左邊為2
5、n-1項(xiàng)的和且首項(xiàng)為n,以后是各項(xiàng)依次加1,設(shè)最后一項(xiàng)為m,則m-n+1=2n-1,∴m=3n-2. 方法二:特值驗(yàn)證法.n=2時(shí),2n-1=3,3n-1=5, 都不是4,故只有3n-2=4,故選C. 答案:C 7.由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則: ①“mn=nm”類比得到“a·b=b·a”; ②“(m+n)t=mt+nt”類比得到“(a+b)·c=a·c+b·c”; ③“(m·n)t=m(n·t)”類比得到“(a·b)·c=a·(b·c)”; ④“t≠0,mt=xt?m=x”類比得到“p≠0,a·p=x·p?a=x”; ⑤“|m·n|=|m|·|n|”類
6、比得到“|a·b|=|a|·|b|”; ⑥“=”類比得到“=”. 以上式子中,類比得到的結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是( ) A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 解析:①②正確;③④⑤⑥錯(cuò)誤. 答案:B 8.觀察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cosx)′=-sinx,由歸納推理可得:若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-x)=f(x),記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則g(-x)等于( ) A.f(x) B.-f(x) C.g(x) D.-g(x) 解析:由所給函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)知,偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù).因此當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時(shí),其導(dǎo)函數(shù)應(yīng)為奇函數(shù),故g(-x)
7、=-g(x). 答案:D 9.已知 =2, =3, =4,…,若 =a(a,t均為正實(shí)數(shù)),類比以上等式,可推測(cè)a,t的值,則t-a=( ) A.31 B.41 C.55 D.71 解析:觀察所給的等式,等號(hào)左邊是 , ,,…,等號(hào)的右邊是2,3,…,則第n個(gè)式子的左邊是 ,右邊是(n+1)·,故a=7,t=72-1=48.t-a=41,選B. 答案:B 10.觀察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,則a10+b10=( ) A.28 B.76 C.123 D.199 解析:記an+bn=f(n),
8、則 f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4;f(4)=f(2)+f(3)=3+4=7;f(5)=f(3)+f(4)=11;f(6)=f(4)+f(5)=18;f(7)=f(5)+f(6)=29;f(8)=f(6)+f(7)=47;f(9)=f(7)+f(8)=76;f(10)=f(8)+f(9)=123. 即a10+b10=123. 答案:C 二、填空題 11.設(shè)n為正整數(shù),f(n)=1+++…+,計(jì)算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,觀察上述結(jié)果,可推測(cè)一般的結(jié)論為_(kāi)_________. 解析:由前四個(gè)式子可得,第n個(gè)不等式的左邊應(yīng)當(dāng)為f(2n),右邊應(yīng)當(dāng)
9、為,即可得一般的結(jié)論為f(2n)≥. 答案:f(2n)≥ 12.觀察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 …… 照此規(guī)律,第n個(gè)等式為_(kāi)_________. 解析:每行最左側(cè)數(shù)分別為1、2、3、…,所以第n行最左側(cè)的數(shù)為n;每行數(shù)的個(gè)數(shù)分別為1、3、5、…,則第n行的個(gè)數(shù)為2n-1.所以第n行數(shù)依次是n、n+1、n+2、…、3n-2.其和為n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2. 答案:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2 13.在平面上,我們?nèi)绻靡粭l直線去截正方形的
10、一個(gè)角,那么截下的一個(gè)直角三角形,按圖所標(biāo)邊長(zhǎng),由勾股定理有:c2=a2+b2.設(shè)想正方形換成正方體,把截線換成如圖的截面,這時(shí)從正方體上截下三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐O-LMN,如果用S1,S2,S3表示三個(gè)側(cè)面面積,S4表示截面面積,那么類比得到的結(jié)論是__________. 解析:將側(cè)面面積類比為直角三角形的直角邊,截面面積類比為直角三角形的斜邊,可得S+S+S=S. 答案:S+S+S=S 14.對(duì)于命題:若O是線段AB上一點(diǎn),則有||·+||·=0.將它類比到平面的情形是: 若O是△ABC內(nèi)一點(diǎn),則有S△OBC·+S△OCA·+S△OBA·=0,將它類比到空間情形應(yīng)該是:若O
11、是四面體ABCD內(nèi)一點(diǎn),則有__________. 解析:將平面中的相關(guān)結(jié)論類比到空間,通常是將平面中的圖形的面積類比為空間中的幾何體的體積,因此依題意可知若O為四面體ABCD內(nèi)一點(diǎn),則有VO-BCD·+VO-ACD·+VO-ABD·+VO-ABC·=0. 答案:VO-BCD·+VO-ACD·+VO-ABD·+VO-ABC·=0 三、解答題 15.某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn),以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù): ①sin213°+cos217°-sin13°cos17°; ②sin215°+cos215°-sin15°cos15°; ③sin218°+cos212°-sin18°
12、cos12°; ④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos48°; ⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos55°. (1)試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè),求出這個(gè)常數(shù); (2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果,將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式,并證明你的結(jié)論. 解析:方法一: (1)選擇②式,計(jì)算如下: sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-sin30°=1-=. (2)三角恒等式為 sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=. 證明如下: sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(3
13、0°-α) =sin2α+(cos30°cosα+sin30°sinα)2- sinα(cos30°cosα+sin30°sinα) =sin2α+cos2α+sinαcosα+sin2α- sinαcosα-sin2α =sin2α+cos2α=. 方法二: (1)同解法一. (2)三角恒等式為 sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=. 證明如下: sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α) =+-sinα(cos30°cosα+sin30°sinα) =-cos2α++(cos60°cos2α+sin60°sin
14、2α)-sinαcosα-sin2α =-cos2α++cos2α+sin2α-sin2α-(1-cos2α) =1-cos2α-+cos2α=. 答案:(1);(2)三角恒等式為sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=,證明略. 16.某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史,如圖①②③④所示為她們刺繡的最簡(jiǎn)單的四個(gè)圖案,這些圖案都是由小正方形構(gòu)成,小正方形數(shù)越多,刺繡越漂亮.現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同),設(shè)第n個(gè)圖形包含f(n)個(gè)小正方形. ① ?、凇 、邸 、? (1)求出f(5)的值; (2)利用
15、合情推理的“歸納推理思想”,歸納出f(n+1)與f(n)之間的關(guān)系式,并根據(jù)你得到的關(guān)系式求出f(n)的表達(dá)式; (3)求+++…+的值. 解析:(1)f(5)=41. (2)f(2)-f(1)=4=4×1, f(3)-f(2)=8=4×2, f(4)-f(3)=12=4×3, f(5)-f(4)=16=4×4, … 由上式規(guī)律,得f(n+1)-f(n)=4n. ∴f(n+1)=f(n)+4n, f(n)=f(n-1)+4(n-1) =f(n-2)+4(n-1)+4(n-2) =f(1)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+…+4 =2n2-2n+1. (3)
16、當(dāng)n≥2時(shí),==, ∴+++…+ =1+ =1+=-. 答案:(1)f(5)=41;(2)f(n+1)=f(n)+4n,f(n)=2n2-2n+1;(3)-. 創(chuàng)新試題 教師備選 教學(xué)積累 資源共享 教師用書獨(dú)具 1.某同學(xué)在電腦上打上了一串黑白圓,如圖所示,○○○●●○○○●●○○○…,按這種規(guī)律往下排,那么第36個(gè)圓的顏色應(yīng)是( ) A.白色 B.黑色 C.白色可能性大 D.黑色可能性大 解析:由題干圖知,圖形是三白二黑的圓周而復(fù)始相繼排列,是一個(gè)周期為5的三白二黑的圓列,因?yàn)?6÷5=7余1,所以第36個(gè)圓應(yīng)與第1個(gè)圓顏色相同,
17、即白色. 答案:A 2.觀察下列各式:55=3125,56=15625,57=78125,…,則52011的末四位數(shù)字為( ) A.3125 B.5625 C.0625 D.8125 解析:5n(n≥5且n∈Z)的后兩位數(shù)字一定為25,區(qū)別在于通過(guò)對(duì)其后三四位數(shù)的觀察,55、56、57的后三四位數(shù)31、56、81為等差數(shù)列,公差為25,由此推{5n}的后兩位前的數(shù)是以25為公差的等差數(shù)列.由公式d=得=25(其中a為52011的后兩位前的數(shù)),∴a=50181.故選D. 答案:D 3.[xx·廣西月考]下列推理是歸納推理的是( ) A.由于f(x)=xcosx滿足f
18、(-x)=-f(x)對(duì)?x∈R都成立,推斷f(x)=xcosx為奇函數(shù) B.由a1=1,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜出數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和的表達(dá)式 C.由圓x2+y2=1的面積S=πr2,推斷:橢圓+=1的面積S=πab D.由平面三角形的性質(zhì)推測(cè)空間四面體的性質(zhì) 解析:由特殊到一般的推理過(guò)程,符合歸納推理的定義;由特殊到與它類似的另一個(gè)特殊的推理過(guò)程,符合類比推理的定義;由一般到特殊的推理符合演繹推理的定義.A是演繹推理,C、D為類比推理,只有B,從S1,S2,S3猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn是從特殊到一般的推理,所以B是歸納推理. 答案:B 4.[xx·銀川質(zhì)檢]當(dāng)x
19、∈(0,+∞)時(shí)可得到不等式x+≥2,x+=++2≥3,由此可以推廣為x+≥n+1,取值p等于( ) A.nn B.n2 C.n D.n+1 解析:∵x∈(0,+∞)時(shí)可得到不等式x+≥2,x+=++2≥3,∴在p位置出現(xiàn)的數(shù)恰好是不等式左邊分母xn的指數(shù)n的指數(shù)次方,即p=nn. 答案:A 5.[xx·寶雞檢測(cè)]考察下列一組不等式: 將上述不等式在左、右兩端仍為兩項(xiàng)和的情況下加以推廣,使以上的不等式成為推廣不等式的特例,則推廣的不等式為_(kāi)_________. 解析:依題意得,推廣的不等式為am+n+bm+n>ambn+anbm(a>0,b>0,a≠b,m>0,n>
20、0). 答案:am+n+bm+n>ambn+anbm(a>0,b>0,a≠b,m>0,n>0) 6.[xx·淮北模擬]在計(jì)算“++…+ (n∈N*)”時(shí),某同學(xué)學(xué)到了如下一種方法:先改寫第k項(xiàng):=-, 由此得=-,=-,…,=-, 相加,得++…+=1-=. 類比上述方法,請(qǐng)你計(jì)算“++…+(n∈N*)”,其結(jié)果為_(kāi)_________. 解析:先改寫第n項(xiàng),=×=×=×, 所以++…+ = ==. 答案: 7.[xx·張家界模擬]觀察:①sin210°+cos240°+sin10°cos40°=; ②sin26°+cos236°+sin6°cos36°=. 由上面
21、兩題的結(jié)構(gòu)規(guī)律,你能否提出一個(gè)猜想?并證明你的猜想. 解析:猜想:sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)=. 證明:左邊=sin2α+cos(α+30°)[cos(α+30°)+sinα]=sin2α+=sin2α+cos2α-sin2α==右邊. 所以,猜想是正確的. 8.[xx·廣東中山模擬]設(shè)f(x)=,先分別求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3),然后歸納猜想一般性結(jié)論,并給出證明. 解析:f(0)+f(1)=+ =+ =+ =, 同理可得:f(-1)+f(2)=, f(-2)+f(3)=,并注意到在這三個(gè)特殊式子中,自變量之和均等于1. 歸納猜想得:當(dāng)x1+x2=1時(shí),均有f(x1)+f(x2)=. 證明:設(shè)x1+x2=1, f(x1)+f(x2)=+ = = = = =.
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