《2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 必修五 2-4 第2課時 等比數(shù)列的性質(zhì)(教案)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 必修五 2-4 第2課時 等比數(shù)列的性質(zhì)(教案)(6頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 必修五 2-4 第2課時 等比數(shù)列的性質(zhì)(教案)
教學(xué)重點 1.探究等比數(shù)列更多的性質(zhì);
2.解決生活實際中的等比數(shù)列的問題.
教學(xué)難點 滲透重要的數(shù)學(xué)思想.
教具準(zhǔn)備 多媒體課件、投影膠片、投影儀等
三維目標(biāo)
一、知識與技能
1.了解等比數(shù)列更多的性質(zhì);
2.能將學(xué)過的知識和思想方法運用于對等比數(shù)列性質(zhì)的進一步思考和有關(guān)等比數(shù)列的實際問題的解決中;
3.能在生活實際的問題情境中,抽象出等比數(shù)列關(guān)系,并能用有關(guān)的知識解決相應(yīng)的實際問題.
二、過程與方法
1.繼續(xù)采用觀察、思考、類比、歸納、探究、得出結(jié)論的方法進行教學(xué);
2、
2.對生活實際中的問題采用合作交流的方法,發(fā)揮學(xué)生的主體作用,引導(dǎo)學(xué)生探究問題的解決方法,經(jīng)歷解決問題的全過程;
3.當(dāng)好學(xué)生學(xué)習(xí)的合作者的角色.
三、情感態(tài)度與價值觀
1.通過對等比數(shù)列更多性質(zhì)的探究,培養(yǎng)學(xué)生的良好的思維品質(zhì)和思維習(xí)慣,激發(fā)學(xué)生對知識的探究精神和嚴(yán)肅認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度,培養(yǎng)學(xué)生的類比、歸納的能力;
2.通過生活實際中有關(guān)問題的分析和解決,培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識社會、了解社會的意識,更多地知道數(shù)學(xué)的社會價值和應(yīng)用價值.
教學(xué)過程
導(dǎo)入新課
師 教材中第59頁練習(xí)第3題、第4題,請學(xué)生課外進行活動探究,現(xiàn)在請同學(xué)們把你們的探究結(jié)果展示一下.
生 由學(xué)習(xí)小組
3、匯報探究結(jié)果.
師 對各組的匯報給予評價.
師 出示多媒體幻燈片一:第3題、第4題詳細(xì)解答:
第3題解答:
(1)將數(shù)列{an}的前k項去掉,剩余的數(shù)列為a k+1,a k+2,….令bi=ak+i,i=1,2,…,
則數(shù)列a k+1,ak+2,…,可視為b1,b2,….
因為 (i≥1),所以,{bn}是等比數(shù)列,即a k+1,ak+2,…是等比數(shù)列.
(2){an}中每隔10項取出一項組成的數(shù)列是a1,a 11,a 21,…,則
(k≥1).
所以數(shù)列a1,a 11,a21,…是以a1為首項,q10為公比的等比數(shù)列.
猜想:在數(shù)列{an}中每隔m(
4、m是一個正整數(shù))取出一項,組成一個新數(shù)列,這個數(shù)列是以a1為首項、qm為公比的等比數(shù)列.
◇本題可以讓學(xué)生認(rèn)識到,等比數(shù)列中下標(biāo)為等差數(shù)列的子數(shù)列也構(gòu)成等比數(shù)列,可以讓學(xué)生再探究幾種由原等比數(shù)列構(gòu)成的新等比數(shù)列的方法.
第4題解答:
(1)設(shè){an}的公比是q,則
a52=(a1q4)2=a12q8,
而a3·a7=a1q2·a1q6=a12q8,
所以a52=a3·a7.
同理,a52=a1·a9.
(2)用上面的方法不難證明an2=a n-1·a n+1(n>1).由此得出,an是a n-1和a n+1的等比中項,同理可證an2=a n-k·an+k(n>k
5、>0).an是an-k和an+k的等比中項(n>k>0).
師 和等差數(shù)列一樣,等比數(shù)列中蘊涵著許多的性質(zhì),如果我們想知道的更多,就要對它作進一步的探究.
推進新課
[合作探究]
師 出示投影膠片1
例題1 (教材P61B組第3題)就任一等差數(shù)列{an},計算a7+a 10,a8+a9和a10+a 40,a20+a30,你發(fā)現(xiàn)了什么一般規(guī)律,能把你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用一般化的推廣嗎?從等差數(shù)列和函數(shù)之間的聯(lián)系的角度來分析這個問題.在等比數(shù)列中會有怎樣的類似結(jié)論?
師 注意題目中“就任一等差數(shù)列{an}”,你打算用一個什么樣的等差數(shù)列來計算?
生 用等差數(shù)列1,2,3,…
師
6、 很好,這個數(shù)列最便于計算,那么發(fā)現(xiàn)了什么樣的一般規(guī)律呢?
生 在等差數(shù)列{an}中,若k+s=p+q(k,s,p,q∈N *),則ak+as=ap+aq.
師 題目要我們“從等差數(shù)列與函數(shù)之間的聯(lián)系的角度來分析這個問題”,如何做?
生 思考、討論、交流.
師 出示多媒體課件一:等差數(shù)列與函數(shù)之間的聯(lián)系.
[教師精講]
師 從等差數(shù)列與函數(shù)之間的聯(lián)系的角度來分析這個問題:由等差數(shù)列{an}的圖象,可以看出,
根據(jù)等式的性質(zhì),有.
所以ak+as=ap+aq.
師 在等比數(shù)列中會有怎樣的類似結(jié)論?
生 猜想對于等比數(shù)列{an},類似的性質(zhì)為:k+s=p
7、+t(k,s,p,t∈N*),則
ak·as=ap·at.
師 讓學(xué)生給出上述猜想的證明.
證明:設(shè)等比數(shù)列{an}公比為q,
則有ak·a s=a1qk-1·a1qs-1=a12·qk+s-2,
ap·at=a1q p-1·a1qt-1=a12·qp+t-2.
因為k+s=p+t,
所以有ak·as=ap·at.
師 指出:經(jīng)過上述猜想和證明的過程,已經(jīng)得到了等比數(shù)列的一個新的性質(zhì).
即等比數(shù)列{an}中,若k+s=p+t(k,s,p,t∈N*),則有ak·as=ap·at.
師 下面有兩個結(jié)論:
(1)與首末兩項等距離的兩項之積等于首末兩項的積;
8、
(2)與某一項距離相等的兩項之積等于這一項的平方.
你能將這兩個結(jié)論與上述性質(zhì)聯(lián)系起來嗎?
生 思考、列式、合作交流,得到:
結(jié)論(1)就是上述性質(zhì)中1+n=(1+t)+(n-t)時的情形;
結(jié)論(2)就是上述性質(zhì)中k+k=(k+t)+(k-t)時的情形.
師 引導(dǎo)學(xué)生思考,得出上述聯(lián)系,并給予肯定的評價.
師 上述性質(zhì)有著廣泛的應(yīng)用.
師 出示投影膠片2:例題2
例題2
(1)在等比數(shù)列{an}中,已知a1=5,a9a 10=100,求a 18;
(2)在等比數(shù)列{bn}中,b4=3,求該數(shù)列前七項之積;
(3)在等比數(shù)列{an}中,a2=-2
9、,a5=54,求a8.
例題2 三個小題由師生合作交流完成,充分讓學(xué)生思考,展示將問題與所學(xué)的性質(zhì)聯(lián)系到一起的思維過程.
解答:
(1)在等比數(shù)列{an}中,已知a1=5,a9a10=100,求a 18.
解:∵a1a 18=a9a 10,∴a 18= =20.
(2)在等比數(shù)列{bn}中,b4=3,求該數(shù)列前七項之積.
解:b1b2b3b4b5b6b7=(b1b7)(b2b6)(b3b5)b4.
∵b42=b1b7=b2b6=b3b5,∴前七項之積(32)3×3=37=2 187.
(3)在等比數(shù)列{an}中,a2=-2,a5=54,求a8.
解:.∵a5是
10、a2與a8的等比中項,∴542=a8×(-2).
∴a8=-1 458.
另解:a8=a5q3=a5·=-1 458.
[合作探究]
師 判斷一個數(shù)列是否成等比數(shù)列的方法:1、定義法;2、中項法;3、通項公式法.
例題3:已知{an}{bn}是兩個項數(shù)相同的等比數(shù)列,仿照下表中的例子填寫表格.從中你能得出什么結(jié)論?證明你的結(jié)論.
an
bn
an·bn
判斷{an·bn}是否是等比數(shù)列
例
-5×2n-1
是
自選1
自選2
師 請同學(xué)們自己完成上面的表.
師 根據(jù)這個表格,我們可以得到什么樣的結(jié)論?如何
11、證明?
生 得到:如果{an}、{bn}是兩個項數(shù)相同的等比數(shù)列,那么{an·bn}也是等比數(shù)列.
證明如下:
設(shè)數(shù)列{an}的公比是p,{bn}公比是q,那么數(shù)列{an·bn}的第n項與第n+1項分別為a1p n-1b1qn-1與a1pnb1qn,因為
,
它是一個與n無關(guān)的常數(shù),所以{an·bn}是一個以pq為公比的等比數(shù)列.
[教師精講]
除了上面的證法外,我們還可以考慮如下證明思路:
證法二:
設(shè)數(shù)列{an}的公比是p,{bn}公比是q,那么數(shù)列{an·bn}的第n項、第n-1項與第n+1項(n>1,n∈N *)分別為a1p n-1b1q n-1、a
12、1p n-2b1qn-2與a1pnb1qn,因為
(anbn)2=(a1p n-1b1qn-1)2=(a1b1)2(pq) 2(n-1),
(a n-1·bn-1)(a n+1·bn+1)=(a1pn-2b1qn-2)(a1pnb1qn)=(a1b1)2(pq)2(n-1),
即有(anbn)2=(a n-1·bn-1)(a n+1·bn+1)(n>1,n∈N *),
所以{an·bn}是一個等比數(shù)列.
師 根據(jù)對等比數(shù)列的認(rèn)識,我們還可以直接對數(shù)列的通項公式考察:
證法三:設(shè)數(shù)列{an}的公比是p,{bn}公比是q,那么數(shù)列{an·bn}的通項公式為
anbn=a1p n-1b1qn-1=(a1b1)(pq) n-1,
設(shè)cn=anbn,則cn=(a1b1)(pq) n-1,
所以{an·bn}是一個等比數(shù)列.
課堂小結(jié)
本節(jié)學(xué)習(xí)了如下內(nèi)容:
1.等比數(shù)列的性質(zhì)的探究.
2.證明等比數(shù)列的常用方法.
布置作業(yè)
課本第60頁習(xí)題2.4 A組第3題、B組第1題.
板書設(shè)計
等比數(shù)列的基本性質(zhì)及其應(yīng)用
例1 例2 例3