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1、2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 必修五 解三角形 小結(jié)教案 [整合·網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建] [警示·易錯(cuò)提醒] 1．三角形解的個(gè)數(shù)的確定(易錯(cuò)點(diǎn)) 已知兩邊和其中一邊的對(duì)角不能唯一確定三角形，解這類三角形問(wèn)題可能出現(xiàn)一解、兩解、無(wú)解的情況，這時(shí)應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對(duì)大角”，此時(shí)一般用正弦定理，但也可用余弦定理． (1)利用正弦定理討論：若已知a、b、A，由正弦定理＝，得sin B＝.若sin B＞1，無(wú)解；若sin B＝1，一解；若sin B＜1，兩解． (2)利用余弦定理討論： 已知a、b、A.由余弦定理a2＝c2＋b2－2cbcos A，即c2－(2bcos A)c＋b2－a2＝0，

2、這是關(guān)于c的一元二次方程．若方程無(wú)解或無(wú)正數(shù)解，則三角形無(wú)解；若方程有唯一正數(shù)解，則三角形一解；若方程有兩不同正數(shù)解，則三角形有兩解． 2．三角形形狀的判定方法 判定三角形形狀通常有兩種途徑：一是通過(guò)正弦定理和余弦定理，化邊為角(如：a＝2Rsin A，a2＋b2－c2＝2abcos C等)，利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系 進(jìn)行判斷．此時(shí)注意一些常見(jiàn)的三角恒等式所體現(xiàn)的角之間的關(guān)系．如： sin A＝sin B?A＝B；sin (A－B)＝0?A＝B；sin 2A＝sin 2B?A＝B或A＋B＝等；二是利用正弦定理、余弦定理化角為邊，如：sin A＝(R為△ABC外接圓半徑)，c

3、os A＝等，通過(guò)代數(shù)恒等變換求出三條邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷． 3.解三角形應(yīng)用題的基本思路 解三角形應(yīng)用題的關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題來(lái)解決．其基本解題思路是：首先分析此題屬于哪種類型的問(wèn)題(如測(cè)量距離、高度、角度等)，然后依題意畫(huà)出示意圖，把已知量和未知量標(biāo)在示意圖中(目的是發(fā)現(xiàn)已知量與未知量之間的關(guān)系)，最后確定用哪個(gè)定理轉(zhuǎn)化，哪個(gè)定理求解，并進(jìn)行作答．解題時(shí)還要注意近似計(jì)算的要求． (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P22) 專題一　利用正、余弦定理解三角形(自主研析) [例1]　△ABC中，內(nèi)角A，B，C對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是a，b，c.已知c＝2，C＝. (1)若△ABC的面積等

4、于，求a，b； (2)若sin B＝2sin A，求△ABC的面積． [自主解答]　(1)由余弦定理得a2＋b2－ab＝4.又因?yàn)椤鰽BC的面積等于，所以absin C＝，得ab＝4. 聯(lián)立方程組 解得a＝2，b＝2. (2)由正弦定理已知條件可化為b＝2a， 聯(lián)立方程組 解得a＝，b＝， 所以△ABC的面積S＝absin C＝. 歸納升華 正、余弦定理應(yīng)用需注意的三個(gè)方面 (1)正弦定理和余弦定理提示了三角形邊角之間的關(guān)系，解題時(shí)要根據(jù)題目條件恰當(dāng)?shù)貙?shí)現(xiàn)邊角的統(tǒng)一． (2)統(tǒng)一為“角”后，要注意正確利用三角恒等變換及誘導(dǎo)公式進(jìn)行變形；統(tǒng)一為“邊”后，要注意正確利用配方

5、、因式分解等代數(shù)變換方法進(jìn)行變形． (3)求值時(shí)注意方程思想的運(yùn)用． [變式訓(xùn)練]　△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，asin A＋csin C－asin C＝bsin B. (1)求角B的大小； (2)若A＝75°，b＝2，求a，c. 解：(1)由正弦定理得a2＋c2－ac＝b2. 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B. 故cos B＝，因此B＝45°. (2)sin A＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos45°＋cos 30°sin 45°＝ . 故a＝b×＝1＋. 由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°， c＝b×＝2×

6、＝. 專題二　判斷三角形的形狀問(wèn)題 [例2]　在△ABC中，如果lg a－lg c＝lg sin B＝－lg，且B為銳角，試判斷此三角形的形狀． 解：因?yàn)閘g sin B＝－lg，所以sin B＝， 又因?yàn)?°＜B＜90°，所以B＝45°. 由lg a－lg c＝－lg，得＝. 由正弦定理得＝ 即2sin(135°－C)＝sin C， 即2(sin 135°cos C－cos 135°sin C)＝sin C．所以cos C＝0，得C＝90°， 又因?yàn)锳＝45°，所以B＝45°，從而△ABC是等腰直角三角形． 歸納升華 利用正、余弦定理判斷三角形形狀的方法 主要有兩種方

7、法：方法一，通過(guò)邊之間的關(guān)系判斷形狀；方法二，通過(guò)角之間的關(guān)系判斷形狀． 利用正、余弦定理可以將已知條件中的邊、角互化，把條件轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系或轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系． [變式訓(xùn)練]　在△ABC中，若∠B＝60°，2b＝a＋c，試判斷△ABC的形狀． 解：法一：由正弦定理，得2sin B＝sin A＋sin C. 因?yàn)椤螧＝60°， 所以∠A＋∠C＝120°. 所以2sin 60°＝sin(120°－C)＋sin C. 展開(kāi)整理得sin C＋cos C＝1. 所以sin(C＋30°)＝1.因?yàn)?＜C＜120°， 所以∠C＋30°＝90°.所以∠C＝60°. 故∠A＝60°. 所以△

8、ABC為等邊三角形． 法二：由余弦定理，得 b2＝a2＋c2－2accos B. 因?yàn)椤螧＝60°，b＝， 所以＝a2＋c2－2accos 60°，化簡(jiǎn)得(a－c)2＝0， 所以a＝c. 又∠B＝60°，所以a＝b＝c. 所以△ABC為等邊三角形． 專題三　正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用 [例3]　航空測(cè)量組的飛機(jī)航線和山頂在同一鉛直平面內(nèi)，已知飛機(jī)的高度為海拔10 000 m，速度為180 km/h，飛機(jī)先看到山頂?shù)母┙菫?5°，經(jīng)過(guò)420 s后又看到山頂?shù)母┙菫?5°，求山頂?shù)暮０胃叨?取≈1.4，≈1.7)． 解：如圖所示，根據(jù)題意可得∠A＝15°，∠DBC＝45°，

9、所以∠ACB＝30°， AB＝180×＝21(km)＝21 000(m)． 所以在△ABC中，＝， 所以BC＝·sin 15°＝10 500(－)(m)． 因?yàn)镃D⊥AD， 所以CD＝BCsin∠CBD＝ 10 500(－)×＝10 500(－1)≈ 10 500×(1.7－1)＝7 350(m)， 所以，山頂?shù)暮０胃叨龋?0 000－7 350＝2 650(m)． 歸納升華 正、余弦定理與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用 (1)以三角形為載體，以正、余弦定理為工具，以三角恒等變換為手段來(lái)考查三角形問(wèn)題是近年高考的一類熱點(diǎn)題型．在具體解題時(shí)，除了熟練使用正、余弦定理外，也要根據(jù)條件

10、合理選用三角函數(shù)公式，達(dá)到化簡(jiǎn)問(wèn)題的目的． (2)解三角形問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題．在高考中，出題者有時(shí)會(huì)利用平面向量等知識(shí)給出問(wèn)題的某些條件，這些知識(shí)一般只起到“點(diǎn)綴”作用，難度較?。? [變式訓(xùn)練]　(1)如圖所示，某住宅小區(qū)的平面圖呈扇形AOC.小區(qū)的兩個(gè)出入口設(shè)置在點(diǎn)A及點(diǎn)C處，小區(qū)里有兩條筆直的小路AD，DC，且拐彎處的轉(zhuǎn)角為120°.已知某人從C沿CD走到D用了10分鐘，從 D沿DA走到A用了6分鐘．若此人步行的速度為每分鐘50米，求該扇形的半徑OA的長(zhǎng)(精確到1米)． (2)在△ACB中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c， 且a＞c，已知·＝2，cos

11、 B＝，b＝3，求： ①a和c的值； ②cos(B－C)的值． (1)解：法一：設(shè)該扇形的半徑為r米，由題意，得CD＝ 500 米，DA＝300 米，∠CDO＝60°. 在△CDO中，CD2＋OD2－2·CD·OD·cos 60°＝OC2， 即5002＋(r－300)2－2×500×(r－300)×＝r2， 解得r＝≈445 (米)． 法二：連接AC，作OH⊥AC，交AC于點(diǎn)H， 由題意，得CD＝500米， AD＝300米， ∠CDA＝120°. 在△ACD中，AC2＝CD2＋AD2－2·CD·AD· cos 120°＝5002＋3002＋2×500×300×＝7

12、002， 所以AC＝700(米)． cos∠CAD＝＝. 在Rt△HAO中，AH＝350(米)， cos∠HAO＝， 所以O(shè)A＝＝≈445(米)． (2)解：①由·＝2，得c·acos B＝2，又cos B＝，所以ac＝6. 由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B. 又b＝3，所以a2＋c2＝32＋2×6×＝13. 解得或 因?yàn)閍＞c，所以a＝3，c＝2. ②在△ABC中， sin B＝＝ ＝， 由正弦定理，得 sin C＝sin B＝×＝. 因a＝b＞c，所以C為銳角， 因此cos C＝＝＝. 于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝ ×＋×＝.