《2022-2023學年高中數學 第1部分 第2章 圓錐曲線與方程 2.5 圓錐曲線的統(tǒng)一定義講義（含解析）蘇教版選修2-1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2022-2023學年高中數學 第1部分 第2章 圓錐曲線與方程 2.5 圓錐曲線的統(tǒng)一定義講義（含解析）蘇教版選修2-1（11頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、2022-2023學年高中數學 第1部分 第2章 圓錐曲線與方程 2.5 圓錐曲線的統(tǒng)一定義講義（含解析）蘇教版選修2-1 圓錐曲線的統(tǒng)一定義 拋物線可以看成平面內的到定點(焦點)F的距離與到定直線(準線)l的距離的比值等于1(離心率)的動點的軌跡．在坐標平面內有一定點F(c,0)，定直線x＝(a>0，c>0)．動點P(x，y)到定點F(c,0)的距離與到定直線x＝的距離的比為. 問題1：求動點P(x，y)的軌跡方程． 提示：由＝， 化簡得：(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)． 問題2：當a>c，即0<<1時，軌跡是什么？ 提示：橢圓． 問題

2、3：當a1時，軌跡是什么？ 提示：雙曲線． 圓錐曲線可以統(tǒng)一定義為：平面內到一個定點F和到一條定直線l(F不在l上)的距離的比等于常數e的點的軌跡． 當0＜e＜1時，它表示橢圓， 當e＞1時，它表示雙曲線， 當e＝1時，它表示拋物線． 其中e是離心率，定點F是圓錐曲線的焦點，定直線l是圓錐曲線的準線. 圓錐曲線的準線 從拋物線的定義知，拋物線只有一個焦點和一條準線，那么橢圓、雙曲線有幾個焦點，幾條準線？ 提示：橢圓、雙曲線分別有兩個焦點，兩條準線． 橢圓、雙曲線和拋物線的準線方程 曲線方程 準線方程 曲線方程 準線方程 ＋＝1(a

3、＞b＞0) x＝± ＋＝1(a＞b＞0) y＝± －＝1(a＞0，b＞0) x＝± －＝1(a＞0，b＞0) y＝± y2＝2px(p＞0) x＝－ x2＝2py(p＞0) y＝－ y2＝－2px(p＞0) x＝ x2＝－2py(p＞0) y＝ 圓錐曲線的第一定義與第二定義的區(qū)別 橢圓、雙曲線的第一定義突出了動點與兩定點的距離關系，第二定義主要表現了動點與一定點和一條定直線的距離之比的關系，所以在選用兩種定義時可根據題目條件的不同適當選擇．利用第一定義可以把到一個定點的距離轉化為到另一點的距離，利用第二定義可以把到定點與到定直線的距離互相轉化，對于拋物

4、線，第一定義與第二定義是一致的． 利用統(tǒng)一定義確定曲線形狀 [例1]　過圓錐曲線C的一個焦點F的直線l交曲線C于A，B兩點，且以AB為直徑的圓與F相應的準線相交，則曲線C為________． [思路點撥]　利用圓錐曲線第二定義進行轉化，由圓心到直線的距離和半徑的大小關系，建立不等式求e的范圍即可判斷． [精解詳析]　設圓錐曲線的離心率為e，M為AB的中點，A，B和M到準線的距離分別為d1，d2和d，圓的半徑為R，d＝，R＝＝＝.由題意知R＞d，則e＞1，圓錐曲線為雙曲線． [答案]　雙曲線 [一點通]　解答這種類型的問題時，巧妙應用圓錐曲線的統(tǒng)一定義進行

5、轉化，即e＝＝.有時會應用到數形結合的思想方法，這種類型多為客觀題，以考查統(tǒng)一定義的應用為主． 1．方程 ＝|x＋y－1|對應點P(x，y)的軌跡為________． 解析：由＝|x＋y－1| 得＝. 可看作動點P(x，y)到定點(－1,0)的距離與到定直線x＋y－1＝0的距離比為>1的軌跡方程，由圓錐曲線統(tǒng)一定義可知，軌跡為雙曲線． 答案：雙曲線 2．若將例1中“相交”二字改為“相離”，判斷曲線的形狀；把“相交”二字改為“相切”，再判斷曲線的形狀． 解：設圓錐曲線的離心率為e，M是AB中點，A，B和M到準線的距離分別為d1，d2和d，圓的半徑為R， 則d＝， R＝＝＝.

6、 當圓與準線相離時，R＜d， 即＜， ∴0＜e＜1，圓錐曲線為橢圓． 當圓與準線相切時，R＝d， ∴e＝1，圓錐曲線為拋物線. 用圓錐曲線的統(tǒng)一定義求軌跡 [例2]　已知動點P(x，y)到點A(0,3)與到定直線y＝9的距離之比為，求動點P的軌跡． [思路點撥]　此題解法有兩種一是定義法，二是直譯法． [精解詳析]　法一：由圓錐曲線的統(tǒng)一定義知：P點的軌跡是一橢圓，c＝3，＝9，則a2＝27，a＝3， ∴e＝＝，與已知條件相符． ∴橢圓中心在原點，焦點為(0，±3)，準線y＝±9. b2＝18，其方程為＋＝1. 法二：由題意得＝. 整理得＋＝1. P點

7、的軌跡是以(0，±3)為焦點，以y＝±9為準線的橢圓． [一點通]　解決此類題目有兩種方法：①是直接列方程，代入后化簡整理即得方程．②是根據定義判斷軌跡是什么曲線，然后確定其幾何性質，從而得出方程． 3．平面內的動點P(x，y)(y>0)到點F(0,2)的距離與到x軸的距離之差為2，求動點P的軌跡． 解： 如圖：作PM⊥x軸于M，延長PM交直線y＝－2于點N. ∵PF－PM＝2， ∴PF＝PM＋2. 又∵PN＝PM＋2，∴PF＝PN. ∴P到定點F與到定直線y＝ －2的距離相等． 由拋物線的定義知，P的軌跡是以F為焦點，以y＝－2為準線的拋物線，頂點在原點，p＝4. ∴

8、拋物線方程為x2＝8y(y>0)． ∴動點P的軌跡是拋物線． 4．在平面直角坐標系xOy中，已知F1(－4,0)，直線l：x＝－2，動點M到F1的距離是它到定直線l距離d的倍．設動點M的軌跡曲線為E. (1)求曲線E的軌跡方程； (2)設點F2(4,0)，若直線m為曲線E的任意一條切線，且點F1，F2到m的距離分別為d1，d2，試判斷d1d2是否為常數，并說明理由． 解：(1)由題意，設點M(x，y)， 則有MF1＝， 點M(x，y)到直線l的距離d＝|x－(－2)|＝|x＋2|， 故＝|x＋2|， 化簡得x2－y2＝8. 故動點M的軌跡方程為x2－y2＝8. (2)d1

9、d2是常數，證明如下： 若切線m斜率不存在，則切線方程為x＝±2， 此時d1d2＝(c＋a)·(c－a)＝b2＝8. 當切線m斜率存在時，設切線m：y＝kx＋t， 代入x2－y2＝8，整理得：x2－(kx＋t)2＝8， 即(1－k2)x2－2tkx－(t2＋8)＝0. Δ＝(－2tk)2＋4(1－k2)(t2＋8)＝0， 化簡得t2＝8k2－8. 又由kx－y＋t＝0，d1＝，d2＝， d1d2＝＝＝8,8為常數． 綜上，對任意切線m，d1d2是常數. 圓錐曲線統(tǒng)一定義的應用 　　 [例3]　已知定點A(－2，)，點F為橢圓＋＝1的右焦點，點M在橢圓上運動，求

10、AM＋2MF的最小值，并求此時點M的坐標． [思路點撥]　利用統(tǒng)一定義把MF轉化為點M到相應準線的距離，數形結合便可迎刃而解． [精解詳析]　∵a＝4，b＝2，∴c＝＝2. ∴離心率e＝.A點在橢圓內，設M到右準線的距離為d，則＝e，即MF＝ed＝d，右準線l：x＝8. ∴AM＋2MF＝AM＋d. ∵A點在橢圓內， ∴過A作AK⊥l(l為右準線)于K，交橢圓于點M0. 則A、M、K三點共線，即M與M0重合時，AM＋d最小為AK，其值為8－(－2)＝10. 故AM＋2MF的最小值為10，此時M點坐標為(2， )． [一點通]　圓錐曲線的統(tǒng)一定義通常用來解決一些與距離有關的最值問

11、題，利用定義，實現曲線上的點到焦點的距離與到相應準線的距離間的互化，互化時應注意焦點與準線的對應． 5．已知雙曲線－＝1的右焦點為F，點A(9,2)，M為雙曲線上的動點，則MA＋MF的最小值為______． 解析：雙曲線離心率e＝，由圓錐曲線統(tǒng)一定義知＝e(d為點M到右準線l的距離)，右準線l的方程為x＝，顯然當AM⊥l時，AM＋d最小， 而AM＋MF＝MA＋de＝MA＋d. 而AM＋d的最小值為A到l的距離為9－＝. 答案： 6．若點P的坐標是(－1，－3)，F為橢圓＋＝1的右焦點，點Q在橢圓上移動，當QF＋PQ取得最小值時，求點Q的坐標，并求出最小值． 解：在＋＝1中a＝

12、4，b＝2 ，c＝2， ∴e＝，橢圓的右準線l：x＝8， 過點Q作QQ′⊥l于Q′， 則＝e. ∴QF＝QQ′. ∴QF＋PQ＝QQ′＋PQ＝(QQ′＋PQ)． 要使QQ′＋PQ最小，由圖可知P、Q、Q′三點共線，所以由P向準線l作垂線，與橢圓的交點即為QF＋PQ最小時的點Q， ∴Q的縱坐標為－3，代入橢圓得：Q的橫坐標為x＝2. ∴Q為(2，－3)，此時QF＋PQ＝. 圓錐曲線的準線、離心率的求解及應用 [例4]　求橢圓＋＝1的離心率與準線方程，并求與該橢圓有相同準線且離心率互為倒數的雙曲線方程． [思路點撥]　由方程確定a、c，從而求e與準線，由橢圓的準線

13、、離心率再確定雙曲線的實軸、虛軸長，求出雙曲線的方程． [精解詳析]　由＋＝1知a＝5，b＝4，c＝3. e＝＝，準線方程為y＝±. 設雙曲線虛半軸長為b′，實半軸長為a′，半焦距為c′， 離心率為e′，則e′＝＝，又∵＝＝. 解得：a′＝，c′＝，b′2＝. ∴雙曲線方程為－＝1. [一點通]　此類問題首先判斷該圓錐曲線是什么曲線，然后化成標準方程，確定出a、b、c、p，進而求離心率和準線方程． 7．(天津高考)已知拋物線y2＝8x的準線過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一個焦點， 且雙曲線的離心率為2，則該雙曲線的方程為________． 解析：拋物線y2＝8x的準線

14、x＝－2過雙曲線的一個焦點，所以c＝2，又離心率為2，所以a＝1，b＝＝，所以該雙曲線的方程為x2－＝1. 答案：x2－＝1 8．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的焦距為2，若一雙曲線與此橢圓共焦點，且它的實軸長比橢圓的長軸長短8，雙曲線的離心率與橢圓的離心率之比是5∶1，求橢圓和雙曲線的方程，并求其相應的準線方程． 解：設a′，b′分別為雙曲線的實半軸長和虛半軸長， 依題意有　解得 所以橢圓的短半軸長b＝＝， 雙曲線的虛半軸長b′＝＝3. 故橢圓和雙曲線的方程分別是 ＋＝1和x2－＝1. 橢圓的準線方程為x＝±， 雙曲線的準線方程為x＝±. 1．圓錐曲線的判斷：

15、要判斷所給曲線是哪種圓錐曲線，常利用圓錐曲線的定義求解，其思路是： (1)如果遇到有動點到兩定點的距離問題應自然聯(lián)想到橢圓及雙曲線的定義． (2)如果遇到動點到一個定點和一條定直線的距離問題應自然聯(lián)想到橢圓、雙曲線和拋物線的統(tǒng)一定義． 2．圓錐曲線共同特征的應用： 設F為圓錐曲線的焦點，A為曲線上任意一點，d為點A到定直線的距離，由＝e變形可得d＝.由這個變形可以實現由AF到d的轉化，借助d則可以解決一些最值問題． [對應課時跟蹤訓練(十四)]　 1．雙曲線2x2－y2＝－16的準線方程為________． 解析：原方程可化為－＝1. ∵a2＝16，c2＝a2＋b

16、2＝16＋8＝24， ∴c＝2. ∴準線方程為y＝±＝±＝±. 答案：y＝± 2．設P是橢圓＋＝1上一點，M，N分別是兩圓：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的點，則PM＋PN的最小值、最大值分別為________________． 解析：PM＋PN最大值為PF1＋1＋PF2＋1＝12，最小值為PF1－1＋PF2－1＝8. 答案：8,12 3．到直線y＝－4的距離與到A(0，－2)的距離的比值為的點M的軌跡方程為________． 解析：設M(x，y)，由題意得＝. 化簡得＋＝1. 答案：＋＝1 4．(福建高考)橢圓Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為

17、F1，F2，焦距為2c.若直線y＝(x＋c)與橢圓Γ的一個交點M滿足∠MF1F2＝2∠MF2F1，則該橢圓的離心率等于________． 解析：直線y＝(x＋c)過點F1(－c,0)，且傾斜角為60°，所以∠MF1F2＝60°，從而∠MF2F1＝30°，所以MF1⊥MF2.在Rt△MF1F2中，MF1＝c，MF2＝c，所以該橢圓的離心率e＝＝＝－1. 答案：－1 5．已知橢圓＋＝1內部的一點為A，F為右焦點，M為橢圓上一動點，則MA＋MF的最小值為________． 解析：設M到右準線的距離為d， 由圓錐曲線定義知＝，右準線方程為x＝＝2. ∴d＝MF. ∴MA＋MF＝MA＋d.

18、 由A向右準線作垂線，垂線段長即為MA＋d的最小值，∴MA＋d≥2－1. 答案：2－1 6．已知橢圓＋＝1上有一點P，到其左、右兩焦點距離之比為1∶3，求點P到兩準線的距離及點P的坐標． 解：設P(x，y)，左、右焦點分別為F1、F2. 由已知的橢圓方程可得a＝10，b＝6，c＝8，e＝＝，準線方程為x＝±. ∵PF1＋PF2＝2a＝20，且PF1∶PF2＝1∶3， ∴PF1＝5，PF2＝15. 設P到兩準線的距離分別為d1、d2，則 由＝＝e＝，得d1＝，d2＝. ∴x＋＝x＋＝，∴x＝－. 代入橢圓方程，得y＝±. ∴點P的坐標為或. 7．已知平面內的動點P到定直

19、線l：x＝2 的距離與點P到定點F(，0)之比為. (1)求動點P的軌跡C的方程； (2)若點N為軌跡C上任意一點(不在x軸上)，過原點O作直線AB，交(1)中軌跡C于點A、B，且直線AN、BN的斜率都存在，分別為k1、k2，問k1·k2是否為定值？ 解：(1)設點P(x，y)，依題意，有＝. 整理，得＋＝1.所以動點P的軌跡C的方程為 ＋＝1. (2)由題意，設N(x1，y1)，A(x2，y2)，則B(－x2，－y2)，＋＝1，＋＝1. k1·k2＝·＝ ＝＝－，為定值． 8．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右兩個焦點分別為F1，F2，P是左支上一點，P到左準線的距

20、離為d，雙曲線的一條漸近線為y＝x，問是否存在點P，使d、PF1、PF2成等比數列？若存在，則求出P的坐標，若不存在，說明理由． 解：假設存在點P，設P(x，y)． ∵雙曲線的一條漸近線為y＝x， ∴＝，b2＝3a2，c2－a2＝3a2. ∴＝2. 若d、PF1、PF2成等比數列， 則＝＝2，PF2＝2PF1.① 又∵雙曲線的準線為x＝±， ∴PF1＝＝|2x0＋a|， PF2＝＝|2x0－a|. 又∵點P是雙曲線左支上的點， ∴PF1＝－2x0－a，PF2＝－2x0＋a. 代入①得－2x0＋a＝2(－2x0－a)， x0＝－a. 代入－＝1得y0＝±a. ∴存在點P使d、PF1、PF2成等比數列， P.