《2022-2023學年高中數學 第一章 三角函數 8 函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖像與性質(二)學案 北師大版必修4》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2022-2023學年高中數學 第一章 三角函數 8 函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖像與性質(二)學案 北師大版必修4（19頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、2022-2023學年高中數學 第一章 三角函數 8 函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖像與性質(二)學案 北師大版必修4 學習目標　1.會用“五點法”畫函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖像.2.能根據y＝Asin(ωx＋φ)的部分圖像，確定其解析式.3.了解y＝Asin(ωx＋φ)的圖像的物理意義，能指出簡諧運動中的振幅、周期、相位、初相. 知識點一　“五點法”作函數y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖像 思考1　用“五點法”作y＝sin x，x∈[0，2π]時，五個關鍵點的橫坐標依次取哪幾個值？ 答案　依次為0，，π，，2π. 思考2　用“五點法”作y＝Asin(ωx＋

2、φ)時，五個關鍵的橫坐標取哪幾個值？ 答案　用“五點法”作函數y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)的簡圖，先令t＝ωx＋φ，再由t取0，，π，，2π即可得到所取五個關鍵點的橫坐標依次為－，－＋，－＋，－＋，－＋. 梳理　用“五點法”作y＝Asin(ωx＋φ) 的圖像的步驟： 第一步：列表： ωx＋φ 0 π 2π x － － － － － y 0 A 0 －A 0 第二步：在同一坐標系中描出各點. 第三步：用光滑曲線連接這些點，形成圖像. 知識點二　函數y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0的性質 名稱 性質 定義域 R 值域

3、[－A，A] 周期性 T＝ 對稱性 對稱中心(k∈Z) 對稱軸 x＝＋(k∈Z) 奇偶性 當φ＝kπ(k∈Z)時是奇函數； 當φ＝kπ＋(k∈Z)時是偶函數 單調性 通過整體代換可求出其單調區(qū)間 知識點三　函數y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中參數的物理意義 1.函數y＝－2sin的振幅是－2.(　×　) 提示　振幅是2. 2.函數y＝sin的初相是.(　×　) 提示　初相是－. 3.函數y＝sin的圖像的對稱軸方程是x＝＋kπ，k∈Z.(　√　) 提示　令x＋＝＋kπ，k∈Z，解得x＝＋kπ，k∈Z，即f(x)的圖像的對稱軸方程是x＝＋

4、kπ，k∈Z. 類型一　用“五點法”畫y＝Asin(ωx＋φ)的圖像 例1　利用五點法作出函數y＝3sin在一個周期內的圖像. 考點　用“五點法”作三角函數的簡圖 題點　用“五點法”作三角函數的簡圖 解　依次令－＝0，，π，，2π，列出下表： － 0 π 2π x y 0 3 0 －3 0 描點，連線，如圖所示. 反思與感悟　(1)用“五點法”作圖時，五點的確定，應先令ωx＋φ分別為0，，π，，2π，解出x，從而確定這五點. (2)作給定區(qū)間上y＝Asin(ωx＋φ)的圖像時，若x∈[m，n]，則應先求出ωx＋φ的相

5、應范圍，在求出的范圍內確定關鍵點，再確定x，y的值，描點、連線并作出函數的圖像. 跟蹤訓練1　已知f(x)＝1＋sin，畫出f(x)在x∈上的圖像. 考點　用“五點法”作三角函數的簡圖 題點　用“五點法”作三角函數的簡圖 解　(1)∵x∈， ∴2x－∈. 列表如下： x － －π － π 2x－ －π －π － 0 π f(x) 2 1 1－ 1 1＋ 2 (2)描點，連線，如圖所示. 類型二　由圖像求函數y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 例2　如圖是函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖像，求A，ω，φ的值，并確定其函數解析

6、式. 考點　由圖像求函數y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 題點　由圖像求函數y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 解　方法一　(逐一定參法) 由圖像知振幅A＝3， 又T＝－＝π， ∴ω＝＝2. 由點可知，－×2＋φ＝0， 得φ＝，∴y＝3sin. 方法二　(待定系數法) 由圖像知A＝3，又圖像過點和，根據五點作圖法原理(以上兩點可判為“五點法”中的第三點和第五點)，有解得 ∴y＝3sin. 方法三　(圖像變換法) 由T＝π，點，A＝3可知， 圖像是由y＝3sin 2x向左平移個單位長度而得到的， ∴y＝3sin，即y＝3sin. 反思與感悟　若設所求解析式為y＝

7、Asin(ωx＋φ)，則在觀察函數圖像的基礎上，可按以下規(guī)律來確定A，ω，φ. (1)由函數圖像上的最大值、最小值來確定|A|. (2)由函數圖像與x軸的交點確定T，由T＝，確定ω. (3)確定函數y＝Asin(ωx＋φ)的初相φ的值的兩種方法 ①代入法：把圖像上的一個最高點或最低點代入(此時A，ω已知)或代入圖像與x軸的交點求解.(此時要注意交點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上) ②五點對應法：確定φ值時，往往以尋找“五點法”中的第一個零點作為突破口.“五點”的ωx＋φ的值具體如下： “第一點”(即圖像上升時與x軸的交點)為ωx＋φ＝0； “第二點”(即圖像的“峰點”)為ωx＋φ＝

8、； “第三點”(即圖像下降時與x軸的交點)為ωx＋φ＝π； “第四點”(即圖像的“谷點”)為ωx＋φ＝； “第五點”為ωx＋φ＝2π. 跟蹤訓練2　(2017·貴州貴陽一中期末考試)已知函數f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分圖像如圖所示，則ω＝ . 考點　求三角函數的解析式 題點　根據三角函數的圖像求解析式 答案　 解析　由圖，知＝－＝， ∴T＝，又T＝＝，∴ω＝. 類型三　函數y＝Asin(ωx＋φ)性質的應用 例3　已知曲線y＝Asin(ωx＋φ)上最高點為(2，)，該最高點與相鄰的最低點間的曲線與x軸交于點(6，0). (1)求函數的解

9、析式； (2)求函數在x∈[－6，0]上的值域. 考點　三角函數圖像的綜合應用 題點　三角函數圖像的綜合應用 解　(1)由題意可知A＝，＝6－2＝4， ∴T＝16，即＝16，∴ω＝， ∴y＝sin. 又圖像過最高點(2，)，∴sin＝1， 故＋φ＝＋2kπ，k∈Z，φ＝＋2kπ，k∈Z， 由|φ|≤，得φ＝，∴y＝sin. (2)∵－6≤x≤0，∴－≤x＋≤， ∴－≤sin≤1. 即函數在x∈[－6，0]上的值域為[－，1]. 跟蹤訓練3　設函數f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，函數y＝f(x)的圖像的一條對稱軸是直線x＝. (1)求φ的值； (2)求

10、函數y＝f(x)的單調區(qū)間及最值. 考點　函數y＝Asin(ωx＋φ)的性質 題點　函數y＝Asin(ωx＋φ)性質的應用 解　(1)由2x＋φ＝kπ＋，k∈Z， 得x＝＋－，令＋－＝， 得φ＝kπ＋，k∈Z. ∵－π＜φ＜0，∴φ＝－. (2)由(1)知，f(x)＝sin. 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)， 故函數的遞增區(qū)間是(k∈Z). 同理可得函數的遞減區(qū)間是(k∈Z) 當2x－＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)時，函數取得最大值1； 當2x－＝2kπ－(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)時，函數取得最小值－1.

11、 1.函數y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，0<φ<π)的圖像的一段如圖所示，它的解析式可以是(　　) A.y＝sin B.y＝sin C.y＝sin D.y＝sin 考點　由圖像求函數y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 題點　由圖像求函數y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 答案　A 解析　由圖像可得A＝，＝－－＝， 所以T＝π，所以ω＝＝＝2， 所以y＝sin(2x＋φ). 將點的坐標代入y＝sin(2x＋φ)， 得＝sin， 則sin＝1， 所以－＋φ＝＋2kπ(k∈Z)， 即φ＝＋2kπ(k∈Z). 又0<φ<π，令k＝0，則φ＝. 所以解析式可以是y＝s

12、in. 2.函數y＝Asin(ωx＋φ)＋k的圖像如圖，則它的振幅A與最小正周期T分別是(　　) A.A＝3，T＝ B.A＝3，T＝ C.A＝，T＝ D.A＝，T＝ 考點　三角函數圖像的綜合應用 題點　三角函數圖像的綜合應用 答案　D 解析　由題圖可知A＝×(3－0)＝， 設周期為T，則T＝－＝，得T＝. 3.下列表示函數y＝sin在區(qū)間上的簡圖正確的是(　　) 考點　用“五點法”作三角函數的簡圖 題點　用“五點法”作三角函數的簡圖 答案　A 解析　將y＝sin x的圖像上所有點的橫坐標縮短為原來的，再將所有點向右平移個單位長度即可得到y(tǒng)＝sin的

13、圖像，依據此變換過程可得到A中圖像是正確的.也可以分別令2x－＝0，，π，，2π得到五個關鍵點，描點連線即得函數y＝sin的圖像. 4.已知函數f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期為π，則該函數的圖像(　　) A.關于點對稱 B.關于直線x＝對稱 C.關于點對稱 D.關于直線x＝對稱 考點　函數y＝Asin(ωx＋φ)的性質 題點　函數y＝Asin(ωx＋φ)性質的應用 答案　A 解析　ω＝＝2，所以f(x)＝sin. 將x＝代入f(x)＝sin， 得f?＝0，故選A. 5.已知函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖像如圖所示. (1)求f(x)的解析式

14、； (2)寫出f(x)的遞增區(qū)間. 考點　三角函數y＝Asin(ωx＋φ)的綜合問題 題點　三角函數y＝Asin(ωx＋φ)的綜合問題 解　(1)易知A＝，T＝4×[2－(－2)]＝16， ∴ω＝＝，∴f(x)＝sin， 將點(－2，0)代入得sin＝0， 令－＋φ＝0，∴φ＝， ∴f(x)＝sin. (2)由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得16k－6≤x≤16k＋2，k∈Z， ∴f(x)的遞增區(qū)間為[16k－6，16k＋2]，k∈Z. 1.利用“五點”法作函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖像時，要先令“ωx＋φ”這一個整體依次取0，，π，π，2π，再求出x的值

15、，這樣才能得到確定圖像的五個關鍵點，而不是先確定x的值，后求“ωx＋φ”的值. 2.由函數y＝Asin(ωx＋φ)的部分圖像確定解析式關鍵在于確定參數A，ω，φ的值. (1)一般可由圖像上的最大值、最小值來確定|A|. (2)因為T＝，所以往往通過求得周期T來確定ω，可通過已知曲線與x軸的交點從而確定T，即相鄰的最高點與最低點之間的距離為；相鄰的兩個最高點(或最低點)之間的距離為T. (3)從尋找“五點法”中的第一個零點(也叫初始點)作為突破口，以y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)為例，位于遞增區(qū)間上離y軸最近的那個零點最適合作為“五點”中的第一個點. 3.在研究y＝Asi

16、n(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性質時，注意采用整體代換的思想，如函數在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)時取得最大值，在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)時取得最小值. 一、選擇題 1.若函數f(x)＝3sin(ωx＋φ)對任意x都有f?＝f?，則有f?等于(　　) A.3或0 B.－3或0 C.0 D.－3或3 考點　函數y＝Asin(ωx＋φ)的性質 題點　函數y＝Asin(ωx＋φ)性質的應用 答案　D 解析　由f?＝f?知，x＝是函數的對稱軸，解得f?＝3或－3，故選D. 2.如圖所示，函數的解析式為(　　) A.y＝sin B.y＝sin C.y

17、＝cos D.y＝cos 考點　由圖像求函數y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 題點　由圖像求函數y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 答案　D 解析　由圖知T＝4×＝π，∴ω＝＝2. 又當x＝時，y＝1，經驗證，可得D項解析式符合題目要求. 3.函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖像如圖所示，為了得到g(x)＝sin 3x的圖像，則只要將f(x)的圖像(　　) A.向右平移個單位長度 B.向右平移個單位長度 C.向左平移個單位長度 D.向左平移個單位長度 考點　三角函數圖像的綜合應用 題點　三角函數圖像的綜合應用 答案　B 解析　由圖像知，函數f(x)的周期T

18、＝4×＝＝，所以ω＝3. 因為函數f(x)的圖像過圖中最小值點， 所以A＝1且sin＝－1， 又因為|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝sin. 因為g(x)＝sin 3x，所以g(x)＝f?. 為了得到g(x)＝sin 3x的圖像，只需將f(x)的圖像向右平移個單位長度，故選B. 4.把函數f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的圖像上每一點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，然后再向左平移個單位，得到一個最小正周期為2π的奇函數g(x)，則ω和φ的值分別為(　　) A.1， B.2， C.， D.， 考點　函數y＝Acos(ωx＋φ)的性質 題點　函數

19、y＝Acos(ωx＋φ)性質的應用 答案　B 解析　依題意得f(x)第一次變換得到的函數解析式為m(x)＝2cos， 則函數g(x)＝2cos. 因為函數g(x)的最小正周期為2π，所以ω＝2， 則g(x)＝2cos. 又因為函數為奇函數，0<φ<π，所以φ＋＝kπ＋(k∈Z)，則φ＝. 5.函數f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分圖像如圖所示，則f(x)的遞減區(qū)間為(　　) A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z 考點　函數y＝Acos(ωx＋φ)的性質 題點　函數y＝Acos(ωx＋φ)性質的應用 答案　D 解析　由圖像知，周期T＝2×＝2，

20、 ∴＝2，∴ω＝π. 由π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝， ∴f(x)＝cos. 由2kπ<πx＋<2kπ＋π，k∈Z，得2k－0，ω>0，0<φ<π)為奇函數，該函數的部分圖像如圖所示，△EFG是邊長為2的等邊三角形，則f(1)的值為(　　) A.－ B.－ C. D.－ 考點　函數y＝Acos(ωx＋φ)的性質 題點　函數y＝Acos(ωx＋φ)性質的應用 答案　D 解析　由函數f(x)是奇函數，且0<φ<π，可得φ＝.由圖像及已知可得函數

21、的最小正周期為4，得ω＝.由△EFG的邊FG上的高為，可得A＝，所以f(x)＝cos，所以f(1)＝cos π＝－. 二、填空題 7.把函數y＝2sin的圖像向左平移m個單位長度，所得的圖像關于y軸對稱，則m的最小正值是 . 考點　函數y＝Asin(ωx＋φ)的性質 題點　函數y＝Asin(ωx＋φ)性質的應用 答案　 解析　把y＝2sin的圖像向左平移m個單位長度， 則y＝2sin，其圖像關于y軸對稱， ∴m＋＝kπ＋，即m＝kπ－，k∈Z. ∴取k＝1，則m的最小正值為. 8.已知函數y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的圖像如圖所示，則φ＝

22、 . 考點　由圖像求函數y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 題點　由圖像求函數y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 答案　 解析　由圖像知函數y＝sin(ωx＋φ)的周期為2＝，∴＝，∴ω＝. ∵當x＝時，y有最小值－1， ∴×＋φ＝2kπ－(k∈Z)， 即φ＝－＋2kπ(k∈Z). ∵－π≤φ<π，∴φ＝. 9.已知函數f(x)＝Acos(ωx＋φ)的圖像如圖所示，f?＝－，則f(0)＝ . 考點　三角函數圖像的綜合應用 題點　三角函數圖像的綜合應用 答案　 解析　由題圖可知＝－＝，T＝， ∴f(0)＝f?，注意到＝，也即和關于對稱，于是

23、f(0)＝f?＝－f?＝. 10.關于f(x)＝4sin(x∈R)，有下列命題： ①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整數倍； ②y＝f(x)的表達式可改寫成y＝4cos； ③y＝f(x)圖像關于對稱； ④y＝f(x)圖像關于x＝－對稱. 其中正確命題的序號為 . 考點　函數y＝Asin(ωx＋φ)的性質 題點　函數y＝Asin(ωx＋φ)性質的應用 答案?、冖? 解析　對于①，由f(x)＝0，可得2x＋＝kπ(k∈Z)， ∴x＝－(k∈Z)，∴x1－x2是的整數倍，∴①錯； 對于②，f(x)＝4sin利用公式，得 f(x)＝4cos＝4co

24、s，∴②對； 對于③，f(x)＝4sin的對稱中心滿足2x＋＝kπ，k∈Z，∴x＝－，k∈Z. ∴是函數y＝f(x)的一個對稱中心，∴③對； 對于④，函數y＝f(x)的對稱軸滿足2x＋＝＋kπ，k∈Z，∴x＝＋，k∈Z，∴④錯. 三、解答題 11.已知曲線y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)上的一個最高點的坐標為，此點到相鄰最低點間的曲線與x軸交于點，若φ∈. (1)試求這條曲線的函數表達式； (2)用“五點法”畫出(1)中函數在[0，π]上的圖像. 考點　函數y＝Asin(ωx＋φ)的綜合問題 題點　函數y＝Asin(ωx＋φ)的綜合問題 解　(1)由題意知A＝，T

25、＝4×＝π，ω＝＝2，∴y＝sin(2x＋φ). 又∵sin＝1，∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z， ∴φ＝2kπ＋，k∈Z.又∵φ∈，∴φ＝， ∴y＝sin. (2)列出x，y的對應值表： x 0 π π π π 2x＋ π π 2π y 1 0 － 0 1 描點，連線，如圖所示. 12.已知函數f(x)＝2sin＋1(0<φ<π，ω>0)為偶函數，且函數f(x)的圖像的兩相鄰對稱軸間的距離為. (1)求f?的值； (2)將函數f(x)的圖像向右平移個單位長度后，再將得到的圖像上各點的橫坐標伸長為原來的4倍，縱坐標不變，得到

26、函數g(x)的圖像，求函數g(x)的遞減區(qū)間. 考點　函數y＝Asin(ωx＋φ)的性質 題點　函數y＝Asin(ωx＋φ)性質的應用 解　(1)∵f(x)為偶函數， ∴φ－＝kπ＋(k∈Z)， ∴φ＝kπ＋(k∈Z). 又0<φ<π，∴φ＝， ∴f(x)＝2sin＋1＝2cos ωx＋1. 又函數f(x)的圖像的兩相鄰對稱軸間的距離為， ∴T＝＝2×， ∴ω＝2， ∴f(x)＝2cos 2x＋1， ∴f?＝2cos＋1＝＋1. (2)將f(x)的圖像向右平移個單位長度后，得到函數f?的圖像，再將所得圖像上各點的橫坐標伸長為原來的4倍，縱坐標不變，得到f?的圖像.

27、所以g(x)＝f?＝2cos 2＋1＝2cos＋1. 當2kπ≤－≤2kπ＋π(k∈Z)， 即4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)時，g(x)是減函數. ∴函數g(x)的遞減區(qū)間是(k∈Z). 四、探究與拓展 13.設函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖像如圖所示，若x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，則f(x1＋x2)等于(　　) A.1 B. C. D. 考點　函數y＝Asin(ωx＋φ)的性質 題點　函數y＝Asin(ωx＋φ)性質的應用 答案　D 解析　由圖像可得A＝1，＝＝－＝， 解得ω＝2， ∴f(x)＝sin(2x＋φ). 點相當于y＝s

28、in x中的(0，0)， 令2×＋φ＝0，解得φ＝， 滿足|φ|<，符合題意， ∴f(x)＝sin. ∵sin＝1， ∴圖中點B的坐標為. 又x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)， ∴x1＋x2＝×2＝， ∴f(x1＋x2)＝sin＝，故選D. 14.已知函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)，在同一周期內，當x＝時，f(x)取得最大值3；當x＝時，f(x)取得最小值－3. (1)求函數f(x)的解析式； (2)求函數f(x)的遞減區(qū)間； (3)若x∈時，函數h(x)＝2f(x)＋1－m有兩個零點，求實數m的取值范圍. 考點　三角函數圖像的綜合應用 題點　三角函數圖像的綜合應用 解　(1)由題意，易知A＝3，T＝2×＝π， ∴ω＝＝＝2， 由2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z， 得φ＝＋2kπ，k∈Z. 又∵|φ|<π，∴φ＝， ∴f(x)＝3sin. (2)由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， ∴函數f(x)的遞減區(qū)間為，k∈Z. (3)由題意知，方程sin＝在區(qū)間 上有兩個實根. ∵x∈，∴2x＋∈， ∴sin∈， 又方程有兩個實根，∴∈， ∴m∈[1＋3，7).