2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 第八章 平面解析幾何 8-7 拋物線《教案》
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1、2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 第八章 平面解析幾何 8-7 拋物線《教案》 【教學(xué)目標(biāo)】 1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準方程及簡單幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率). 2.理解數(shù)形結(jié)合的思想. 3.了解拋物線的實際背景及拋物線的簡單應(yīng)用。 【重點難點】 1.教學(xué)重點:掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準方程及簡單性質(zhì); 2.教學(xué)難點:學(xué)會對知識進行整理達到系統(tǒng)化,提高分析問題和解決問題的能力; 【教學(xué)策略與方法】 自主學(xué)習(xí)、小組討論法、師生互動法 【教學(xué)過程】 教學(xué)流程 教師活動 學(xué)生活動 設(shè)計意圖
2、 環(huán)節(jié)二: 考綱傳真: 1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準方程及簡單幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率). 2.理解數(shù)形結(jié)合的思想. 3.了解拋物線的實際背景及拋物線的簡單應(yīng)用。 真題再現(xiàn); 1.(xx·全國Ⅰ)以拋物線
3、C的頂點為圓心的圓交C于A,B兩點,交C的準線于D,E兩點.已知|AB|=4,|DE|=2,則C的焦點到準線的距離為( ) A.2 B.4 C.6 D.8 解析 不妨設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0),則圓的方程可設(shè)為x2+y2=r2(r>0),如圖,又可設(shè)A(x0,2), D,點A(x0,2)在拋物線y2=2px上, ∴8=2px0,①點A(x0,2)在圓x2+y2=r2上,∴x+8=r2,②點D在圓x2+y2=r2上, ∴5+=r2,③聯(lián)立①②③,解得p=4,即C的焦點到準線的距離為p=4,故選B.答案 B 2.(xx·陜西,14)若拋物線y2=2px(p>0)的準
4、線經(jīng)過雙曲線x2-y2=1的一個焦點,則p=________. 解析 由于雙曲線x2-y2=1的焦點為(±,0),故應(yīng)有=,p=2.答案 2 3.(xx·全國Ⅱ,11)設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,點M在C上,|MF|=5,若以MF為直徑的圓過點(0,2),則C的方程為( ) A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x 解析 設(shè)點M的坐標(biāo)為(x0,y0),由拋物線的定義,得|MF|=x0+=5,則x0=5-.又點F的坐標(biāo)為,所以以MF為直徑的圓的方程為(x-x0)+(y-y0)y=0
5、.將x=0,y=2代入得px0+8-4y0=0,即-4y0+8=0,所以y0=4.由y=2px0,得16=2p,解之得p=2,或p=8.所以C的方程為y2=4x或y2=16x,故選C. 答案 C 知識梳理: 知識點1 拋物線的定義 平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線的焦點,直線l叫做拋物線的準線. 知識點2 拋物線的標(biāo)準方程與幾何性質(zhì) 標(biāo)準方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) p的幾何意義:焦點F到準線l的距離 圖形 頂點
6、O(0,0) 對稱軸 x軸 y軸 焦點 F F F F 離心率 e=1 準線方程 x=- x= y=- y= 范圍 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R 焦半徑(其中P(x0,y0)) |PF|=x0+ |PF|=-x0+ |PF|=y(tǒng)0+ |PF|=-y0+ 1.必會結(jié)論;設(shè)AB是過拋物線y2=2px(p>0)焦點F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),則 (1)x1x2=,y1y2=-p2. (2)弦長|AB|=x1+x2+p=(α為弦AB的傾斜角). (3)以弦AB為直徑的圓與準線相切. (4
7、)通徑:過焦點垂直于對稱軸的弦,長等于2p.通徑是過焦點最短的弦. 2.必知聯(lián)系;(1)若拋物線的開口方向不能確定,可設(shè)拋物線的標(biāo)準方程為y2=mx或x2=my(m≠0). (2)若直線與拋物線只有一個公共點,則直線與拋物線相切,或直線平行于對稱軸,即由得ay2+by+c=0或ax2+bx+c=0.當(dāng)時,直線與拋物線相切,當(dāng)a=0時,此時直線就是與對稱軸平行的直線. 考點分項突破 考點一:拋物線的準線方程及幾何性質(zhì) 1.已知拋物線的焦點在x軸上,其上一點P(-3,m)到焦點的距離為5,則拋物線的標(biāo)準方程為( ) A.y2=8x B.y2=-8x C.y2=4x D.y2
8、=-4x 【解析】 依題意得,-(-3)=5,∴p=4.∴拋物線方程為y2=-8x.故選B.【答案】 B 2.設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,點M在C上,|MF|=5.若以MF為直徑的圓過點(0,2),則C的方程為( ) A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x 【解析】 由已知得拋物線的焦點F,設(shè)點A(0,2),點M(x0,y0),則=,=.由已知得,·=0,即y-8y0+16=0,因而y0=4,M.由|MF|=5,得=5,又p>0,解得p=2或p=8.故C的方程為y2=4x或y2=16x
9、.故選C.【答案】 C 3.(xx·湖南高考)如圖,正方形ABCD和正方形DEFG的邊長分別為a,b(a0)經(jīng)過C,F(xiàn)兩點,則=________. 【解析】 ∵正方形ABCD和正方形DEFG的邊長分別為a,b,O為AD的中點,∴C,F(xiàn). 又∵點C,F(xiàn)在拋物線y2=2px(p>0)上,∴解得=+1. 【答案】?。? 歸納;1.拋物線幾何性質(zhì)的確定 由拋物線的方程可以確定拋物線的開口方向、焦點位置、焦點到準線的距離,從而進一步確定拋物線的焦點坐標(biāo)及準線方程. 2.求拋物線的標(biāo)準方程的方法及流程 (1)方法:求拋物線的標(biāo)準方
10、程常用待定系數(shù)法,因為未知數(shù)只有p,所以只需一個條件確定p值即可. (2)流程:因為拋物線方程有四種標(biāo)準形式,因此求拋物線方程時,需先定位,再定量. 考點二: 拋物線的定義及應(yīng)用 ●命題角度1 到焦點的距離與到準線的距離的轉(zhuǎn)化 1.(xx·全國卷Ⅰ)已知拋物線C:y2=x的焦點為F,A(x0,y0)是C上一點,|AF|=x0,則x0=( ) A.4 B.2 C.1 D.8 【解析】 如圖,F(xiàn),過A作AA′⊥準線l, ∴|AF|=|AA′|,∴x0=x0+=x0+,∴x0=1. 【答案】 C ●命題角度2 到焦點與定點距離之和最小問題 2.已知拋物線的方程
11、為x2=8y,F(xiàn)是焦點,點A(-2,4),在此拋物線上求一點P,使|PF|+|PA|的值最?。? 【解】 ∵(-2)2<8×4,∴點A(-2,4)在拋物線x2=8y的內(nèi)部. 如圖,設(shè)拋物線的準線為l,過點P作PQ⊥l于點Q,過點A作AB⊥l于點B,連接AQ.由拋物線的定義可知|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|≥|AQ|≥|AB|,當(dāng)且僅當(dāng)P,Q,A三點共線時,|PF|+|PA|取得最小值,即為|AB|. ∵A(-2,4),∴不妨設(shè)|PF|+|PA|的值最小時,點P的坐標(biāo)為(-2,y0),代入x2=8y,得y0=.故使|PF|+|PA|的值最小的拋物線上的點P的坐標(biāo)為. ●命題角度
12、3 到點(線)與準線的距離之和最小問題 3.已知拋物線方程為y2=4x,直線l的方程為x-y+4=0,在拋物線上有一動點P到y(tǒng)軸的距離為d1,P到直線l的距離為d2,則d1+d2的最小值是( ) A.+2 B.+1 C.-2 D.-1 【解析】 設(shè)拋物線y2=4x的焦點為F(1,0),則d1=|PF|-1,d1+d2=d2+|PF|-1,點F到直線l的距離d==.則d1+d2≥-1,故選D. 【答案】 D 歸納:與拋物線有關(guān)的最值問題的求解策略 與拋物線有關(guān)的最值問題,一般情況下都與拋物線的定義有關(guān).由于拋物線的定義在運用上有較大的靈活性,因此此類問題也有一定的
13、難度.“看到準線想焦點,看到焦點想準線”,這是解決拋物線焦點弦有關(guān)問題的重要途徑. 考點三: 直線與拋物線的綜合問題 (1)(xx·遼寧高考)已知點A(-2,3)在拋物線C:y2=2px的準線上,過點A的直線與C在第一象限相切于點B,記C的焦點為F,則直線BF的斜率為( ) A. B. C. D. (2)(xx·福建高考)已知點F為拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點,點A(2,m)在拋物線E上,且|AF|=3. ①求拋物線E的方程; ②已知點G(-1,0),延長AF交拋物線E于點B,證明:以點F為圓心且與直線GA相切的圓,必與直線GB相切. 【解析】 (
14、1)拋物線y2=2px的準線為直線x=-,而點A(-2,3)在準線上,所以-=-2,即p=4,從而C:y2=8x,焦點為F(2,0).設(shè)切線方程為y-3=k(x+2),代入y2=8x得y2-y+2k+3=0(k≠0)①,由于Δ=1-4×(2k+3)=0,所以k=-2或k=.因為切點在第一象限,所以k=.將k=代入①中,得y=8,再代入y2=8x中得x=8,所以點B的坐標(biāo)為(8,8),所以直線BF的斜率為=.【答案】 D (2)法一?、儆蓲佄锞€的定義得|AF|=2+.因為|AF|=3,即2+=3,解得p=2,所以拋物線E的方程為y2=4x.②因為點A(2,m)在拋物線E:y2=4x上, 所以
15、m=±2.由拋物線的對稱性,不妨設(shè)A(2,2). 由A(2,2),F(xiàn)(1,0)可得直線AF的方程為y=2(x-1).由得2x2-5x+2=0, 解得x=2或x=,從而B. 又G(-1,0),所以kGA==,kGB==-,所以kGA+kGB=0,從而∠AGF=∠BGF,這表明點F到直線GA,GB的距離相等,故以F為圓心且與直線GA相切的圓必與直線GB相切. 法二 ①同法一.②設(shè)以點F為圓心且與直線GA相切的圓的半徑為r.因為點A(2,m)在拋物線E:y2=4x上,所以m=±2.由拋物線的對稱性,不妨設(shè)A(2,2).由A(2,2),F(xiàn)(1,0)可得直線AF的方程為 y=2(x-1).由得
16、2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,從而B. 又G(-1,0),故直線GA的方程為2x-3y+2=0,從而r==.又直線GB的方程為2x+3y+2=0,所以點F到直線GB的距離d===r.這表明以點F為圓心且與直線GA相切的圓必與直線GB相切. 跟蹤訓(xùn)練1.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,拋物線C與直線l1:y=-x的一個交點的橫坐標(biāo)為8. (1)求拋物線C的方程; (2)不過原點的直線l2與l1垂直,且與拋物線交于不同的兩點A,B,若線段AB的中點為P,且|OP|=|PB|,求△FAB的面積. 【解】 (1)易知直線與拋物線的交點坐標(biāo)為(8,-8),∴(-8)2
17、=2p×8,∴2p=8,∴拋物線方程為y2=8x. (2)直線l2與l1垂直,故可設(shè)直線l2:x=y(tǒng)+m,A(x1,y1),B(x2,y2),且直線l2與x軸的交點為M. 由得y2-8y-8m=0,Δ=64+32m>0,∴m>-2.y1+y2=8,y1y2=-8m,∴x1x2==m2. 由題意可知OA⊥OB,即x1x2+y1y2=m2-8m=0, ∴m=8或m=0(舍),∴直線l2:x=y(tǒng)+8,M(8,0). 故S△FAB=S△FMB+S△FMA=·|FM|·|y1-y2|=3=24. 歸納:解決直線與拋物線位置關(guān)系問題的常用方法 1.直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的
18、位置關(guān)系類似,一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系. 2.有關(guān)直線與拋物線的弦長問題,要注意直線是否過拋物線的焦點,若過拋物線的焦點,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不過焦點,則必須用一般弦長公式. 3.涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關(guān)問題時,一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體代入”等解決.提醒:涉及弦的中點、斜率時,一般用“點差法”求解. 。 學(xué)生通過對高考真題的解決,發(fā)現(xiàn)自己對知識的掌握情況。 學(xué)生通過對高考真題的解決
19、,感受高考題的考察視角。 教師引導(dǎo)學(xué)生及時總結(jié),以幫助學(xué)生形成完整的認知結(jié)構(gòu)。 引導(dǎo)學(xué)生通過對基礎(chǔ)知識的逐點掃描,來澄清概念,加強理解。從而為后面的練習(xí)奠定基礎(chǔ). 在解題中注意
20、引導(dǎo)學(xué)生自主分析和解決問題,教師及時點撥從而提高學(xué)生的解題能力和興趣。 教師引導(dǎo)學(xué)生及時總結(jié),以幫助學(xué)生形成完整的認知結(jié)構(gòu)。 通過對考綱的解讀和分析。讓學(xué)生明確考試要求,做到有的放矢
21、 由常見問題的解決和總結(jié),使學(xué)生形成解題模塊,提高模式識別能力和解題效率。 教師引導(dǎo)學(xué)生及時總結(jié),以幫助學(xué)生形成完整的認知結(jié)構(gòu)。 引導(dǎo)學(xué)生對所學(xué)的知識進行小結(jié),由利于學(xué)生對已有的知識結(jié)構(gòu)進行編碼處理,加強理解記憶,提高解題技能。 環(huán)節(jié)三: 課堂小結(jié): 1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準方程及簡單幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率). 2.理解數(shù)形結(jié)合的思想. 3.了解拋物線的實際背景及拋物線的簡單應(yīng)用。 學(xué)生回顧,總結(jié). 引導(dǎo)學(xué)生對學(xué)習(xí)過程進行反思,為在今后的學(xué)習(xí)中,進行有效調(diào)控打下良好的基礎(chǔ)。 環(huán)節(jié)四: 課后作業(yè):學(xué)生版練與測 學(xué)生通過作業(yè)進行課外反思,通過思考發(fā)散鞏固所學(xué)的知識。
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