《2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一章 集合與常用邏輯用 第2講 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件教學(xué)案 理 北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一章 集合與常用邏輯用 第2講 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件教學(xué)案 理 北師大版（11頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第2講　命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件 一、知識梳理 1．命題 在數(shù)學(xué)中，可以判斷真假用文字或符號表達(dá)的語句叫作命題．其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題． 2．四種命題及其關(guān)系 (1)四種命題間的相互關(guān)系 (2)四種命題的真假關(guān)系 ①兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性； ②兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系． 3．充分條件、必要條件與充要條件的概念 若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件 p是q的充分不必要條件 p?q且qp p是q的必要不充分條件 pq且q?p p是q的充要條件 p?q p是

2、q的既不充分也不必要條件 pq且qp 常用結(jié)論 從集合的角度理解充分條件與必要條件 若p以集合A的形式出現(xiàn)，q以集合B的形式出現(xiàn)，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，則關(guān)于充分條件，必要條件又可以敘述為： (1)若A?B，則p是q的充分條件； (2)若A?B，則p是q的必要條件； (3)若A＝B，則p是q的充要條件； (4)若AB，則p是q的充分不必要條件； (5)若AB，則p是q的必要不充分條件； (6)若AB且A?B，則p是q的既不充分也不必要條件． 二、教材衍化 1．命題“若x2>y2，則x>y”的逆否命題是________，是________命

3、題(填“真”或“假”)． 解析：根據(jù)原命題和逆否命題的條件和結(jié)論的關(guān)系得命題“若x2>y2，則x>y”的逆否命題是“若x≤y，則x2≤y2”． 答案：若x≤y，則x2≤y2　假 2．設(shè)x∈R，則“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的________條件． 解析：2－x≥0，則x≤2，(x－1)2≤1，則－1≤x－1≤1，即0≤x≤2，據(jù)此可知：“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的必要不充分條件． 答案：必要不充分 3．原命題“設(shè)a，b，c∈R，若a＞b，則ac2＞bc2”以及它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數(shù)為________． 解析：當(dāng)c＝0時(shí)，ac2＝bc2，所以

4、原命題是假命題；由于原命題與逆否命題的真假一致，所以逆否命題也是假命題；逆命題為“設(shè)a，b，c∈R，若ac2＞bc2，則a＞b”，它是真命題；由于否命題與逆命題的真假一致，所以否命題也是真命題．綜上所述，真命題有2個． 答案：2 一、思考辨析 判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)“x2＋2x－3<0”是命題．(　　) (2)命題“若p，則q”的否命題是“若p，則﹁q”．(　　) (3)若原命題為真，則這個命題的否命題、逆命題、逆否命題中至少有一個為真．(　　) (4)當(dāng)q是p的必要條件時(shí)，p是q的充分條件．(　　) (5)q不是p的必要條件時(shí)，“pq”成立．(

5、　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√ 二、易錯糾偏 (1)命題的條件與結(jié)論不明確； (2)含有大前提的命題的否命題易出現(xiàn)否定大前提的情況； (3)對充分必要條件判斷錯誤． 1．命題“若a2＋b2＝0，a，b∈R，則a＝b＝0”的逆否命題是________． 答案：若a≠0或b≠0，a，b∈R，則a2＋b2≠0. 2．已知命題“對任意a，b∈R，若ab>0，則a>0”，則它的否命題是________． 答案：對任意a，b∈R，若ab≤0，則a≤0. 3．條件p：x>a，條件q：x≥2. (1)若p是q的充分不必要條件，則a的取值范圍是_______

6、_； (2)若p是q的必要不充分條件，則a的取值范圍是________． 解析：設(shè)A＝{x|x>a}，B＝{x|x≥2}， (1)因?yàn)閜是q的充分不必要條件， 所以AB，所以a≥2； (2)因?yàn)閜是q的必要不充分條件， 所以BA，所以a<2. 答案：(1)a≥2　(2)a<2 　　　　　　四種命題的相互關(guān)系及真假判斷(自主練透) 1．命題“若x2<1，則－11或x<－1，則x2>1 D．若x≥1或x≤－1，則x2≥1 解析：選D.命題的形式是“若

7、p，則q”，由逆否命題的知識，可知其逆否命題是“若﹁q，則﹁p”的形式，所以“若x2<1，則－1

8、1，Δ＝4－4m≥0，所以原命題是真命題，故其逆否命題也是真命題；④由A∩B＝B，得B?A，所以原命題是假命題，故其逆否命題也是假命題，故①②③正確． 3．已知集合P＝，Q＝，記原命題：“x∈P，則x∈Q”，那么，在原命題及其逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 解析：選C.因?yàn)镻＝＝ {k∈Z}，Q＝， 所以PQ， 所以原命題“x∈P，則x∈Q”為真命題， 則原命題的逆否命題為真命題． 原命題的逆命題“x∈Q，則x∈P”為假命題， 則原命題的否命題為假命題，所以真命題的個數(shù)為2. (1)寫一個命題的其他三種命題時(shí)需

9、關(guān)注2點(diǎn) ①對于不是“若p，則q”形式的命題，需先改寫； ②若命題有大前提，寫其他三種命題時(shí)需保留大前提． [提醒]　四種命題的關(guān)系具有相對性，一旦一個命題定為原命題，相應(yīng)的也就有了它的“逆命題”“否命題”“逆否命題”． (2)判斷命題真假的2種方法 ①直接判斷：判斷一個命題為真命題，要給出嚴(yán)格的推理證明；說明一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可； ②間接判斷：當(dāng)一個命題直接判斷不易進(jìn)行時(shí)，可轉(zhuǎn)化為判斷其等價(jià)命題的真假．　 　　　　　　充分條件、必要條件的判斷(師生共研) (1)(2020·鄭州模擬)已知a，b都是實(shí)數(shù)，那么“b>a>0”是“>”的(　　) A．充分

10、不必要條件　　 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 (2)(2020·延安模擬)已知p：x＝2，q：x－2＝，則p是q的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【解析】　(1)若>，則－＝>0.當(dāng)0成立；當(dāng)a>0，b<0時(shí)，滿足>，但0a>0”是“>”的充分不必要條件，故選A. (2)當(dāng)x－2＝時(shí)，兩邊平方可得(x－2)2＝2－x，即(x－2)(x－1)＝0，解得x1＝2，x2＝1.當(dāng)x＝1時(shí)，－1＝，不成立，故舍去，則x＝2，所以p是q的充要條件，故選C. 【答

11、案】　(1)A　(2)C 判斷充要條件的3種常用方法 (1)定義法：直接判斷若p則q、若q則p的真假． (2)等價(jià)法：利用A?B與﹁B?﹁A，B?A與﹁A?﹁B，A?B與﹁B?﹁A的等價(jià)關(guān)系，對于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法． (3)利用集合間的包含關(guān)系判斷：若A?B，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A＝B，則A是B的充要條件． [提醒]　判斷充要條件需注意3點(diǎn) (1)要分清條件與結(jié)論分別是什么． (2)要從充分性、必要性兩個方面進(jìn)行判斷． (3)直接判斷比較困難時(shí)，可舉出反例說明． 1．(2019·高考天津卷)設(shè)x∈R，則“x2－5x<0”是“|

12、x－1|<1”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選B.由x2－5x<0可得0

13、2＝0，此時(shí)兩條直線平行；若直線2λx＋(λ－1)y＝1與直線6x＋(1－λ)y＝4平行，則2λ×(1－λ)＝－6(1－λ)，所以λ＝－3或λ＝1，經(jīng)檢驗(yàn)，兩者均符合．綜上，“λ＝－3”是“直線2λx＋(λ－1)y＝1與直線6x＋(1－λ)y＝4平行”的充分不必要條件，故選A. 　　　　　　充分條件、必要條件的探求及應(yīng)用 (典例遷移) (1)設(shè)集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x≥1}，則“x∈A且x?B”成立的充要條件是(　　) A．－1－1 D．－1

14、x≤1＋m}．若“x∈P”是“x∈S”的必要條件，則m的取值范圍為________． 【解析】　(1)因?yàn)榧螦＝{x|x>－1}，B＝{x|x≥1}，又因?yàn)椤皒∈A且x?B”，所以－1

15、變問法)本例(2)條件不變，若“x∈﹁P”是“x∈﹁S”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 解：由例題知P＝{x|－2≤x≤10}， 因?yàn)椤皒∈﹁P”是“x∈﹁S”的必要不充分條件， 所以P?S且S?P. 所以[－2，10][1－m，1＋m]． 所以或 所以m≥9，即m的取值范圍是[9，＋∞)． 根據(jù)充要條件求解參數(shù)范圍的方法及注意事項(xiàng) (1)解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解． (2)求解參數(shù)的取值范圍時(shí)，一定要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)，尤其是利用兩個集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值

16、范圍時(shí)，不等式是否能夠取等號決定端點(diǎn)值的取舍，處理不當(dāng)容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象．　 1．命題“對任意的x∈[1，3]，x2－a≤0”為真命題的一個充分不必要條件是(　　) A．a(chǎn)≥9 B．a(chǎn)≤9 C．a(chǎn)≥10 D．a(chǎn)≤10 解析：選C.命題“對任意的x∈[1，3]，x2－a≤0”?“對任意的x∈[1，3]，x2≤a”?9≤a.則a≥10是命題“對任意的x∈[1，3]，x2－a≤0”為真命題的一個充分不必要條件．故選C. 2．若“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分條件，則a的最小值為________． 解析：由x2－x－6>0，解得x<－2或x>3. 因?yàn)椤皒2－

17、x－6>0”是“x>a”的必要不充分條件， 所以{x|x>a}是{x|x<－2或x>3}的真子集，即a≥3，故a的最小值為3. 答案：3 [基礎(chǔ)題組練] 1．已知命題p：“正數(shù)a的平方不等于0”，命題q：“若a不是正數(shù)，則它的平方等于0”，則q是p的(　　) A．逆命題　　　　　　 B．否命題 C．逆否命題 D．否定 解析：選B.命題p：“正數(shù)a的平方不等于0”可寫成“若a是正數(shù)，則它的平方不等于0”，從而q是p的否命題． 2．“若x，y∈R，x2＋y2＝0，則x，y全為0”的逆否命題是　(　　) A．若x，y∈R，x，y全不為0，則x2＋y2≠0 B．若x，y∈R，x

18、，y不全為0，則x2＋y2＝0 C．若x，y∈R，x，y不全為0，則x2＋y2≠0 D．若x，y∈R，x，y全為0，則x2＋y2≠0 解析：選C.依題意得，原命題的題設(shè)為若x2＋y2＝0，結(jié)論為x，y全為零．逆否命題：若x，y不全為零，則x2＋y2≠0，故選C. 3．如果x，y是實(shí)數(shù)，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的(　　) A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選C.設(shè)集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cos x≠cos y}，則A的補(bǔ)集C＝{(x，y)|x＝y(tǒng)}，B的補(bǔ)集D＝{(x，y)|cos

19、x＝cos y}，顯然CD，所以BA.于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分條件． 4．下列命題： ①“若a≤b，則a＜b”的否命題； ②“若a＝1，則ax2－x＋3≥0的解集為R”的逆否命題； ③“周長相同的圓面積相等”的逆命題； ④“若x為有理數(shù)，則x為無理數(shù)”的逆否命題． 其中真命題的序號為(　　) A．②④　　　　　　　　 B．①②③ C．②③④ D．①③④ 解析：選B.對于①，逆命題為真，故否命題為真； 對于②，原命題為真，故逆否命題為真； 對于③，“面積相等的圓周長相同”為真； 對于④，“若x為有理數(shù)，則x為0或無理數(shù)”，故原命題為假，

20、逆否命題為假．故選B. 5．設(shè)a，b均為單位向量，則“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選C.因?yàn)閨a－3b|＝|3a＋b|，所以(a－3b)2＝(3a＋b)2，所以a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2，又因?yàn)閨a|＝|b|＝1，所以a·b＝0，所以a⊥b；反之也成立．故選C. 6．(2020·咸陽模擬)已知p：m＝－1，q：直線x－y＝0與直線x＋m2y＝0互相垂直，則p是q的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也

21、不必要條件 解析：選A.由題意得直線x＋m2y＝0的斜率是－1，所以＝－1，m＝±1.所以p是q的充分不必要條件．故選A. 7．(2020·鄭州模擬)設(shè)平面向量a，b，c均為非零向量，則“a·(b－c)＝0”是“b＝c”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選B.由b＝c，得b－c＝0，得a·(b－c)＝0；反之不成立．故“a·(b－c)＝0”是“b＝c”的必要不充分條件． 8．使a＞0，b＞0成立的一個必要不充分條件是(　　) A．a(chǎn)＋b＞0 B．a(chǎn)－b＞0 C．a(chǎn)b＞1 D．＞1 解析：選A.因?yàn)閍＞

22、0，b＞0?a＋b＞0，反之不成立，而由a＞0，b＞0不能推出a－b＞0，ab＞1，＞1，故選A. 9．在△ABC中，“A＝B”是“tan A＝tan B”的________條件． 解析：由A＝B，得tan A＝tan B，反之，若tan A＝tan B，則A＝B＋kπ，k∈Z.因?yàn)?－n，則m2>n2”的逆命題，否命題，逆否命題中，假命題的個數(shù)是________． 解析：若m＝2，n＝3，則2>－3，但22<32，所以原命題為假命題，則逆否命題也為假命題，若m＝－

23、3，n＝－2，則(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命題是假命題，則否命題也是假命題．故假命題的個數(shù)為3. 答案：3 11．(2020·齊魯名校調(diào)研)給出下列說法： ①“若x＋y＝，則sin x＝cos y”的逆命題是假命題； ②“在△ABC中，sin B>sin C是B>C的充要條件”是真命題； ③“a＝1”是“直線x－ay＝0與直線x＋ay＝0互相垂直”的充要條件； ④命題“若x<－1，則x2－2x－3>0”的否命題為“若x≥－1，則x2－2x－3≤0”． 以上說法中正確的是________(填序號)． 解析：對于①，“若x＋y＝，則sin x＝cos y”的逆命題是

24、“若sin x＝cos y，則x＋y＝”，當(dāng)x＝0，y＝時(shí)，有sin x＝cos y成立，但x＋y＝，故逆命題為假命題，①正確；對于②，在△ABC中，由正弦定理得sin B>sin C?b>c?B>C，②正確；對于③，“a＝±1”是“直線x－ay＝0與直線x＋ay＝0互相垂直”的充要條件，故③錯誤；對于④，根據(jù)否命題的定義知④正確． 答案：①②④ [綜合題組練] 1．(2020·撫州七校聯(lián)考)A，B，C三個學(xué)生參加了一次考試，A，B的得分均為70分，C的得分為65分．已知命題p：若及格分低于70分，則A，B，C都沒有及格．則下列四個命題中為p的逆否命題的是(　　) A．若及格分不低于7

25、0分，則A，B，C都及格 B．若A，B，C都及格，則及格分不低于70分 C．若A，B，C至少有一人及格，則及格分不低于70分 D．若A，B，C至少有一人及格，則及格分高于70分 解析：選C.根據(jù)原命題與它的逆否命題之間的關(guān)系知，命題p的逆否命題是若A，B，C至少有一人及格，則及格分不低于70分．故選C. 2．(2020·合肥模擬)若a，b都是正整數(shù)，則a＋b＞ab成立的充要條件是(　　) A．a(chǎn)＝b＝1 B．a(chǎn)，b至少有一個為1 C．a(chǎn)＝b＝2 D．a(chǎn)＞1且b＞1 解析：選B.因?yàn)閍＋b＞ab，所以(a－1)(b－1)＜1.因?yàn)閍，b∈N+，所以(a－1)(b－1)∈N，所

26、以(a－1)(b－1)＝0，所以a＝1或b＝1.故選B. 3．若命題“ax2－2ax－3>0不成立”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 解析：由題意知ax2－2ax－3≤0恒成立，當(dāng)a＝0時(shí)，－3≤0成立；當(dāng)a≠0時(shí)，得 解得－3≤a<0，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是－3≤a≤0. 答案：[－3，0] 4．已知命題p：x2＋2x－3＞0；命題q：x＞a，且﹁q的一個充分不必要條件是﹁p，則a的取值范圍是________． 解析：由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由﹁q的一個充分不必要條件是﹁p，可知﹁p是﹁q的充分不必要條件，等價(jià)于q是p的充分不必要條件，故a≥1. 答案：[1，＋∞) 11