《（全國通用版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十二章 推理與證明、算法、復(fù)數(shù) 第5節(jié) 復(fù)數(shù)學(xué)案 理 新人教B版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（全國通用版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十二章 推理與證明、算法、復(fù)數(shù) 第5節(jié) 復(fù)數(shù)學(xué)案 理 新人教B版（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第5節(jié)　復(fù)數(shù) 最新考綱　1.理解復(fù)數(shù)的基本概念；2.理解復(fù)數(shù)相等的充要條件；3.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；4.會進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算；5.了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義. 知 識 梳 理 1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念 內(nèi)容 意義 備注 復(fù)數(shù)的概念 形如a＋bi(a∈R，b∈R)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中實部為a，虛部為b 若b＝0，則a＋bi為實數(shù)；若a＝0且b≠0，則a＋bi為純虛數(shù) 復(fù)數(shù)相等 a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R) 共軛復(fù)數(shù) a＋bi與c＋di共軛?a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R) 復(fù)平面 建立平面直角

2、坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫實軸，y軸叫虛軸 實軸上的點都表示實數(shù)；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)，各象限內(nèi)的點都表示虛數(shù) 復(fù)數(shù)的模 設(shè)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z＝a＋bi，則向量的長度叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模 |z|＝|a＋bi|＝ 2.復(fù)數(shù)的幾何意義 復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點組成的集合是一一對應(yīng)的，復(fù)數(shù)集C與復(fù)平面內(nèi)所有以原點O為起點的向量組成的集合也是一一對應(yīng)的，即 (1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi復(fù)平面內(nèi)的點Z(a，b)(a，b∈R). (2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 3.復(fù)數(shù)的運算 設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則 (1)加

3、法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； (3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； (4)除法：＝＝ ＝(c＋di≠0). [常用結(jié)論與微點提醒] 1.i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N+. 2.(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i. 診 斷 自 測 1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”) (1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)中，虛部為b

4、i.(　　) (2)復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念，因此復(fù)數(shù)可以比較大小.(　　) (3)原點是實軸與虛軸的交點.(　　) (4)復(fù)數(shù)的模實質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點到原點的距離，也就是復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的模.(　　) 解析　(1)虛部為b；(2)虛數(shù)不可以比較大小. 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2.(2016·全國Ⅰ卷)設(shè)(1＋2i)(a＋i)的實部與虛部相等，其中a為實數(shù)，則a＝(　　) A.－3 B.－2 C.2 D.3 解析　因為(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(2a＋1)i，所以a－2＝2a＋1，解得a＝－3. 答案　A 3.(2017·全國Ⅲ

5、卷)復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z＝i(－2＋i)的點位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析　由題意，得z＝－1－2i，其在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于第三象限. 答案　C 4.(2017·江蘇卷)已知復(fù)數(shù)z＝(1＋i)(1＋2i)，其中i是虛數(shù)單位，則z的模是________. 解析　z＝(1＋i)(1＋2i)＝－1＋3i，所以|z|＝＝. 答案　 5.(教材習(xí)題改編)已知(1＋2i)z＝4＋3i，則z＝________. 解析　∵＝＝ ＝＝2－i，∴z＝2＋i. 答案　2＋i 考點一　復(fù)數(shù)的有關(guān)概念 【例1】 (1)(2017·全國

6、Ⅰ卷)下列各式的運算結(jié)果為純虛數(shù)的是(　　) A.i(1＋i)2 B.i2(1－i) C.(1＋i)2 D.i(1＋i) (2)(2017·全國Ⅲ卷)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1＋i)z＝2i，則|z|＝(　　) A. B. C. D.2 (3)若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虛數(shù)單位)，則a，b的值分別等于(　　) A.3，－2 B.3，2 C.3，－3 D.－1，4 解析　(1)由(1＋i)2＝2i為純虛數(shù)知選C. (2)z＝＝＝＝i＋1，則|z|＝＝. (3)(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋bi，所以a＝3，b＝－2.

7、 答案　(1)C　(2)C　(3)A 規(guī)律方法　1.復(fù)數(shù)的分類及對應(yīng)點的位置都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可. 2.解題時一定要先看復(fù)數(shù)是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實部和虛部. 【訓(xùn)練1】 (1)(2018·廣東名校聯(lián)考)已知z＝(i為虛數(shù)單位)，則z的共軛復(fù)數(shù)的虛部為(　　) A.－i B.i C.－1 D.1 (2)(2017·全國Ⅰ卷)設(shè)有下面四個命題 p1：若復(fù)數(shù)z滿足∈R，則z∈R； p2：若復(fù)數(shù)z滿足z2∈R，則z∈R； p3：若復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1z2∈R

8、，則z1＝z2； p4：若復(fù)數(shù)z∈R，則z∈R. 其中的真命題為(　　) A.p1，p3 B.p1，p4 C.p2，p3 D.p2，p4 解析　(1)∵z＝＝＝－i，則z＝i，則z的虛部為1. (2)p1：設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則＝＝∈R，得到b＝0，所以z∈R，故p1正確； p2：若z2＝－1，滿足z2∈R，而z＝±i，不滿足z∈R，故p2不正確； p3：若z1＝1，z2＝2，則z1z2＝2，滿足z1z2∈R，而它們實部不相等，不是共軛復(fù)數(shù)，故p3不正確； p4：因復(fù)數(shù)z∈R，所以z的虛部為0，所以它的共軛復(fù)數(shù)是它本身，也屬于實數(shù)，故p4正確. 答案　(

9、1)D　(2)B 考點二　復(fù)數(shù)的幾何意義 【例2】 (1)復(fù)數(shù)z＝i(1＋i)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)點的坐標(biāo)為(　　) A.(1，1) B.(－1，－1) C.(1，－1) D.(－1，1) (2)(2017·北京卷)若復(fù)數(shù)(1－i)(a＋i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A.(－∞，1) B.(－∞，－1) C.(1，＋∞) D.(－1，＋∞) 解析　(1)因為z＝i(1＋i)＝－1＋i，故復(fù)數(shù)z＝i(1＋i)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)點的坐標(biāo)為(－1，1). (2)(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i的對應(yīng)點在第二象限，則∴a<

10、－1. 答案　(1)D　(2)B 規(guī)律方法　1.復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)Z(a，b) ＝(a，b). 2.由于復(fù)數(shù)、點、向量之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時可運用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題的解決更加直觀. 【訓(xùn)練2】 (1)若i為虛數(shù)單位，圖中復(fù)平面內(nèi)點Z表示復(fù)數(shù)z，則表示復(fù)數(shù)的點是(　　) A.E B.F C.G D.H (2)(2016·北京卷)設(shè)a∈R，若復(fù)數(shù)(1＋i)(a＋i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于實軸上，則a＝________. 解析　(1)由題圖知復(fù)數(shù)z＝3＋i， ∴＝＝＝＝2－i. ∴表示復(fù)數(shù)的點為H.

11、 (2)(1＋i)(a＋i)＝(a－1)＋(a＋1)i，由已知得a＋1＝0，解得a＝－1. 答案　(1)D　(2)－1 考點三　復(fù)數(shù)的運算 【例3】 (1)(2017·全國Ⅱ卷)＝(　　) A.1＋2i B.1－2i C.2＋i D.2－i (2)(2018·日照質(zhì)檢)若a為實數(shù)，且＝3＋i，則a等于(　　) A.－4 B.－3 C.3 D.4 (3)(2017·全國Ⅱ卷)(1＋i)(2＋i)＝(　　) A.1－i B.1＋3i C.3＋i D.3＋3i 解析　(1)＝＝2－i. (2)由＝3＋i，得2＋ai＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4

12、i，因此ai＝4i(a∈R)，所以a＝4. (3)由題意(1＋i)(2＋i)＝2＋3i＋i2＝1＋3i. 答案　(1)D　(2)D　(3)B 規(guī)律方法　復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法運算可以類比多項式運算，除法關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，注意要把i的冪寫成最簡形式. 【訓(xùn)練3】 (1)(2017·山東卷)已知a∈R，i是虛數(shù)單位.若z＝a＋i，z·＝4，則a＝(　　) A.1或－1 B.或－ C.－ D. (2)＋＝________. 解析　(1)由已知得(a＋i)(a－i)＝4，∴a2＋3＝4，解得a＝±1. (2)原式＝＋ ＝i6＋＝－1＋i. 答案　(1

13、)A　(2)－1＋i 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時：25分鐘) 一、選擇題 1.(2016·四川卷)設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)(1＋i)2＝(　　) A.0 B.2 C.2i D.2＋2i 解析　(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i. 答案　C 2.(2018·威海質(zhì)檢)已知i為虛數(shù)單位，則＝(　　) A. B. C. D. 解析　＝＝. 答案　D 3.(2018·山西康杰中學(xué)、臨汾一中等五校聯(lián)考)設(shè)復(fù)數(shù)z＝－2＋i，則復(fù)數(shù)z＋的虛部為(　　) A. B.i C. D.i 解析　z＋＝－2＋i＋＝－2－＋i＝－＋i. 答案　A 4.

14、(2018·石家莊質(zhì)檢)在復(fù)平面中，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析　因為＝＝＝＝－i，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，在第四象限. 答案　D 5.(2017·山東卷)已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿足zi＝1＋i，則z2＝(　　) A.－2i B.2i C.－2 D.2 解析　由zi＝1＋i，得z＝＝1－i， ∴z2＝(1－i)2＝－2i. 答案　A 6.(2017·東北三省四校聯(lián)考)i是虛數(shù)單位，若＝a＋bi(a，b∈R)，則lg(a＋b)的值是(　　) A.－2 B.－1 C.0 D. 解析　∵＝

15、＝－i＝a＋bi， ∴∴l(xiāng)g(a＋b)＝lg 1＝0. 答案　C 7.(2017·北京東城綜合測試)若復(fù)數(shù)(m2－m)＋mi為純虛數(shù)，則實數(shù)m的值為(　　) A.－1 B.0 C.1 D.2 解析　因為復(fù)數(shù)(m2－m)＋mi為純虛數(shù)，所以解得m＝1. 答案　C 8.(2016·全國Ⅰ卷)設(shè)(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是實數(shù)，則|x＋yi|＝(　　) A.1 B. C. D.2 解析　由(1＋i)x＝1＋yi，得x＋xi＝1＋yi??所以|x＋yi|＝＝. 答案　B 二、填空題 9.復(fù)數(shù)z＝(1＋2i)(3－i)，其中i為虛數(shù)單位，則z的實部

16、是________. 解析　(1＋2i)(3－i)＝3＋5i－2i2＝5＋5i，所以z的實部為5. 答案　5 10.(2017·天津卷)已知a∈R，i為虛數(shù)單位，若為實數(shù)，則a的值為________. 解析?。剑剑剑璱為實數(shù)，則＝0，a＝－2. 答案?。? 11.若＝a＋bi(a，b為實數(shù)，i為虛數(shù)單位)，則a＋b＝________. 解析　＝＝[(3－b)＋(3＋b)i]＝＋i.∴解得∴a＋b＝3. 答案　3 12.(2017·浙江卷)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虛數(shù)單位)，則a2＋b2＝________，ab＝________. 解析　由已知(a＋bi

17、)2＝3＋4i. 即a2－b2＋2abi＝3＋4i. 從而有解得則a2＋b2＝5，ab＝2. 答案　5　2 能力提升題組 (建議用時：10分鐘) 13.(2018·濮陽一模)計算＋＝(　　) A.－2i B.0 C.2i D.2 解析　∵＝＝＝i，＝－i， ∴＋＝(i4)504·i＋[(－i)4]504·(－i)＝i－i＝0. 答案　B 14.設(shè)z1，z2是復(fù)數(shù)，則下列命題中的假命題是(　　) A.若|z1－z2|＝0，則1＝2 B.若z1＝2，則1＝z2 C.若|z1|＝|z2|，則z1·1＝z2·2 D.若|z1|＝|z2|，則z＝z 解析　A

18、中，|z1－z2|＝0，則z1＝z2，故1＝2，成立； B中，z1＝2，則1＝z2成立；C中，|z1|＝|z2|，則|z1|2＝|z2|2，即z1·1＝z2·2，C正確；D不一定成立，如z1＝1＋i，z2＝2， 則|z1|＝2＝|z2|，但z＝－2＋2i，z＝4，z≠z. 答案　D 15.(2018·黃山模擬改編)復(fù)數(shù)z＝(a＋1)＋(a2－3)i(i為虛數(shù)單位)，若z<0，則實數(shù)a的值是________. 解析　由題意得解得a＝－. 答案?。? 16.若1－i(i是虛數(shù)單位)是關(guān)于x的方程x2＋2px＋q＝0(p，q∈R)的一個解，則p＋q＝________. 解析　依題意得(1－i)2＋2p(1－i)＋q＝(2p＋q)－2(p＋1)i＝0，即解得所以p＋q＝1. 答案　1 9