2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 第十一章選修內(nèi)容 11-2 參數(shù)方程《教案》
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1、2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 第十一章選修內(nèi)容 11-2 參數(shù)方程《教案》 1.參數(shù)方程和普通方程的互化 (1)曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式.一般地,可以通過消去參數(shù)從參數(shù)方程得到普通方程. (2)如果知道變數(shù)x,y中的一個與參數(shù)t的關(guān)系,例如x=f(t),把它代入普通方程,求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系y=g(t),那么就是曲線的參數(shù)方程. 2.常見曲線的參數(shù)方程和普通方程 點(diǎn)的軌跡 普通方程 參數(shù)方程 直線 y-y0=tan α(x-x0) (t為參數(shù)) 圓 x2+y2=r2 (θ為參數(shù)) 橢圓 +=1(a>b>0) (φ為參數(shù))
2、雙曲線 -=1 ,(a>0,b>0) (φ為參數(shù)) 拋物線 y2=2px (p>0) (t為參數(shù)) 1.直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),求直線l的斜率. 解 將直線l的參數(shù)方程化為普通方程為 y-2=-3(x-1),因此直線l的斜率為-3. 2.已知直線l1:(t為參數(shù))與直線l2:(s為參數(shù))垂直,求k的值. 解 直線l1的方程為y=-x+,斜率為-; 直線l2的方程為y=-2x+1,斜率為-2. ∵l1與l2垂直, ∴(-)×(-2)=-1?k=-1. 3.已知點(diǎn)P(3,m)在以點(diǎn)F為焦點(diǎn)的拋物線(t為參數(shù))上,求PF的值. 解 將拋物線的參數(shù)方程化為普通
3、方程為y2=4x,則焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1,又P(3,m)在拋物線上,由拋物線的定義知PF=3-(-1)=4. 4.已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=1,以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)),求直線l與曲線C相交所截的弦長. 解 曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=1, 直線l的普通方程為3x-4y+3=0. 圓心到直線的距離d==. ∴直線l與曲線C相交所截的弦長為2=. 題型一 參數(shù)方程與普通方程的互化 例1 (1)如圖,以過原點(diǎn)的直線的傾斜角θ為參數(shù),求圓x2+y2-x=0的參數(shù)方程. (2)在
4、平面直角坐標(biāo)系中,已知直線l的參數(shù)方程為(s為參數(shù)),曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),若l與C相交于A,B兩點(diǎn),求AB的長. 解 (1)圓的半徑為,記圓心為C(,0),連結(jié)CP,則∠PCx=2θ,故xP=+cos 2θ=cos2θ, yP=sin 2θ=sin θcos θ(θ為參數(shù)). 所以圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)). (2)直線l的普通方程為x+y=2,曲線C的普通方程為y=(x-2)2(y≥0),聯(lián)立兩方程得x2-3x+2=0,求得兩交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),(2,0),所以AB=. 思維升華 消去參數(shù)的方法一般有三種: (1)利用解方程的技巧求出參數(shù)的表示式,然后代入消去參數(shù);
5、 (2)利用三角恒等式消去參數(shù); (3)根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征,靈活的選用一些方法從整體上消去參數(shù). 將參數(shù)方程化為普通方程時,要注意防止變量x和y取值范圍的擴(kuò)大或縮小,必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍,確定函數(shù)f(t)和g(t)的值域,即x和y的取值范圍. (1)求直線(t為參數(shù))與曲線(α為參數(shù))的交點(diǎn)個數(shù). (2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若直線l:(t為參數(shù))過橢圓C:(φ為參數(shù))的右頂點(diǎn),求常數(shù)a的值. 解 (1)將消去參數(shù)t得直線x+y-1=0; 將消去參數(shù)α得圓x2+y2=9. 又圓心(0,0)到直線x+y-1=0的距離d=<3. 因此直線與圓相交,故直線與曲線有2
6、個交點(diǎn). (2)直線l的普通方程為x-y-a=0, 橢圓C的普通方程為+=1, ∴橢圓C的右頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),若直線l過(3,0), 則3-a=0,∴a=3. 題型二 參數(shù)方程的應(yīng)用 例2 已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)). (1)求直線l和圓C的普通方程; (2)若直線l與圓C有公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解 (1)直線l的普通方程為2x-y-2a=0, 圓C的普通方程為x2+y2=16. (2)因?yàn)橹本€l與圓C有公共點(diǎn), 故圓C的圓心到直線l的距離d=≤4, 解得-2≤a≤2. 思維升華 已知圓、圓錐曲線的參數(shù)方程解決有關(guān)問
7、題時,一般是把參數(shù)方程化為普通方程,通過互化解決與圓、圓錐曲線上動點(diǎn)有關(guān)的問題,如最值、范圍等. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1和C2的參數(shù)方程分別為和(t為參數(shù)),求曲線C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo). 解 曲線C1的普通方程為x2+y2=5(x≥0,y≥0). 曲線C2的普通方程為x-y-1=0. 解方程組得 ∴曲線C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1). 題型三 極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的綜合應(yīng)用 例3 (xx·課標(biāo)全國Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1:(t為參數(shù),t≠0),其中0≤α<π,在以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2:ρ=2sin θ,曲線C3:ρ=2cos
8、θ. (1)求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo); (2)若C1與C2相交于點(diǎn)A,C1與C3相交于點(diǎn)B,求AB的最大值. 解 (1)曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2y=0,曲線C3的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x=0. 聯(lián)立解得或 所以C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0,0)和. (2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π. 因此A的極坐標(biāo)為(2sin α,α),B的極坐標(biāo)為(2cos α,α). 所以AB=|2sin α-2cos α|=4. 當(dāng)α=時,AB取得最大值,最大值為4. 思維升華 在對坐標(biāo)系與參數(shù)方程的考查中,最能體現(xiàn)坐標(biāo)法的解題優(yōu)勢,靈活地
9、利用坐標(biāo)法可以使問題得到簡捷的解答.例如,將題設(shè)條件中涉及的極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程等價轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程,然后在直角坐標(biāo)系下對問題進(jìn)行求解就是一種常見的解題方法,對應(yīng)數(shù)學(xué)問題求解的“化生為熟”原則,充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想. 在直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cos(θ+),直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),直線l和圓C交于A,B兩點(diǎn),P是圓C上不同于A,B的任意一點(diǎn). (1)求圓心的極坐標(biāo); (2)求△PAB面積的最大值. 解 (1)由圓C的極坐標(biāo)方程為 ρ=2cos(θ+),得 ρ2=2(ρcos θ-ρsin θ),
10、 把代入可得圓C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x+2y=0, 即(x-1)2+(y+1)2=2. ∴圓心坐標(biāo)為(1,-1), ∴圓心的極坐標(biāo)為(,). (2)由題意,得直線l的直角坐標(biāo)方程為2x-y-1=0. ∴圓心(1,-1)到直線l的距離d==,∴AB=2=2=. 點(diǎn)P到直線l的距離的最大值為r+d=+=, ∴Smax=××=. 1.將參數(shù)方程化為普通方程是解決問題的一般思路,體現(xiàn)了化歸思想. 2.將參數(shù)方程化為普通方程時,要注意兩種方程的等價性,不要增解;確定曲線的參數(shù)方程時,一定要根據(jù)實(shí)際問題的要求確定參數(shù)的取值范圍,必要時通過限制參數(shù)的范圍去掉多余的解.
11、A組 專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時間:50分鐘) 1.求直線(t為參數(shù))被曲線(θ為參數(shù))所截得的弦長. 解 直線方程可化為x+y-=0, 曲線方程可化為x2+=1. 由得x2-x=0, ∴x=0或x=1. 可得交點(diǎn)為A(0,),B(1,0). ∴AB==2. ∴所截得的弦長為2. 2.直線(t為參數(shù))與圓(θ為參數(shù))相切,求切線的傾斜角. 解 直線的普通方程為bx-ay-4b=0,圓的普通方程為(x-2)2+y2=3,直線與圓相切,則圓心(2,0)到直線的距離為,從而有=,即3a2+3b2=4b2,∴b=±a,而直線的傾斜角的正切值為tan α=,∴tan α=±,因此切線的傾斜
12、角為或. 3.已知直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程:(t為參數(shù)),以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求以極點(diǎn)為圓心且與直線l相切的圓的極坐標(biāo)方程. 解 ∵直線l的直角坐標(biāo)方程為x-y+=0. ∴原點(diǎn)到直線的距離r==1. ∴以極點(diǎn)為圓心且與直線l相切的圓的極坐標(biāo)方程為ρ=1. 4.(xx·湖北)在直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρ(sin θ-3cos θ)=0,曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),l與C相交于A,B兩點(diǎn),求AB的長. 解 直線l的極坐標(biāo)方程ρ(sin θ-3cos θ)=0化為直角
13、坐標(biāo)方程為3x-y=0,曲線C的參數(shù)方程兩式經(jīng)過平方相減,化為普通方程為y2-x2=4,聯(lián)立解得或 所以A,B. 所以AB= =2. 5.在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),在以O(shè)為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2的方程為ρsin(θ+)=2,求曲線C1與曲線C2的交點(diǎn)個數(shù). 解 曲線C1,C2化為普通方程和直角坐標(biāo)方程分別為x2=2y,x+y-4=0,聯(lián)立消去y得x2+2x-8=0,因?yàn)榕袆e式Δ>0,所以方程有兩個實(shí)數(shù)解.故曲線C1與曲線C2的交點(diǎn)個數(shù)為2. 6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),直線l與拋物線y2=4x
14、相交于A,B兩點(diǎn),求線段AB的長. 解 將直線l的參數(shù)方程 代入拋物線方程y2=4x, 得2=4, 解得t1=0,t2=-8. 所以AB=|t1-t2|=8. B組 專項(xiàng)能力提升 (時間:30分鐘) 7.(xx·陜西)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,⊙C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sin θ. (1)寫出⊙C的直角坐標(biāo)方程; (2)P為直線l上一動點(diǎn),當(dāng)P到圓心C的距離最小時,求P的直角坐標(biāo). 解 (1)由ρ=2sin θ,得ρ2=2ρsin θ, 從而有x2+y2=2y,所以x2+(y-)2=3. (2)設(shè)P
15、,又C(0,), 則PC= =, 故當(dāng)t=0時,PC取得最小值, 此時,P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(3,0). 8.已知直線C1:(t為參數(shù)),曲線C2:(θ為參數(shù)). (1)當(dāng)α=時,求C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo); (2)過坐標(biāo)原點(diǎn)O作C1的垂線,垂足為A,P為OA的中點(diǎn),當(dāng)α變化時,求P點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程,并指出它是什么曲線. 解 (1)當(dāng)α=時,C1的普通方程為y=(x-1), C2的普通方程為x2+y2=1, 聯(lián)立方程得解得C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1,0),(,-). (2)依題意,C1的普通方程為xsin α-ycos α-sin α=0, 則A點(diǎn)的坐標(biāo)為(sin2α,-si
16、n αcos α), 故當(dāng)α變化時, P點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程為(α為參數(shù)), ∴P點(diǎn)軌跡的普通方程為(x-)2+y2=. 故P點(diǎn)的軌跡是圓心為(,0),半徑為的圓. 9.已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sin(θ-). (1)求圓C的直角坐標(biāo)方程; (2)點(diǎn)P(x,y)是直線l與圓面ρ≤4sin(θ-)的公共點(diǎn),求x+y的取值范圍. 解 (1)因?yàn)閳AC的極坐標(biāo)方程為ρ=4sin(θ-), 所以ρ2=4ρsin(θ-)=4ρ(sin θ-cos θ). 又ρ2=x2+y2,x=ρcos θ,y=ρsin
17、 θ, 所以x2+y2=2y-2x, 所以圓C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2+2x-2y=0. (2)設(shè)z=x+y, 由圓C的方程x2+y2+2x-2y=0,得 (x+1)2+(y-)2=4, 所以圓C的圓心是(-1,),半徑是2. 將代入z=x+y,得z=-t. 又直線l過C(-1,),圓C的半徑是2, 所以-2≤t≤2, 所以-2≤-t≤2, 即x+y的取值范圍是[-2,2]. 10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,動圓x2+y2-4xcos θ-4ysin θ+7cos2θ-8=0 (θ∈R,θ為參數(shù))的圓心軌跡為曲線C,點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動.以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,若直線l的極坐標(biāo)方程為2ρcos=3,求點(diǎn)P到直線l的最大距離. 解 將動圓的方程配方,得 (x-2cos θ)2+(y-2sin θ)2=9+3sin2θ, 設(shè)圓心(x,y),則 (θ∈R,θ為參數(shù)), 即曲線C的參數(shù)方程為 (θ∈R,θ為參數(shù)), 直線l的直角坐標(biāo)方程為x-y-3=0, 設(shè)點(diǎn)P(x1,y1),則(θ∈R,θ為參數(shù)),點(diǎn)P到直線l的距離d==, 其中tan φ=-. ∴當(dāng)sin(θ+φ)=-1,點(diǎn)P到直線l的距離d取得最大值.
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