《(新課標)2021版高考數(shù)學一輪總復習 第一章 集合、常用邏輯用語 第1講 集合及其運算導學案 新人教A版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(新課標)2021版高考數(shù)學一輪總復習 第一章 集合、常用邏輯用語 第1講 集合及其運算導學案 新人教A版(10頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、 第一章 集合、常用邏輯用語
[知識體系p1]
第1講 集合及其運算
【課程要求】
1.了解集合的含義、元素與集合的“屬于”關(guān)系,能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)來描述不同的具體問題,理解集合中元素的互異性.
2.理解集合之間包含和相等的含義,能識別給定集合的子集,了解在具體情境中全集與空集的含義.
3.理解兩個集合的并集與交集的含義,會求兩個簡單集合的并集與交集,理解在給定集合中一個子集的補集的含義,會求給定子集的補集.
4.能使用韋恩(Venn)圖表達集合間的關(guān)系與運算.
對應學生用書p1
【基礎(chǔ)檢測】
1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括
2、號中打“√”或“×”)
(1)任何一個集合都至少有兩個子集.( )
(2){x|y=+1}={y|y=+1}={(x,y)|y=+1}.( )
(3)若{,1}={0,1},則x=0或x=1.( )
(4){x|x≤2}={a|a≤2}.( )
(5)對于任意兩個集合A,B,關(guān)系(A∩B)?(A∪B)恒成立.( )
(6)若A∩B=A∩C,則B=C.( )
[答案] (1)× (2) × (3)× (4) √ (5)√ (6)×
2.[必修1p44A組T4]已知集合A={0,1},B={-1,0,a+3},若A?B,則
3、a的值為( )
A.-2 B.-1 C.0 D.1
[解析] 因為{0,1}?{-1,0,a+3},所以a+3=1,解得a=-2.
[答案] A
3.[必修1p11例9]已知U={α|0°<α<180°},A={x|x是銳角},B={x|x是鈍角},則?U(A∪B)=________.
[答案] {x|x是直角}
4.[必修1p44A組T5]已知集合A={(x,y)|y=x2},B={(x,y)|y=x},則A∩B中元素的個數(shù)為________.
[解析] 集合A表示拋物線y=x2上的點的集合,集合B表示直線y=x上的點的集合,拋物線y=x2與直線y=x相交于兩點(0,0
4、),(1,1),則A∩B中有兩個元素.
[答案] 2
5.已知全集U=R,集合A={x|x2-x-6<0},B={1,2,3,4},則Venn圖中陰影部分所表示的集合是( )
A.{1,2} B.{2,3}
C.{3,4} D.{2,3,4}
[解析] 由題意A={x|-2
5、 8
【知識要點】
1.集合與元素
(1)集合中元素的三個特征:__確定性__、__互異性__、__無序性__.
(2)元素與集合的關(guān)系是__屬于__或__不屬于__,用符號__∈__或__?__表示.
(3)集合的表示法:__列舉法__、__描述法__、__圖示法__.
(4)常見數(shù)集的記法
集合
自然數(shù)集
正整數(shù)集
整數(shù)集
有理數(shù)集
實數(shù)集
符號
N
N*(或N+)
Z
Q
R
2.集合間的基本關(guān)系
關(guān)系
自然語言
符號語言
Venn圖
子集
集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A,則x∈B)
__A?B(或B?A)__
真子
6、
集
集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一個元素不在集合A中
__AB(或BA)__
集合相等
集合A,B中的元素相同或集合A,B互為子集
__A=B__
3.集合的基本運算
運算
自然語言
符號語言
Venn圖
交集
由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合
A∩B={x|x∈A且x∈B}
并集
由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合
A∪B={x|x∈A或x∈B}
補集
由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合
?UA={x|x∈U且x?A}
【知識拓展】
1.若有限集合A中有n個元素,則集合A的子集個
7、數(shù)為__2n__,真子集的個數(shù)為__2n-1__.
2.A?B?A∩B=__A__?A∪B=__B__.
3.A∩(?UA)=__?__;A∪(?UA)=__U__;?U(?UA)=__A__.
對應學生用書p2
集合的基本概念
例1 (1)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},則A∩B中元素的個數(shù)為( )
A.3 B.2 C.1 D.0
[解析] 因為A表示圓x2+y2=1上的點的集合,B表示直線y=x上的點的集合,直線y=x與圓x2+y2=1有兩個交點,所以A∩B中元素的個數(shù)為2.
[
8、答案] B
(2)已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,則m的值為__________.
[解析] 由題意得m+2=3或2m2+m=3,則m=1或m=-,當m=1時,m+2=3且2m2+m=3,根據(jù)集合元素的互異性可知不滿足題意;當m=-時,m+2=,而2m2+m=3,故m=-.
[答案] -
[小結(jié)](1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含義,再看元素的限制條件,明白集合的類型,是數(shù)集、點集還是其他類型的集合.
(2)集合中元素的互異性常常容易被忽略,求解問題時要特別注意.分類討論的思想方法常用于解決集合問題.
1.(多選)若集合A={x|mx2+2x+
9、m=0,m∈R}中有且只有一個元素,則m的值可以是( )
A.-1 B.0
C. D.1
[解析] 當m=0時,A={x|2x=0}={0},滿足題意;當m≠0時,Δ=4-4m2=0,m=±1.
[答案] ABD
2.設(shè)P,Q為兩個非空實數(shù)集合,定義集合P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},若P={0,2,5},Q={1,2,6},則P+Q中元素的個數(shù)是( )
A.9 B.8 C.7 D.6
[解析] 當a=0時,a+b=1,2,6;當a=2時,a+b=3,4,8;當a=5時,a+b=6,7,11.由集合中元素的互異性知,P
10、+Q中有1,2,3,4,6,7,8,11,共8個元素.
[答案] B
集合間的基本關(guān)系
例2 (1)(多選)已知集合A={x∈R|x2+x-6=0},B={x∈R|ax-1=0},若B?A,則實數(shù)a的值可以為( )
A. B.- C. D.0
[解析] 由題意知,A={2,-3}.
當a=0時,B=?,滿足B?A;
當a≠0時,ax-1=0的解為x=,由B?A,可得=-3或=2,∴a=-或a=.
綜上可知,a的值可以為-或或0.
[答案] BCD
(2)已知集合A={x|x2-x-12≤0},B={x|2m-1
11、)
A.[-1,2) B.[-1,3]
C.[2,+∞) D.[-1,+∞)
[解析] 由x2-x-12≤0,得(x+3)(x-4)≤0,即-3≤x≤4,所以A={x|-3≤x≤4}.又A∩B=B,所以B?A.
①當B=?時,有m+1≤2m-1,解得m≥2;
②當B≠?時,有解得-1≤m<2.
綜上,m的取值范圍是[-1,+∞).
[答案] D
[小結(jié)] (1)空集是任何集合的子集,在涉及集合關(guān)系時,必須優(yōu)先考慮空集的情況,否則會造成漏解.
(2)已知兩個集合間的關(guān)系求參數(shù)時,關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點間的關(guān)系,進而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系,常用數(shù)軸、Venn圖等來直
12、觀解決這類問題.
3.設(shè)a,b∈R,集合{1,a+b,a}=,則b-a=( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
[解析] 因為{1,a+b,a}=,所以a≠0,a+b=0,則=-1,所以a=-1,b=1.所以b-a=2.
[答案] C
4.已知集合A=,B={x|x+m2≥1},若A?B,則實數(shù)m的取值范圍是________.
[解析] 因為y=+,x∈,所以y∈.又因為A?B,所以1-m2≤,
解得m≥或m≤-.
[答案] ∪
集合的基本運算
例3 (1)設(shè)全集為R,集合A={x|x2-9<0},B={x|-1<x≤5},則A∩(?RB)=________
13、.
[解析] 由題意知,A={x|x2-9<0}={x|-3<x<3},
∵B={x|-1<x≤5},∴?RB={x|x≤-1或x>5}.
∴A∩(?RB)={x|-3<x<3}∩{x|x≤-1或x>5}
={x|-3<x≤-1}.
[答案] {x|-3<x≤-1}
(2)已知集合P={y|y2-y-2>0},Q={x|x2+ax+b≤0}.若P∪Q=R,且P∩Q=(2,3],則a+b=( )
A.-5 B.5 C.-1 D.1
[解析] P={y|y2-y-2>0}={y|y>2或y<-1}.由P∪Q=R及P∩Q=(2,3],得Q=[-1,3],所以-a=-1+3,
14、b=-1×3,即a=-2,b=-3,a+b=-5,故選A.
[答案] A
(3)設(shè)全集U={x|-2≤x<5,x∈Z},A={0,2,3,4},B={-1,0,1,2},則圖中陰影部分所表示的集合為( )
A.{0,2} B.{3,4}
C.{0,3,4} D.{-2,-1,0,1,2}
[解析] 陰影部分所表示的集合為A∩(?UB),集合A={0,2,3,4},?UB={-2,3,4},則A∩(?UB)={3,4}.故選B.
[答案] B
[小結(jié)] (1)一般來講,集合中的元素若是離散的,則用Venn圖表示;集合中的元素若是連續(xù)的,則用數(shù)軸表示,此時要注意端點的情況.
15、
(2)運算過程中要注意集合間的特殊關(guān)系的使用,靈活使用這些關(guān)系,會使運算簡化.
(3)進行集合基本運算時要注意對應不等式端點值的處理,尤其是求解集合補集的運算,一定要注意端點值的取舍.
5.已知集合A={x|x2-6x+5≤0},B={x|y=log2(x-2)},則A∩B=( )
A.(1,2) B.[1,2)
C.(2,5] D.[2,5]
[解析] 由x2-6x+5≤0的解集為{x|1≤x≤5},得A=[1,5].由x-2>0,解得x>2,故B=(2,+∞).把兩個集合A,B在數(shù)軸上表示出來,如圖,可知A∩B=(2,5].
[答案] C
6.設(shè)集合A={y
16、|y=2x,x∈R},B={x|x2-1<0},則A∪B=( )
A.(-1,1) B.(0,1)
C.(-1,+∞) D.(0,+∞)
[解析] ∵A={y|y>0},B={x|-1
17、)={3,4},(?UM)∩(?UN)=?.
[答案] AB
集合中的創(chuàng)新問題
例4 (1)設(shè)A,B是兩個非空集合,定義集合A-B={x|x∈A,且x?B},若A={x∈N|0≤x≤5},B={x|x2-7x+10<0},則A-B=( )
A.{0,1} B.{1,2}
C.{0,1,2} D.{0,1,2,5}
[解析] 因為A={x∈N|0≤x≤5},所以A={0,1,2,3,4,5}.解不等式x2-7x+10<0,即(x-2)(x-5)<0,得2
18、,5},故選D.
[答案] D
(2)已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若對于任意實數(shù)對(x1,y1)∈M,都存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,則稱集合M是“垂直對點集”.給出下列四個集合:
①M=;
②M={(x,y)|y=log2x};
③M={(x,y)|y=ex-2};
④M={(x,y)|y=sin x+1}.
其中是“垂直對點集”的序號是( )
A.①④ B.②③ C.③④ D.②④
[解析] 記A(x1,y1),B(x2,y2),則由x1x2+y1y2=0得OA⊥OB.對于①,對任意A∈M,不存在B∈M,使得OA⊥OB.
19、對于②,當A為點(1,0)時,不存在B∈M滿足題意.對于③④,對任意A∈M,過原點O可作直線OB⊥OA,它們都與函數(shù)y=ex-2及y=sin x+1的圖象相交,即③④滿足題意,故選C.
[答案] C
[小結(jié)]解決以集合為背景的新定義問題,要抓住兩點:(1)緊扣新定義.首先分析新定義的特點,把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚,應用到具體的解題過程之中.(2)用好集合的性質(zhì).解題時要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素.
8.定義一種新的集合運算△:A△B={x|x∈A,且x?B}.若集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2≤x≤4},則按運算△,B△A等于( )
A.{
20、x|3