《（贛豫陜）2018-2019學年高中數學 第一章 立體幾何初步 4.1 空間圖形基本關系的認識 4.2 空間圖形的公理(一)學案 北師大版必修2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（贛豫陜）2018-2019學年高中數學 第一章 立體幾何初步 4.1 空間圖形基本關系的認識 4.2 空間圖形的公理(一)學案 北師大版必修2（14頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 4．1　空間圖形基本關系的認識 4．2　空間圖形的公理(一) 學習目標　1.通過長方體這一常見的空間圖形，體會點、直線、平面之間的位置關系.2.會用符號表達點、線、面的位置關系.3.掌握空間圖形的三個公理及其推論． 知識點一　空間圖形的基本位置關系 對于長方體有12條棱和6個面． 思考1　12條棱中，棱與棱有幾種位置關系？ 答案　相交，平行，既不平行也不相交． 思考2　棱所在直線與面之間有幾種位置關系？ 答案　棱在平面內，棱所在直線與平面平行和棱所在直線與平面相交． 思考3　六個面之間有哪幾種位置關系． 答案　平行和相交． 梳理　 位置關系 圖形表示 符

2、號表示 空間點與直線的位置關系 點A在直線a外 A?a 點B在直線a上 B∈a 空間點與平面的位置關系 點A在平面α內 A∈α 點B在平面α外 B?α 空間兩條直線的位置關系 平行 a∥b 相交 a∩b＝O 異面 a與b異面 空間直線與平面的位置關系 線在面內 aα 線面相交 a∩α＝A 線面平行 a∥α 空間平面與平面的位置關系 面面平行 α∥β 面面相交 α∩β＝a 異面直線 不同在任何一個平面內的兩條直線，叫作異面直線 知識點二　空間圖形的公理 思考1　照相機支架只有三個腳支撐

3、說明什么？ 答案　不在同一直線上的三點確定一個平面． 思考2　一把直尺兩端放在桌面上，直尺在桌面上嗎？ 答案　直尺在桌面上． 思考3　教室的墻面與地面有公共點，這些公共點有什么規(guī)律？ 答案　這些公共點在同一直線上． 梳理　(1)空間圖形的公理 公理 內容 圖形 符號 作用 公理1 如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(即直線在平面內) A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?lα 用來證明直線在平面內 公理2 過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面(即可以確定一個平面) A，B，C三點不共線?存在唯一的α使A，B，C∈

4、α 用來確定一個平面 公理3 如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線 P∈α，P∈β?α∩β＝l，且P∈l 用來證明空間的點共線和線共點 (2)公理2的推論 推論1：一條直線和直線外一點確定一個平面(圖①)． 推論2：兩條相交直線確定一個平面(圖②)． 推論3：兩條平行直線確定一個平面(圖③)． 1．8個平面重疊起來要比6個平面重疊起來厚．(　×　) 2．空間不同三點確定一個平面．(　×　) 3．一條直線和一個點確定一個平面．(　×　) 類型一　文字語言、圖形語言、符號語言的相互轉化 例1　根據圖形用符號表示下

5、列點、直線、平面之間的關系． (1)點P與直線AB； (2)點C與直線AB； (3)點M與平面AC； (4)點A1與平面AC； (5)直線AB與直線BC； (6)直線AB與平面AC； (7)平面A1B與平面AC. 考點　平面的概念、畫法及表示 題點　自然語言、符號語言與圖形語言的互化 解　(1)點P∈直線AB. (2)點C?直線AB. (3)點M∈平面AC. (4)點A1?平面AC. (5)直線AB∩直線BC＝點B. (6)直線AB平面AC. (7)平面A1B∩平面AC＝直線AB. 反思與感悟　(1)用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細觀察圖形有

6、幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關系如何，試著用文字語言表示，再用符號語言表示． (2)根據符號語言或文字語言畫相應的圖形時，要注意實線和虛線的區(qū)別． 跟蹤訓練1　用符號語言表示下列語句，并畫成圖形． (1)直線l經過平面α內兩點A，B； (2)直線l在平面α外，且過平面α內一點P； (3)直線l既在平面α內，又在平面β內； (4)直線l是平面α與β的交線，平面α內有一條直線m與l平行． 考點　平面的概念、畫法及表示 題點　自然語言、符號語言與圖形語言的互化 解　(1)A∈α，B∈α，A∈l，B∈l，如圖． (2)l?α，P∈l，P∈α.如圖 (3)lα，l

7、β.如圖． (4)α∩β＝l，mα，m∥l.如圖． 類型二　平面的基本性質的應用 命題角度1　點線共面問題 例2　如圖，已知：aα，bα，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求證：PQα. 考點　平面的基本性質 題點　線共面問題 證明　因為PQ∥a，所以PQ與a確定一個平面β，所以直線aβ，點P∈β.因為P∈b，bα，所以P∈α.又因為aα，P?α，所以α與β重合，所以PQα. 引申探究 將本例中的兩條平行線改為三條，即求證：和同一條直線相交的三條平行直線一定在同一平面內． 解　已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C. 求證：a，b，c

8、和l共面． 證明：如圖，∵a∥b， ∴a與b確定一個平面α. ∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α. 又∵A∈l，B∈l，∴l(xiāng)α. ∵b∥c，∴b與c確定一個平面β，同理lβ. ∵平面α與β都包含l和b，且b∩l＝B， 由公理2的推論知：經過兩條相交直線有且只有一個平面， ∴平面α與平面β重合，∴a，b，c和l共面． 反思與感悟　在證明多線共面時，可用下面的兩種方法來證明： (1)納入法：先由部分直線確定一個平面，再證明其他直線在這個平面內． (2)重合法：先說明一些直線在一個平面內，另一些直線也在另一個平面內，再證明兩個平面重合． 跟蹤訓練2　如圖，已知

9、l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求證：直線l1，l2，l3在同一平面內． 考點　平面的基本性質 題點　線共面問題 證明　方法一　(納入平面法) ∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1和l2確定一個平面α. ∵l2∩l3＝B，∴B∈l2. 又∵l2α，∴B∈α.同理可證C∈α. ∵B∈l3，C∈l3，∴l(xiāng)3α. ∴直線l1，l2，l3在同一平面內． 方法二　(重合法) ∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1和l2確定一個平面α. ∵l2∩l3＝B，∴l(xiāng)2，l3確定一個平面β. ∵A∈l2，l2α，∴A∈α. ∵A∈l2，l2β，∴A∈β. 同理可證B∈α，B∈β，C∈

10、α，C∈β. ∴不共線的三個點A，B，C既在平面α內，又在平面β內． ∴平面α和β重合，即直線l1，l2，l3在同一平面內． 命題角度2　點共線、線共點問題 例3　如圖所示，已知E，F(xiàn)，G，H分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中點． 求證：FE，HG，DC三線共點． 考點　平面的基本性質 題點　點共線、線共點、點在線上問題 證明　如圖所示，連接C1B，GF，HE，由題意知 HC1∥EB，且HC1＝EB， ∴四邊形HC1BE是平行四邊形， ∴HE∥C1B. 又C1G＝GC，CF＝BF， ∴GF∥C1B，且GF＝C1B. ∴

11、GF∥HE，且GF≠HE， ∴HG與EF相交．設交點為K， ∴K∈HG，HG平面D1C1CD， ∴K∈平面D1C1CD. ∵K∈EF，EF平面ABCD，∴K∈平面ABCD， ∴K∈(平面D1C1CD∩平面ABCD)＝DC， ∴EF，HG，DC三線共點． 反思與感悟　(1)點共線：證明多點共線通常利用公理3，即兩相交平面交線的唯一性，通過證明點分別在兩個平面內，證明點在相交平面的交線上，也可選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其他點也在其上． (2)三線共點：證明三線共點問題可把其中一條作為分別過其余兩條直線的兩個平面的交線，然后再證兩條直線的交點在此直線上，此外還可先將其中一

12、條直線看作某兩個平面的交線，證明該交線與另兩條直線分別交于兩點，再證點重合，從而得三線共點． 跟蹤訓練3　已知△ABC在平面α外，其三邊所在的直線滿足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如圖所示，求證：P，Q，R三點共線． 考點　平面的基本性質 題點　點共線、線共點、點在線上問題 證明　方法一　∵AB∩α＝P， ∴P∈AB，P∈平面α. 又AB平面ABC，∴P∈平面ABC. ∴由公理3可知：點P在平面ABC與平面α的交線上， 同理可證Q，R也在平面ABC與平面α的交線上． ∴P，Q，R三點共線． 方法二　∵AP∩AR＝A， ∴直線AP與直線AR確定平面APR.

13、 又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC平面APR. ∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR， ∴P，Q，R三點共線. 1．用符號表示“點A在直線l上，l在平面α外”，正確的是(　　) A．A∈l，l?α B．A∈l，l?α C．Al，l?α D．Al，l?α 考點　平面的概念、畫法及表示 題點　自然語言、符號語言與圖形語言的互化 答案　B 解析　∵點A在直線l上，∴A∈l.∵l在平面α外，∴l(xiāng)?α.故選B. 2．滿足下列條件，平面α∩平面β＝AB，直線aα，直線bβ且a∥AB

14、，b∥AB的圖形是(　　) 考點　平面的概念、畫法及表示 題點　自然語言、符號語言與圖形語言的互化 答案　D 3．下列推理錯誤的是(　　) A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?lα B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝AB C．l?α，A∈l?A?α D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共線?α與β重合 考點　平面的基本性質 題點　點共線、線共點、點在線上問題 答案　C 解析　當l?α，A∈l時，也有可能A∈α，如l∩α＝A，故C錯． 4．如圖，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C?l，直線AB∩l＝M，過A，B，C三點的平面記作γ，則

15、γ與β的交線必通過(　　) A．點A B．點B C．點C但不過點M D．點C和點M 考點　平面的基本性質 題點　點共線、線共點、點在線上問題 答案　D 解析　因為平面γ過A，B，C三點，M在直線AB上，所以γ與β的交線必通過點C和點M. 5.如圖，已知D，E是△ABC的邊AC，BC上的點，平面α經過D，E兩點，若直線AB與平面α的交點是P，則點P與直線DE的位置關系是________． 考點　平面的基本性質 題點　點共線、線共點、點在線上問題 答案　P∈直線DE 解析　因為P∈AB，AB平面ABC，所以P∈平面ABC. 又P∈α，平面ABC∩平面α＝D

16、E，所以P∈直線DE. 1．解決立體幾何問題首先應過好三大語言關，即實現(xiàn)這三種語言的相互轉換，正確理解集合符號所表示的幾何圖形的實際意義，恰當地用符號語言描述圖形語言，將圖形語言用文字語言描述出來，再轉換為符號語言．文字語言和符號語言在轉換的時候，要注意符號語言所代表的含義，作直觀圖時，要注意線的實虛． 2．在處理點線共面、三點共線及三線共點問題時初步體會三個公理的作用，突出先部分再整體的思想. 一、選擇題 1．下列有關平面的說法正確的是(　　) A．平行四邊形是一個平面 B．任何一個平面圖形都是一個平面 C．平靜的太平洋面就是一個平面 D．圓和平行四邊形都可以表示平面

17、 考點　平面的概念、畫法及表示 題點　平面概念的應用 答案　D 解析　我們用平行四邊形表示平面，但不能說平行四邊形就是一個平面，故A項不正確；平面圖形和平面是兩個概念，平面圖形是有大小的，而平面無法度量，故B項不正確；太平洋面是有邊界的，不是無限延展的，故C項不正確；在需要時，除用平行四邊形表示平面外，還可用三角形、梯形、圓等來表示平面，故D項正確． 2.如圖所示，用符號語言可表示為(　　) A．α∩β＝m，nα，m∩n＝A B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A C．α∩β＝m，nα，Am，An D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n 考點　平面的概念、畫法及表示

18、 題點　自然語言、符號語言與圖形語言的互化 答案　A 解析　α與β交于m，n在α內，m與n交于點A，注意符號語言的正確運用，故選A. 3．如果空間四點A，B，C，D不共面，那么下列判斷中正確的是(　　) A．A，B，C，D四點中必有三點共線 B．A，B，C，D四點中不存在三點共線 C．直線AB與CD相交 D．直線AB與CD平行 考點　平面的基本性質 題點　點共線、線共點、點在線上問題 答案　B 解析　兩條平行直線、兩條相交直線、直線及直線外一點都分別確定一個平面． 4．空間中四點可確定的平面有(　　) A．1個 B．3個 C．4個 D．1個或4個或無數個

19、 考點　平面的基本性質 題點　確定平面問題 答案　D 解析　當這四點共線時，可確定無數個平面；當這四點不共線且共面時，可確定一個平面；當這四點不共面時，其中任意三點可確定一個平面，此時可確定4個平面． 5．已知平面α與平面β，γ都相交，則這三個平面可能的交線有(　　) A．1條或2條 B．2條或3條 C．1條或3條 D．1條或2條或3條 考點　平面的基本性質 題點　點共線、線共點、點在線上問題 答案　D 解析　當三個平面兩兩相交且過同一直線時，它們有1條交線；當平面β和γ平行時，它們的交線有2條；當這三個平面兩兩相交且不過同一條直線時，它們有3條交線． 6．空間

20、四點A，B，C，D共面而不共線，那么這四點中(　　) A．必有三點共線 B．可能有三點共線 C．至少有三點共線 D．不可能有三點共線 考點　平面的基本性質 題點　點共線、線共點、點在線上問題 答案　B 解析　如圖(1)(2)所示，A，C，D均不正確，只有B正確． 7．在空間四邊形ABCD中，在AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點，如果GH，EF交于一點P，則(　　) A．P一定在直線BD上 B．P一定在直線AC上 C．P在直線AC或BD上 D．P既不在直線BD上，也不在AC上 考點　平面的基本性質 題點　點共線、線共點、點在線上問題 答案

21、　B 解析　由題意知GH平面ADC.因為GH，EF交于一點P，所以P∈平面ADC.同理，P∈平面ABC.因為平面ABC∩平面ADC＝AC，由公理3可知點P一定在直線AC上． 8．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為DB的中點，直線A1C交平面C1BD于點M，則下列結論錯誤的是(　　) A．C1，M，O三點共線 B．C1，M，O，C四點共面 C．C1，O，A，M四點共面 D．D1，D，O，M四點共面 考點　平面的基本性質 題點　點共線、線共點、點在線上問題 答案　D 解析　如圖所示，連接A1C1，AC，則AC∩BD＝O，A1C∩平面C1BD＝M，

22、 ∴三點C1，M，O在平面C1BD與平面ACC1A1的交線上，即C1，M，O三點共線， ∴選項A，B，C均正確，D不正確． 二、填空題 9．已知點A，直線a，平面α. ①A∈a，a∈α?A∈α；②A?a，aα?A?α；③A∈a，aα?Aα. 其中說法正確的個數是________． 考點　平面的概念、畫法及表示 題點　自然語言、符號語言與圖形語言的互化 答案　0 解析?、僦小癮∈α”符號不對；②中A可以在α內，也可在α外，故不正確；③中“Aα”符號錯． 10．若直線l上有兩個點在平面α內，則下列說法中正確的序號為________． ①直線l上至少有一個點在平面α

23、外； ②直線l上有無窮多個點在平面α外； ③直線l上所有點都在平面α內； ④直線l上至多有兩個點在平面α內 考點　平面的基本性質 題點　線共面問題 答案?、? 11．空間兩兩相交的三條直線，可以確定的平面數是______． 考點　平面的基本性質 題點　確定平面問題 答案　1或3 解析　若三條直線兩兩相交共有三個交點，則確定1個平面；若三條直線兩兩相交且交于同一點時，可以確定3個平面或1個平面． 12．若直線l與平面α相交于點O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，則O，C，D三點的位置關系是________． 考點　平面的基本性質 題點　點共線、線共點、點在線上問題

24、 答案　三點共線 解析　∵AC∥BD， ∴AC與BD確定一個平面， 記作平面β，則α∩β＝CD. ∵l∩α＝O，∴O∈α， 又∵O∈AB，ABβ， ∴O∈β，∴O∈直線CD， ∴O，C，D三點共線． 三、解答題 13．已知a，b，c，d是兩兩相交且不共點的四條直線，求證：直線a，b，c，d共面． 考點　平面的基本性質 題點　線共面問題 證明　(1)無三線共點情況，如圖所示，設a∩d＝M，b∩d＝N，c∩d＝P，a∩b＝Q，a∩c＝R，b∩c＝S， ∵a∩d＝M，∴a，d可以確定一個平面α， ∵N∈d，Q∈a，∴N∈α，Q∈α， ∴NQα，即bα，同

25、理cα，∴a，b，c，d共面． (2)有三線共點的情況，如圖所示， 設b，c，d三線相交于點K，與直線a分別相交于點N，P，M且K?a， ∵K?a，∴K和a確定一個平面， 設為β. ∵N∈a，aβ，∴N∈β，∴NKβ， 即bβ，同理cβ，dβ，∴a，b，c，d共面， 由(1)(2)可知a，b，c，d共面． 四、探究與拓展 14．如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構成一個“正交線面對”．在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“正交線面對”的個數是________． 考點　平面的基本性質 題點　平面基本性質的其他簡單應用

26、答案　36 解析　正方體的一條棱長對應著2個“正交線面對”，12條棱長共對應著24個“正交線面對”；正方體的一條面對角線對應著1個“正交線面對”，12條面對角線對應著12個“正交線面對”，共有36個． 15．已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q. 求證：(1)D，B，F(xiàn)，E四點共面； (2)若A1C交平面DBFE于點R，則P，Q，R三點共線． 考點　平面的基本性質 題點　點共線、線共點、點在線上問題 證明　如圖． (1)因為EF是△D1B1C1的中位線，所以EF∥B1D1， 在正方體AC1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD確定一個平面，即D，B，F(xiàn)，E四點共面． (2)在正方體AC1中， 設平面A1ACC1為α，平面BDEF為β. 因為Q∈A1C1，所以Q∈α，又Q∈EF，所以Q∈β， 則Q是α與β的公共點， 同理，P點也是α與β的公共點，所以α∩β＝PQ. 又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，所以R∈α，且R∈β， 故R∈PQ.所以P，Q，R三點共線． 14