《2022年人教A版高中數(shù)學 高三一輪(文) 第三章 3-2同角三角函數(shù)的基本關系式與誘導公式《教案》》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《2022年人教A版高中數(shù)學 高三一輪(文) 第三章 3-2同角三角函數(shù)的基本關系式與誘導公式《教案》(14頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022年人教A版高中數(shù)學 高三一輪(文) 第三章 3-2同角三角函數(shù)的基本關系式與誘導公式《教案》
1.同角三角函數(shù)的基本關系
(1)平方關系:sin2α+cos2α=1.
(2)商數(shù)關系:=tan α.
2.下列各角的終邊與角α的終邊的關系
角
2kπ+α(k∈Z)
π+α
-α
圖示
與角α
終邊的
關系
相同
關于原點對稱
關于x軸對稱
角
π-α
-α
+α
圖示
與角α
終邊的
關系
關于y軸對稱
關于直線y=x對稱
3.六組誘導公式
組數(shù)
一
二
三
四
五
六
角
2kπ+α(
2、k∈Z)
-α
π-α
π+α
-α
+α
正弦
sin α
-sin α
sin α
-sin α
cos α
cos α
余弦
cos α
cos α
-cos α
-cos α
sin α
-sin α
正切
tan α
-tan α
-tan α
tan α
口訣
函數(shù)名不變
符號看象限
函數(shù)名改變
符號看象限
【思考辨析】
判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)sin(π+α)=-sin α成立的條件是α為銳角.( × )
(2)六組誘導公式中的角α可以是任意角.( × )
(3)
3、若cos(nπ-θ)=(n∈Z),則cos θ=.( × )
(4)已知sin θ=,cos θ=,其中θ∈[,π],則m<-5或m≥3.( × )
(5)已知θ∈(0,π),sin θ+cos θ=,則tan θ的值為-或-.( × )
(6)已知tan α=-,則的值是-.( √ )
1.已知α是第二象限角,sin α=,則cos α= .
答案?。?
解析 ∵sin α=,α是第二象限角,
∴cos α=-=-.
2.已知sin(π-α)=log8,且α∈(-,0),則tan(2π-α)的值為 .
答案
解析 sin(π-α)=sin
4、α=log8=-,
又α∈(-,0),
得cos α==,
tan(2π-α)=tan(-α)=-tan α
=-=.
3.已知cos=,則sin= .
答案 -
解析 sin=sin
=-sin
=-cos=-.
4.已知函數(shù)f(x)=則f[f(2 015)]= .
答案?。?
解析 ∵f[f(2 015)]=f(2 015-15)=f(2 000),
∴f(2 000)=2cos=2cos π=-1.
題型一 同角三角函數(shù)關系的應用
例1 (1)已知cos(π+x)=,x∈(π,2π),則tan x= .
(2)
5、已知=5,則sin2α-sin αcos α的值是 .
答案 (1) (2)
解析 (1)∵cos(π+x)=-cos x=,∴cos x=-.
又x∈(π,2π),
∴sin x=-=-=-,
∴tan x==.
(2)由=5,得=5,
即tan α=2,
∴sin2α-sin αcos α===.
思維升華 (1)利用sin2α+cos2α=1可以實現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化,利用=tan α可以實現(xiàn)角α的弦切互化.
(2)應用公式時注意方程思想的應用:對于sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α這三個式子,利用(sin α±co
6、s α)2=1±2sin αcos α,可以知一求二.
(3)注意公式逆用及變形應用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.
(1)已知=-,那么的值是 .
(2)已知tan θ=2,則sin θcos θ= .
答案 (1) (2)
解析 (1)由于·==-1,
故=.
(2)sin θcos θ=
===.
題型二 誘導公式的應用
例2 (1)已知cos=,求cos的值;
(2)已知π<α<2π,cos(α-7π)=-,求sin(3π+α)·tan的值.
思維點撥 (1)將+α看作一個整體,
7、觀察+α與-α的關系.
(2)先化簡已知,求出cos α的值,然后化簡結(jié)論并代入求值.
解 (1)∵+=π,
∴-α=π-.
∴cos=cos
=-cos=-,
即cos=-.
(2)∵cos(α-7π)=cos(7π-α)
=cos(π-α)=-cos α=-,
∴cos α=.
∴sin(3π+α)·tan
=sin(π+α)·
=sin α·tan
=sin α·
=sin α·=cos α=.
思維升華 熟練運用誘導公式和同角三角函數(shù)基本關系,并確定相應三角函數(shù)值的符號是解題的關鍵.另外,切化弦是常用的規(guī)律技巧.
(1)已知sin=,則cos的值為
8、 .
(2)已知sin α是方程5x2-7x-6=0的根,α是第三象限角,則·tan2(π-α)= .
答案 (1)- (2)-
解析 (1)cos=cos
=-sin=-.
(2)∵方程5x2-7x-6=0的根為-或2,
又α是第三象限角,∴sin α=-,
∴cos α=-=-,
∴tan α===,
∴原式=·tan2α=-tan2α=-.
題型三 三角函數(shù)式的求值與化簡
例3 (1)已知α為銳角,且有2tan(π-
9、α)-3cos(+β)+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0,則sin α的值是 .
(2)已知α是三角形的內(nèi)角,且sin α+cos α=,則tan α= .
答案 (1) (2)-
解析 (1)2tan(π-α)-3cos(+β)+5=0化簡為
-2tan α+3sin β+5=0,①
tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0化簡為
tan α-6sin β-1=0.②
由①②消去sin β,
解得tan α=3.
又α為銳角,根據(jù)sin2α+cos2α=1,
解得sin α=.
(2)因為sin α+cos α=,
10、所以(sin α+cos α)2=1+2sin α·cos α=()2,
即2sin α·cos α=-,
所以(sin α-cos α)2=1-2sin α·cos α=1+=,
又2sin α·cos α=-<0,0<α<π,
所以sin α>0,cos α<0,即sin α-cos α>0,
故sin α-cos α==,
由得
所以tan α=-.
思維升華 在三角函數(shù)式的求值與化簡中,要注意尋找式子中的角,函數(shù)式子的特點和聯(lián)系,可以切化弦,約分或抵消,減少函數(shù)種類,對式子進行化簡.
(1)若α為三角形的一個內(nèi)角,且sin α+cos α=,則這個三角形是
11、 三角形(填“銳角”“直角”“鈍角”).
(2)已知tan α=2,sin α+cos α<0,
則= .
答案 (1)鈍角 (2)-
解析 (1)∵(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=,
∴sin αcos α=-<0,∴α為鈍角.
∴此三角形為鈍角三角形.
(2)原式==sin α,
∵tan α=2>0,∴α為第一象限角或第三象限角.
又sin α+cos α<0,∴α為第三象限角,
由tan α==2,
得sin α=2cos α代入sin2α+cos2α=1,
解得sin α=-.
分類討論思想在三角函數(shù)求值化簡中
12、的應用
典例:(1)已知A=+(k∈Z),則A的值構(gòu)成的集合是 .
(2)在△ABC中,若sin(2π-A)=-sin(π-B),cos A=-cos(π-B),則C= .
思維點撥 (1)角中含有整數(shù)k,應對k是奇數(shù)還是偶數(shù)進行討論;(2)利用同角三角函數(shù)基本關系式的平方關系時,要對開方的結(jié)果進行討論.
解析 (1)當k為偶數(shù)時,A=+=2;
k為奇數(shù)時,A=-=-2.
∴A的值構(gòu)成的集合是{2,-2}.
(2)由已知得
①2+②2得2cos2A=1,即cos A=±,
當cos A=時,cos B=,
又A、B是三角形的內(nèi)角,
∴A=,B=
13、,
∴C=π-(A+B)=π.
當cos A=-時,cos B=-.
又A、B是三角形的內(nèi)角,∴A=π,B=π,不合題意.
綜上,C=π.
答案 (1){2,-2} (2)π
溫馨提醒 (1)本題在三角函數(shù)的求值化簡過程中,體現(xiàn)了分類討論思想,即使討論的某種情況不合題意,也不能省略討論的步驟;(2)三角形中的三角函數(shù)問題,要注意隱含條件的挖掘及三角形內(nèi)角和定理的應用.
方法與技巧
同角三角函數(shù)基本關系是三角恒等變形的基礎,主要是變名、變式.
1.同角關系及誘導公式要注意象限角對三角函數(shù)符號的影響,尤其是利用平方關系在求三角函數(shù)值時,進行開方時要根據(jù)角的象限或范圍,判斷符號
14、后,正確取舍.
2.三角求值、化簡是三角函數(shù)的基礎,在求值與化簡時,常用方法有:(1)弦切互化法:主要利用公式tan x=化成正弦、余弦函數(shù);(2)和積轉(zhuǎn)換法:如利用(sin θ±cos θ)2=1±2sin θcos θ的關系進行變形、轉(zhuǎn)化;(3)巧用“1”的變換:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=sin2θ=tan=….
失誤與防范
1.利用誘導公式進行化簡求值時,先利用公式化任意角的三角函數(shù)為銳角三角函數(shù),其步驟:去負—脫周—化銳.
特別注意函數(shù)名稱和符號的確定.
2.在利用同角三角函數(shù)的平方關系時,若開方,要特別注意判斷符號.
3.注意求值與化簡后的
15、結(jié)果一般要盡可能有理化、整式化.
A組 專項基礎訓練
(時間:40分鐘)
1.α是第四象限角,tan α=-,則sin α= .
答案?。?
解析 ∵tan α==-,∴cos α=-sin α,
又sin2α+cos2α=1,
∴sin2α+sin2α=sin2α=1.
又sin α<0,∴sin α=-.
2.若sin=,則cos= .
答案?。?
解析 ∵+=,
∴sin=sin
=cos=.
則cos=2cos2-1=-.
3.已知sin(π-α)=-2sin(+α),則sin α·cos α= .
答案?。?
16、解析 由sin(π-α)=-2sin(+α)得sin α=-2cos α,
所以tan α=-2,
所以sin α·cos α===-.
4.已知f(α)=,則f的值為 .
答案
解析 ∵f(α)==cos α,
∴f=cos
=cos=cos =.
5.函數(shù)y=3cos(x+φ)+2的圖象關于直線x=對稱,則φ的取值是 .
答案 kπ-(k∈Z)
解析 ∵y=cos x+2的對稱軸為x=kπ(k∈Z),
∴x+φ=kπ(k∈Z),即x=kπ-φ(k∈Z),令=kπ-φ(k∈Z)得φ=kπ-(k∈Z).
6.如果sin α=,且α為第二象限
17、角,則sin= .
答案
解析 ∵sin α=,且α為第二象限角,
∴cos α=-=-=-,
∴sin=-cos α=.
7.已知α為鈍角,sin(+α)=,則sin(-α)= .
答案?。?
解析 由題意可得cos(+α)=±,又因為α為鈍角,所以cos(+α)=-,所以sin(-α)=cos[-(-α)]=cos(+α)=-.
8.化簡:= .
答案 1
解析 原式===1.
9.已知sin θ=,<θ<π.
(1)求tan θ的值;
(2)求的值.
解 (1)∵sin2
18、θ+cos2θ=1,∴cos2θ=.
又<θ<π,∴cos θ=-.
∴tan θ==-.
(2)由(1)知,==-.
10.已知sin θ,cos θ是關于x的方程x2-ax+a=0(a∈R)的兩個根,求cos3(-θ)+sin3(-θ)的值.(已知:a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2))
解 由已知原方程的判別式Δ≥0,即(-a)2-4a≥0,
∴a≥4或a≤0.
又∵
∴(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ,
則a2-2a-1=0,從而a=1-或a=1+(舍去),
因此sin θ+cos θ=sin θcos θ=1-.
∴cos3(-θ)
19、+sin3(-θ)=sin3θ+cos3θ
=(sin θ+cos θ)(sin2θ-sin θcos θ+cos2θ)
=(1-)[1-(1-)]=-2.
B組 專項能力提升
(時間:25分鐘)
1.已知sin θ=-,θ∈(-,),則sin(θ-5π)sin(π-θ)的值是 .
答案 -
解析 ∵sin θ=-,θ∈(-,),
∴cos θ==.
∴原式=-sin(π-θ)·(-cos θ)=sin θcos θ
=-×=-.
2.已知2tan α·sin α=3,-<α<0,則sin α= .
答案 -
解析 由2tan α·sin
20、α=3得,=3,
即2cos2α+3cos α-2=0,
又-<α<0,
解得cos α=(cos α=-2舍去),
故sin α=-.
3.已知角θ的頂點在坐標原點,始邊與x軸正半軸重合,終邊在直線2x-y=0上,則= .
答案 2
解析 由題意可得tan θ=2,
原式===2.
4.已知cos=a (|a|≤1),則cos+sin的值是 .
答案 0
解析 cos=cos
=-cos=-a.
sin=sin=cos=a,
∴cos+sin=0.
5.(1)已知tan α=,求的值;
(2)化簡:.
解 (1)因為tan α=,
所以=
==.
(2)原式=
===-1.
6.已知f(x)=(n∈Z).
(1)化簡f(x)的表達式;
(2)求f()+f()的值.
解 (1)當n為偶數(shù),即n=2k(k∈Z)時,
f(x)=
=
=
=sin2x;
當n為奇數(shù),即n=2k+1(k∈Z)時,
f(x)=
=
=
=
=sin2x,
綜上得f(x)=sin2x.
(2)由(1)得f()+f()
=sin2+sin2
=sin2+sin2(-)
=sin2+cos2=1.