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1、2022年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫 第八章 第7節(jié) 拋物線 理（含解析） 1．（xx湖南，5分）如圖，正方形ABCD和正方形DEFG的邊長分別為a，b(a0)經(jīng)過C，F(xiàn)兩點(diǎn)，則＝________. 解析：由正方形的定義可知BC＝CD，結(jié)合拋物線的定義得點(diǎn)D為拋物線的焦點(diǎn)，所以|AD|＝p＝a，D，F(xiàn)，將點(diǎn)F的坐標(biāo)代入拋物線的方程得b2＝2p＝a2＋2ab，變形得2－－1＝0，解得＝1＋或＝1－(舍去)，所以＝1＋. 答案：1＋ 2．（xx新課標(biāo)全國Ⅰ，5分）已知拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C

2、的一個(gè)交點(diǎn)，若＝4，則|QF|＝(　　) A. B. C．3 D．2 解析：過點(diǎn)Q作QQ′⊥l交l于點(diǎn)Q′，因?yàn)椋?，所以|PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為4，所以|QF|＝|QQ′|＝3.故選C. 答案：C 3．（xx新課標(biāo)全國Ⅱ，5分）設(shè)F為拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為(　　) A. B. C. D. 解析：易知拋物線中p＝，焦點(diǎn)F，直線AB的斜率k＝，故直線AB的方程為y＝，代入拋物線方程y2＝3x，整理得x2－x＋＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2

3、)，則x1＋x2＝.由拋物線的定義可得弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12，結(jié)合圖象可得O到直線AB的距離d＝·sin 30°＝，所以△OAB的面積S＝|AB|·d＝. 答案：D 4．（xx遼寧，5分）已知點(diǎn)A(－2,3)在拋物線C：y2＝2px的準(zhǔn)線上，過點(diǎn)A的直線與C在第一象限相切于點(diǎn)B，記C的焦點(diǎn)為F，則直線BF的斜率為(　　) A. B. C. D. 解析：∵A(－2,3)在拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線上，∴－＝－2，∴p＝4，∴y2＝8x，設(shè)直線AB的方程為x＝k(y－3)－2?、?，將①與y2＝8x聯(lián)立，即得y2－8ky＋24k＋16＝0?、?，則Δ＝(－8k)

4、2－4(24k＋16)＝0，即2k2－3k－2＝0，解得k＝2或k＝－(舍去)，將k＝2代入①②解得，即B(8，8)，又F(2,0)，∴kBF＝＝，故選D. 答案：D 5．（xx山東，14分）已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，A為C上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線l交C于另一點(diǎn)B，交x軸的正半軸于點(diǎn)D，且有|FA|＝|FD|.當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3時(shí)，△ADF為正三角形． (1)求C的方程； (2)若直線l1∥l，且l1和C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)E， ①證明直線AE過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)； ②△ABE的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由． 解：

5、由題意知F. 設(shè)D(t,0)(t>0)，則FD的中點(diǎn)為. 因?yàn)閨FA|＝|FD|，由拋物線的定義知3＋＝， 解得t＝3＋p或t＝－3(舍去)． 由＝3，解得p＝2. 所以拋物線C的方程為y2＝4x. (2)①由(1)知F(1,0)， 設(shè)A(x0，y0)(x0y0≠0)，D(xD,0)(xD>0)， 因?yàn)閨FA|＝|FD|，則|xD－1|＝x0＋1， 由xD>0得xD＝x0＋2，故D(x0＋2,0)． 故直線AB的斜率kAB＝－. 因?yàn)橹本€l1和直線AB平行， 設(shè)直線l1的方程為y＝－x＋b， 代入拋物線方程得y2＋y－＝0， 由題意Δ＝＋＝0，得b＝－. 設(shè)E(x

6、E，yE)，則yE＝－，xE＝. 當(dāng)y≠4時(shí)，kAE＝＝－＝， 可得直線AE的方程為y－y0＝(x－x0)， 由y＝4x0，整理可得y＝(x－1)，直線AE恒過點(diǎn)F(1,0)．當(dāng)y＝4時(shí)，直線AE的方程為x＝1，過點(diǎn)F(1，0)，所以直線AE過定點(diǎn)F(1,0)． ②由①知直線AE過焦點(diǎn)F(1,0)， 所以|AE|＝|AF|＋|FE|＝(x0＋1)＋＝x0＋＋2. 設(shè)直線AE的方程為x＝my＋1， 因?yàn)辄c(diǎn)A(x0，y0)在直線AE上，故m＝. 設(shè)B(x1，y1)．直線AB的方程為y－y0＝－(x－x0)， 由于y0≠0，可得x＝－y＋2＋x0， 代入拋物線方程得y2＋y－8－

7、4x0＝0. 所以y0＋y1＝－，可求得y1＝－y0－，x1＝＋x0＋4. 所以點(diǎn)B到直線AE的距離為 d＝＝＝ 4. 則△ABE的面積S＝×4x0＋＋2≥16，當(dāng)且僅當(dāng)＝x0，即x0＝1時(shí)等號(hào)成立． 所以△ABE的面積的最小值為16. 6．（xx陜西，13分）如圖，曲線C由上半橢圓C1：＋＝1(a>b>0，y≥0)和部分拋物線C2：y＝－x2＋1(y≤0)連接而成，C1與C2的公共點(diǎn)為A，B，其中C1的離心率為. (1)求a，b的值； (2)過點(diǎn)B的直線l與C1，C2分別交于點(diǎn)P，Q(均異于點(diǎn)A，B)，若AP⊥AQ，求直線l的方程． 解：(1)在C1，C2的方程中，令

8、y＝0，可得b＝1，且A(－1，0)，B(1,0)是上半橢圓C1的左、右頂點(diǎn)． 設(shè)C1的半焦距為c，由＝及a2－c2＝b2＝1得a＝2. ∴a＝2，b＝1. (2)由(1)知，上半橢圓C1的方程為＋x2＝1(y≥0)． 易知，直線l與x軸不重合也不垂直，設(shè)其方程為y＝k(x－1)(k≠0)， 代入C1的方程，整理得 (k2＋4)x2－2k2x＋k2－4＝0.　(*) 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xP，yP)， ∵直線l過點(diǎn)B，∴x＝1是方程(*)的一個(gè)根． 由根與系數(shù)的關(guān)系，得xP＝，從而yP＝， ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為. 同理，由 得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(－k－1，－k2－2k)． ∴＝(k，

9、－4)，＝－k(1，k＋2)． ∵AP⊥AQ，∴·＝0，即[k－4(k＋2)]＝0， ∵k≠0，∴k－4(k＋2)＝0，解得k＝－. 經(jīng)檢驗(yàn)，k＝－符合題意， 故直線l的方程為y＝－(x－1)． 7．（xx新課標(biāo)全國Ⅱ，5分）設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，|MF|＝5.若以MF為直徑的圓過點(diǎn)(0,2)，則C的方程為(　　) A．y2＝4x或y2＝8x　　　　　　　　　 B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x 解析：本題考查拋物線與圓的有關(guān)知識(shí)，意在考查考生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力． 由

10、已知得拋物線的焦點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)A(0,2)，拋物線上點(diǎn)M(x0，y0)，則＝，＝.由已知得，·＝0，即y－8y0＋16＝0，因而y0＝4，M. 由|MF|＝5得， ＝5，又p＞0，解得p＝2或p＝8，故選C. 答案： C 8．（xx北京，5分）若拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，則p＝________，準(zhǔn)線方程為________． 解析：本題主要考查拋物線的方程及其簡單的幾何性質(zhì)，意在考查考生的運(yùn)算求解能力． 因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，所以＝1，p＝2，準(zhǔn)線方程為x＝－＝－1. 答案：2　x＝－1 9．（xx江西，5分）拋物線x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與

11、雙曲線－＝1相交于A，B兩點(diǎn)，若△ABF為等邊三角形，則p＝________. 解析：本題考查拋物線、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單的幾何性質(zhì)，意在考查考生的數(shù)形結(jié)合思想以及轉(zhuǎn)化與化歸的能力．由x2＝2py(p>0)得焦點(diǎn)F，準(zhǔn)線l為y＝－，所以可求得拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線－＝1的交點(diǎn)A，B，所以|AB|＝ ，則|AF|＝|AB|＝ ，所以＝sin ，即＝，解得p＝6. 答案：6 10．（xx湖南，13分）過拋物線E：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)F作斜率分別為k1，k2的兩條不同直線l1，l2，且k1＋k2＝2，l1與E相交于點(diǎn)A，B，l2與E相交于點(diǎn)C，D，以AB，CD為直徑的圓M，圓N(M，N

12、為圓心)的公共弦所在直線記為l. (1)若k1>0，k2>0，證明：·<2p2； (2)若點(diǎn)M到直線l的距離的最小值為，求拋物線E的方程． 解：本小題主要考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何意義，圓的方程及兩圓的公共弦的求法，點(diǎn)到直線的距離公式，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，向量的數(shù)量積，基本不等式的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值的求法，考查運(yùn)算求解能力和函數(shù)方程思想、轉(zhuǎn)化化歸思想和數(shù)形結(jié)合思想．屬難題． (1)由題意，拋物線E的焦點(diǎn)為F， 直線l1的方程為y＝k1x＋. 由得x2－2pk1x－p2＝0. 設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則x1，x2是上述方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根

13、．從而x1＋x2＝2pk1，y1＋y2＝k1(x1＋x2)＋p＝2pk＋p. 所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為，＝(pk1，pk)． 同理可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為，＝(pk2，pk)． 于是·＝p2(k1k2＋kk)． 由題設(shè)，k1＋k2＝2，k1>0，k2>0，k1≠k2， 所以0

14、圓N的方程為 x2＋y2－2pk2x－p(2k＋1)y－p2＝0. 于是圓M，圓N的公共弦所在直線l的方程為 (k2－k1)x＋(k－k)y＝0. 又k2－k1≠0，k1＋k2＝2，則l的方程為x＋2y＝0. 因?yàn)閜>0，所以點(diǎn)M到直線l的距離 d＝＝ ＝. 故當(dāng)k1＝－時(shí)，d取最小值.由題設(shè)，＝，解得p＝8. 故所求的拋物線E的方程為x2＝16y. 11．（xx山東，5分）已知雙曲線C1：－＝1(a>0，b>0)的離心率為2.若拋物線C2：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為(　　) A．x2＝y(tǒng)　　　　　　　　　　　　 B．

15、x2＝y(tǒng) C．x2＝8y D．x2＝16y 解析：雙曲線的漸近線方程為y＝±x，由于＝＝ ＝2，所以＝，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±x.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)，所以＝2，所以p＝8，所以拋物線方程為x2＝16y. 答案：D 12．（2011新課標(biāo)全國，5分）已知直線l過拋物線C的焦點(diǎn)，且與C的對(duì)稱軸垂直，l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝12，P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則△ABP的面積為(　　) A．18 B．24 C．36 D．48 解析：設(shè)拋物線方程為y2＝2px，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，將x＝代入y2＝2px可得y2＝p2，|AB|＝12，即2p＝12，∴p＝6.點(diǎn)

16、P在準(zhǔn)線上，到AB的距離為p＝6，所以△PAB的面積為×6×12＝36. 答案：C 13．（2011遼寧，5分）已知F是拋物線y2＝x的焦點(diǎn)，A，B是該拋物線上的兩點(diǎn)，|AF|＋|BF|＝3，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為(　　) A. B．1 C. D. 解析：根據(jù)拋物線定義與梯形中位線定理，得線段AB中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為：(|AF|＋|BF|)－＝－＝. 答案：C 14．（xx天津，5分）已知拋物線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，其中p>0，焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.過拋物線上一點(diǎn)M作l的垂線，垂足為E.若|EF|＝|MF|，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是3，則p＝________.　 解析：由

17、題意知，拋物線的普通方程為y2＝2px(p>0)，焦點(diǎn)F(，0)，準(zhǔn)線x＝－，設(shè)準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為A.由拋物線定義可得|EM|＝|MF|，所以△MEF是正三角形，在直角三角形EFA中，|EF|＝2|FA|，即3＋＝2p，得p＝2. 答案：2 15.（xx陜西，5分）右圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米．水位下降1米后，水面寬______米． 解析：以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為x2＝－2py，則點(diǎn)(2，－2)在拋物線上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.當(dāng)y＝－3時(shí)，x2＝6，所以水面寬為2. 答案：2 16．（xx浙江，4

18、分）設(shè)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(0,2)．若線段FA的中點(diǎn)B在拋物線上，則B到該拋物線準(zhǔn)線的距離為________． 解析：拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(，0)，線段FA的中點(diǎn)B的坐標(biāo)為(，1)，代入拋物線方程得1＝2p×， 解得p＝，故點(diǎn)B的坐標(biāo)為(，1)，故點(diǎn)B到該拋物線準(zhǔn)線的距離為＋＝. 答案： 17．(2011新課標(biāo)全國，12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(0，－1)，B點(diǎn)在直線y＝－3上，M點(diǎn)滿足∥，·＝·，M點(diǎn)的軌跡為曲線C. (1)求C的方程； (2)P為C上的動(dòng)點(diǎn)，l為C在P點(diǎn)處的切線，求O點(diǎn)到l距離的最小值． 解：(1)設(shè)M(x，y)，由已知得B(x，－3)，A(0，－1)． 所以＝(－x，－1－y)，＝(0，－3－y)， ＝(x，－2)． 再由題意可知(＋)·＝0， 即(－x，－4－2y)·(x，－2)＝0 所以曲線C的方程為y＝x2－2. (2)設(shè)P(x0，y0)為曲線C：y＝x2－2上一點(diǎn)，因?yàn)閥 ′＝x，所以l的斜率為x0. 因此直線l的方程為y－y0＝x0(x－x0)， 即x0x－2y＋2y0－x＝0. 則O點(diǎn)到l的距離d＝.又y0＝x－2，所以 d＝＝(＋)≥2， 當(dāng)x0＝0時(shí)取等號(hào)，所以O(shè)點(diǎn)到l距離的最小值為2.