《（江蘇專用版 ）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 4.2.2 第1課時(shí) 直線和圓的極坐標(biāo)方程學(xué)案 蘇教版選修4-4》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專用版 ）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 4.2.2 第1課時(shí) 直線和圓的極坐標(biāo)方程學(xué)案 蘇教版選修4-4（7頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第1課時(shí)　直線和圓的極坐標(biāo)方程 1．會求極坐標(biāo)系中直線和圓的極坐標(biāo)方程． 2．進(jìn)一步體會求簡單曲線的極坐標(biāo)方程的基本方法． 3．進(jìn)一步體會極坐標(biāo)的特點(diǎn)，感受極坐標(biāo)方程的美． [基礎(chǔ)·初探] 1．直線的極坐標(biāo)方程 若直線l經(jīng)過點(diǎn)M(ρ0，θ0)，且直線l的傾斜角為α，則此直線的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 幾種常見直線的極坐標(biāo)方程： 圖4-2-1 2．圓的極坐標(biāo)方程 若圓心的坐標(biāo)為M(ρ0，θ0)，圓的半徑為r，則圓的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0. 幾種常見圓的極坐標(biāo)方程 圖4-2-2 [

2、思考·探究] 1．求直線和圓的極坐標(biāo)方程的關(guān)鍵是什么？ 【提示】　求直線和圓的極坐標(biāo)方程關(guān)鍵是將已知條件表示成ρ和θ之間的關(guān)系式．這一過程需要用到解三角形的知識．用極角和極徑表示三角形的內(nèi)角和邊是解決這個(gè)問題的一個(gè)難點(diǎn)．直線和圓的極坐標(biāo)方程也可以用直角坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化而來． 2．直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互化時(shí)有哪些注意事項(xiàng)？ 【提示】　(1)由直角坐標(biāo)求極坐標(biāo)時(shí)，理論上不是惟一的，但一般約定只在規(guī)定范圍內(nèi)求值； (2)由直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程，最后要化簡； (3)由極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程時(shí)要注意變形的等價(jià)性，通常總要用ρ去乘方程的兩端． [質(zhì)疑·手記] 預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄

3、，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑問2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 求直線的極坐標(biāo)方程 　求：(1)過A且平行于極軸的直線；(2)過A且和極軸成的直線．

4、 【自主解答】　(1)如圖1所示，在所求直線上任意取點(diǎn)M(ρ，θ)，過M作MH⊥Ox于H，連OM. ∵A，∴MH＝2·sin＝，在Rt△OMH中，MH＝OMsin θ，即ρsin θ＝，所以，過A平行于極軸的直線方程為ρsin θ＝. 圖1　　　　　　　　　圖2 (2)如圖2所示，在所求直線上任取一點(diǎn)M(ρ，θ)， ∵A，∴OA＝3，∠AOB＝，由已知∠ABx＝，所以∠OAB＝－＝， ∴∠OAM＝π－＝. 又∠OMA＝∠MBx－θ＝－θ，在△MOA中，根據(jù)正弦定理得＝. ∵sin＝sin＝. 將sin展開，化簡上面的方程，可得 ρ(cos θ＋sin θ)＝＋. 所以，

5、過A且和極軸成的直線方程為 ρ(cos θ＋sin θ)＝＋. [再練一題] 1．設(shè)P，直線l過P點(diǎn)且傾斜角為，求直線l的極坐標(biāo)方程． 【導(dǎo)學(xué)號：98990012】 【解】　如圖所示，設(shè)M(ρ，θ)(ρ≥0)為直線l上除P點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，極點(diǎn)為O，連接OM，OP，該直線交Ox于點(diǎn)A， 則有OM＝ρ，OP＝2， ∠MOP＝|θ－|，∠OPM＝， 所以O(shè)Mcos∠MOP＝OP， 即ρcos|θ－|＝2，即ρcos(θ－)＝2，顯然點(diǎn)P也在這條直線上． 故所求直線的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ－)＝2. 求圓的極坐標(biāo)方程 　(1)求以B為圓心，3為半徑的圓． (2)求以

6、極點(diǎn)和點(diǎn)N所連線段為直徑的圓的極坐標(biāo)方程． 【自主解答】　(1)∵圓心為B(3，)，半徑為3. ∴所求圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝6sin θ. (2)如圖，設(shè)M(ρ，θ)為 圓上任一點(diǎn)， 則有ONcos∠NOM＝OM， 即ρ＝2cos就是所求圓的極坐標(biāo)方程． [再練一題] 2．求以C(4,0)為圓心，半徑等于4的圓的極坐標(biāo)方程． 【解】　如圖所示，由題設(shè)可知，這個(gè)圓經(jīng)過極點(diǎn)，圓心在極軸上，設(shè)圓與極軸的另一個(gè)交點(diǎn)是A，在圓上任取一點(diǎn)P(ρ，θ)，連接OP，PA， 在Rt△OPA中，OA＝8，OP＝ρ，∠AOP＝θ， ∴OA·cos θ＝ρ，即8cos θ＝ρ，即ρ＝8co

7、s θ就是圓C的極坐標(biāo)方程. 極坐標(biāo)的應(yīng)用 　在極坐標(biāo)系中，已知圓ρ＝2cos θ與直線3ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0相切，求實(shí)數(shù)a的值． 【思路探究】　將圓ρ＝2cos θ與直線3ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0化為普通方程后求解． 【自主解答】　∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ， 圓的普通方程為：x2＋y2＝2x，(x－1)2＋y2＝1， 直線3ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0的普通方程為：3x＋4y＋a＝0， 又∵圓與直線相切，∴＝1， 解得：a＝2，或a＝－8. 理解極坐標(biāo)的概念，能進(jìn)行極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，根據(jù)條件建立相應(yīng)曲線的極

8、坐標(biāo)方程． [再練一題] 3．已知圓C1：ρ＝2cos θ，圓C2：ρ2－2ρsin θ＋2＝0，試判斷這兩個(gè)圓的位置關(guān)系． 【解】　法一　圓C1是圓心C1(1,0)，半徑r1＝1的圓． 化圓C2為極坐標(biāo)系下圓的一般方程為ρ2－2ρ·cos＋()2－12＝0， 得：12＝ρ2＋()2－2ρ·cos(θ－)． 知圓心C2(，)，半徑為r2＝1， C1C2的距離為2，則⊙C1與⊙C2外切． 法二　將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程． ⊙C1：ρ2＝2ρcos θ，即x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1， 圓心C1(1,0)，半徑r1＝1. ⊙C2：x2＋y2－2y＋2＝0

9、，即x2＋(y－)2＝1. 圓心C2(0，)，半徑r2＝1，C1C2＝2＝1＋1＝r1＋r2， 故⊙C1與⊙C2外切． [真題鏈接賞析] 　(教材第32頁習(xí)題4.2第2題)按下列條件寫出圓的極坐標(biāo)方程： (1)以A(2,0)為圓心，2為半徑的圓； (2)以B為圓心，4為半徑的圓； (3)以C(5，π)為圓心，且過極點(diǎn)的圓； (4)以D為圓心，1為半徑的圓． 在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1：x＝－2，圓C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． (1)求C1，C2的極坐標(biāo)方程； (2)若直線C3的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)，設(shè)C

10、2與C3的交點(diǎn)為M，N，求△C2MN的面積． 【命題意圖】　本題考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)化及極坐標(biāo)的應(yīng)用，考查知識的轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力和轉(zhuǎn)化應(yīng)用意識． 【解】　(1)因?yàn)閤＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以C1的極坐標(biāo)方程為ρcos θ＝－2，C2的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)將θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得 ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝. 故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝. 由于C2的半徑為1，所以△C2MN的面積為. 1．極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos θ的圓的半徑是________．

11、 【解析】　∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ，即x2＋y2＝2x.化簡得(x－1)2＋y2＝1.∴半徑為1. 【答案】　1 2．直角坐標(biāo)方程x＋y－2＝0的極坐標(biāo)方程為________． 【答案】　ρsin(θ＋)＝ 3．過點(diǎn)A(2,0)，并且垂直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程是________． 【導(dǎo)學(xué)號：98990013】 【解析】　如圖所示，設(shè)M(ρ，θ)為直線上除A(2,0)外的任意一點(diǎn)，連接OM，則有△AOM為直角三角形，并且∠AOM＝θ，OA＝2，OM＝ρ，所以有OMcos θ＝OA，即ρcos θ＝2，顯然當(dāng)ρ＝2，θ＝0時(shí)，也滿足方程ρcos θ＝2，所以所求直

12、線的極坐標(biāo)方程為ρcos θ＝2. 【答案】　ρcos θ＝2 4．曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＝0，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則曲線C的極坐標(biāo)方程為________． 【解析】　直角坐標(biāo)方程x2＋y2－2x＝0可化為x2＋y2＝2x，將ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ代入整理得ρ＝2cos θ. 【答案】　ρ＝2cos θ 我還有這些不足： (1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 我的課下提升方案： (1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 7