《（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 7 第7講 拋物線教學(xué)案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 7 第7講 拋物線教學(xué)案（16頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第7講　拋物線 1．拋物線的定義 滿足以下三個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡是拋物線： (1)在平面內(nèi)； (2)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離相等； (3)定點(diǎn)不在定直線上． 2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離 圖形 頂點(diǎn) O(0，0) 對(duì)稱軸 y＝0 x＝0 焦點(diǎn) F F F F 離心率 e＝1 準(zhǔn)線方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R

2、 y≥0，x∈R y≤0，x∈R 開(kāi)口方向 向右 向左 向上 向下 焦半徑(其中P(x0，y0)) |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y(tǒng)0＋ |PF|＝－y0＋ [疑誤辨析] 判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線．(　　) (2)若直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，則直線與拋物線一定相切．(　　) (3)若一拋物線過(guò)點(diǎn)P(－2，3)，則其標(biāo)準(zhǔn)方程可寫(xiě)為y2＝2px(p>0)．(　　) (4)拋物線既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3

3、)×　(4)× [教材衍化] 1．(選修2-1P72練習(xí)T1改編)過(guò)點(diǎn)P(－2，3)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　) A．y2＝－x或x2＝y(tǒng) B．y2＝x或x2＝y(tǒng) C．y2＝x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－y 解析：選A.設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝kx或x2＝my，代入點(diǎn)P(－2，3)，解得k＝－，m＝，所以y2＝－x或x2＝y(tǒng).故選A. 2．(選修2-1P73A組T3改編)拋物線y2＝8x上到其焦點(diǎn)F距離為5的點(diǎn)P有(　　) A．0個(gè)　　　　　　　　　 B．1個(gè) C．2個(gè) D．4個(gè) 解析：選C.設(shè)P(x1，y1)，則|PF|＝x1＋2＝5，y＝8x1，所以x

4、1＝3，y1＝±2.故滿足條件的點(diǎn)P有兩個(gè)．故選C. [易錯(cuò)糾偏] (1)忽視拋物線的標(biāo)準(zhǔn)形式； (2)忽視p的幾何意義； (3)易忽視焦點(diǎn)的位置出現(xiàn)錯(cuò)誤． 1．拋物線8x2＋y＝0的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(　　) A．(0，－2) B．(0，2) C. D. 解析：選C.由8x2＋y＝0，得x2＝－y. 2p＝，p＝，所以焦點(diǎn)為，故選C. 2．已知拋物線C與雙曲線x2－y2＝1有相同的焦點(diǎn)，且頂點(diǎn)在原點(diǎn)，則拋物線C的方程是(　　) A．y2＝±2x B．y2＝±2x C．y2＝±4x D．y2＝±4x 解析：選D.由已知可知雙曲線的焦點(diǎn)為(－，0)，(，0)．設(shè)

5、拋物線方程為y2＝±2px(p＞0)，則＝，所以p＝2，所以拋物線方程為y2＝±4x.故選D. 3．若拋物線的焦點(diǎn)在直線x－2y－4＝0上，則此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______． 解析：令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝4.所以拋物線的焦點(diǎn)是(4，0)或(0，－2)，故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝16x或x2＝－8y. 答案：y2＝16x或x2＝－8y 　　　　　　拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與應(yīng)用(高頻考點(diǎn)) 拋物線的定義是高考的熱點(diǎn)，考查時(shí)多以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，個(gè)別高考題有一定難度．主要命題角度有： (1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)求拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離；

6、 (3)求距離和的最值． 角度一　求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)F，且與直線x＝－相切，其中p>0，則動(dòng)圓圓心的軌跡E的方程為_(kāi)_______． 【解析】　依題意得，圓心到定點(diǎn)F的距離與到直線x＝－的距離相等，由拋物線的定義可知，動(dòng)圓圓心的軌跡E為拋物線，其方程為y2＝2px. 【答案】　y2＝2px 角度二　求拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離 已知F是拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，則|FN|＝____________． 【解析】　法一：依題意，拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)F(2，0)，準(zhǔn)線x＝－2，因?yàn)镸是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的

7、延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N，M為FN的中點(diǎn)，設(shè)M(a，b)(b>0)，所以a＝1，b＝±2，所以N(0，±4)，|FN|＝＝6. 法二：依題意，拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)F(2，0)，準(zhǔn)線x＝－2，因?yàn)镸是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N，M為FN的中點(diǎn)，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1，所以|MF|＝1－(－2)＝3，|FN|＝2|MF|＝6. 【答案】　6 角度三　求距離和的最值 已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)是F，點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，又有點(diǎn)B(3，2)，則|PB|＋|PF|的最小值為_(kāi)_______． 【解析】　如圖，過(guò)點(diǎn)B作BQ垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)Q，交拋物線于點(diǎn)P1，則|P1Q|＝|P1F|，則有|P

8、B|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4. 即|PB|＋|PF|的最小值為4. 【答案】　4 (變條件)若本例中的B點(diǎn)坐標(biāo)改為(3，4)，試求|PB|＋|PF|的最小值． 解：由題意可知點(diǎn)(3，4)在拋物線的外部．因?yàn)閨PB|＋|PF|的最小值即為B，F(xiàn)兩點(diǎn)間的距離， 所以|PB|＋|PF|≥|BF|＝＝＝2.即|PB|＋|PF|的最小值為2. 拋物線定義的應(yīng)用 (1)利用拋物線的定義解決此類(lèi)問(wèn)題，應(yīng)靈活地進(jìn)行拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離的等價(jià)轉(zhuǎn)化．即“看到準(zhǔn)線想到焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想到準(zhǔn)線”． (2)注意靈活運(yùn)用拋物線上一點(diǎn)P(x，y)到焦點(diǎn)F的距

9、離|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋.　 1．已知拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn)，若＝4，則|QF|＝(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C．3 D．2 解析：選C.因?yàn)椋?， 所以||＝4||，所以＝.如圖，過(guò)Q作QQ′⊥l，垂足為Q′，設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為A， 則|AF|＝4， 所以＝＝， 所以|QQ′|＝3，根據(jù)拋物線定義可知|QF|＝|QQ′|＝3. 2.如圖，設(shè)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，不經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)A，B，C，其中點(diǎn)A，B在拋物線上，點(diǎn)C在y軸上，則△BCF與△ACF的面積之

10、比是(　　) A. B. C. D. 解析：選A.由題圖可知，△BCF與△ACF有公共的頂點(diǎn)F，且A，B，C三點(diǎn)共線，易知△BCF與△ACF的面積之比就等于.由拋物線方程知焦點(diǎn)F(1，0)，作準(zhǔn)線l，如圖所示，則l的方程為x＝－1.因?yàn)辄c(diǎn)A，B在拋物線上，過(guò)A，B分別作AK，BH與準(zhǔn)線垂直，垂足分別為點(diǎn)K，H，且與y軸分別交于點(diǎn)N，M.由拋物線定義，得|BM|＝|BF|－1，|AN|＝|AF|－1.在△CAN中，BM∥AN，所以 ＝＝. 　　　　　　拋物線的性質(zhì)及應(yīng)用 (1)以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點(diǎn)．已知|AB|＝4，|DE|＝2，

11、則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為(　　) A．2　　　　　　　　　 B．4 C．6 D．8 (2)(2020·寧波模擬)若點(diǎn)P為拋物線y＝2x2上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，則|PF|的最小值為(　　) A．2 B. C. D. 【解析】　(1)由題意，不妨設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p＞0)，由|AB|＝4，|DE|＝2，可取A，D，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，由|OA|＝|OD|，得＋8＝＋5，得p＝4，所以選B. (2)由題意知x2＝y(tǒng)，則F，設(shè)P(x0，2x)，則|PF|＝＝＝2x＋，所以當(dāng)x＝0時(shí)，|PF|min＝. 【答案】　(1)B　(2)D 拋物線性質(zhì)的應(yīng)用技巧

12、 (1)利用拋物線方程確定及應(yīng)用其焦點(diǎn)、準(zhǔn)線時(shí)，關(guān)鍵是將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程． (2)要結(jié)合圖形分析，靈活運(yùn)用平面圖形的性質(zhì)以形助數(shù)．　 1．已知拋物線C：y2＝x的焦點(diǎn)為F，A(x0，y0)是C上一點(diǎn)，|AF|＝x0，則x0＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 解析：選A.由題意知拋物線的準(zhǔn)線為x＝－.因?yàn)閨AF|＝x0，根據(jù)拋物線的定義可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1. 2．(2020·浙江省名校協(xié)作體高三聯(lián)考)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為拋物線上一點(diǎn)，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面積為4，則拋物線的方程為(　

13、　) A．y2＝6x B．y2＝8x C．y2＝16x D．y2＝ 解析：選B.設(shè)M(x，y)，因?yàn)閨OF|＝，|MF|＝4|OF|，所以|MF|＝2p，由拋物線定義知x＋＝2p，所以x＝p，所以y＝±p，又△MFO的面積為4，所以××p＝4，解得p＝4(p＝－4舍去)．所以拋物線的方程為y2＝8x. 3．(2020·杭州中學(xué)高三月考)設(shè)拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)A(0，2)．若線段FA的中點(diǎn)B在拋物線上，則F到l的距離為_(kāi)_______，|FB|＝________． 解析：依題意可知F點(diǎn)坐標(biāo)為， 所以B點(diǎn)坐標(biāo)為，代入拋物線方程解得p＝， 所以F

14、到l的距離為，|FB|＝＋＝. 答案：　 　　　　　　拋物線與圓的交匯 (1)設(shè)經(jīng)過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，那么拋物線C的準(zhǔn)線與以AB為直徑的圓的位置關(guān)系為(　　) A．相離 B．相切 C．相交但不經(jīng)過(guò)圓心 D．相交且經(jīng)過(guò)圓心 (2)(2020·杭州市高三模擬)已知點(diǎn)A是拋物線y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，以F為圓心，以|FA|為半徑的圓交準(zhǔn)線于B，C兩點(diǎn)，△FBC為正三角形，且△ABC的面積是，則拋物線的方程為(　　) A．y2＝12x B．y2＝14x C．y2＝16x D．y2＝18x 【解析】　(1)設(shè)圓心為M

15、，過(guò)點(diǎn)A，B，M作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為A1，B1，M1，則|MM1|＝(|AA1|＋|BB1|)．由拋物線定義可知|BF|＝|BB1|，|AF|＝|AA1|， 所以|AB|＝|BB1|＋|AA1|，|MM1|＝|AB|，即圓心M到準(zhǔn)線的距離等于圓的半徑，故以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切． (2)由題意，如圖可得＝cos 30°及|DF|＝p， 可得|BF|＝， 從而|AF|＝， 由拋物線的定義知點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離也為， 又因?yàn)椤鰽BC的面積為，所以××＝， 解得p＝8，故拋物線的方程為y2＝16x. 【答案】　(1)B　(2)C 解拋物線與圓的交匯問(wèn)題的方法 (1

16、)利用圓的幾何特征與拋物線的幾何特征相結(jié)合，轉(zhuǎn)化為兩者的元素關(guān)系列出相應(yīng)關(guān)系式． (2)利用圓的定義與拋物線的定義相結(jié)合建立相關(guān)的代數(shù)關(guān)系是求解圓與拋物線綜合問(wèn)題的有效方法．　 　設(shè)M(x0，y0)為拋物線C：x2＝8y上的一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，以F為圓心、|FM|為半徑的圓和拋物線C的準(zhǔn)線相交，則y0的取值范圍是(　　) A．(0，2) B．[0，2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞) 解析：選C.設(shè)圓的半徑為r，因?yàn)镕(0，2)是圓心，拋物線C的準(zhǔn)線方程為y＝－2，由圓與準(zhǔn)線相交知r>4，因?yàn)辄c(diǎn)M(x0，y0)為拋物線C：x2＝8y上的一點(diǎn)，所以r＝|FM|＝y(tǒng)0

17、＋2＞4，所以y0＞2. [基礎(chǔ)題組練] 1．已知點(diǎn)A(－2，3)在拋物線C：y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線上，記C的焦點(diǎn)為F，則直線AF的斜率為(　　) A．－　　　　　　　　　 B．－1 C．－ D．－ 解析：選C.由已知得準(zhǔn)線方程為x＝－2，所以F的坐標(biāo)為(2，0)．又A(－2，3)，所以直線AF的斜率k＝＝－. 2．已知拋物線C1：x2＝2py(p>0)的準(zhǔn)線與拋物線C2：x2＝－2py(p>0)交于A，B兩點(diǎn)，C1的焦點(diǎn)為F，若△FAB的面積等于1，則C1的方程是(　　) A．x2＝2y B．x2＝y(tǒng) C．x2＝y(tǒng) D．x2＝y(tǒng) 解析：選A.由題意得，F(xiàn)，

18、不妨設(shè)A，B(－p，－)，所以S△FAB＝·2p·p＝1，則p＝1，即拋物線C1的方程是x2＝2y，故選A. 3．(2020·麗水調(diào)研)已知等邊△ABF的頂點(diǎn)F是拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)，頂點(diǎn)B在拋物線的準(zhǔn)線l上且AB⊥l，則點(diǎn)A的位置(　　) A．在C開(kāi)口內(nèi) B．在C上 C．在C開(kāi)口外 D．與p值有關(guān) 解析：選B.設(shè)B，由已知有AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則A，△ABF是邊長(zhǎng)|AB|＝2p的等邊三角形，即|AF|＝ ＝2p，所以p2＋m2＝4p2，所以m＝±p，所以A，代入y2＝2px中，得點(diǎn)A在拋物線C上，故選B. 4．已知拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)

19、P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在拋物線上，且2x2＝x1＋x3，則有(　　) A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3| B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2 C．|FP1|＋|FP3|＝2|FP2| D．|FP1|·|FP3|＝|FP2|2 解析：選C.根據(jù)拋物線的定義知|FP1|＝x1＋，|FP2|＝x2＋，|FP3|＝x3＋， 所以|FP1|＋|FP3|＝＋＝(x1＋x3)＋p＝2x2＋p＝2＝2|FP2|. 5．拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，經(jīng)過(guò)F且斜率為的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點(diǎn)A，AK⊥l，垂足為K，則△AKF的面積

20、是(　　) A．4 B．3 C．4 D．8 解析：選C.F(1，0)，直線AF：y＝(x－1)，代入y2＝4x得3x2－10x＋3＝0， 解得x＝3或x＝. 由于點(diǎn)A在x軸上方且直線的斜率為，所以其坐標(biāo)為(3，2)． 因?yàn)閨AF|＝|AK|＝3＋1＝4，AF的斜率為，即傾斜角為60°，所以∠KAF＝60°， 所以△AKF為等邊三角形， 所以△AKF的面積為×42＝4. 6．(2020·杭州市高考模擬)設(shè)傾斜角為α的直線l經(jīng)過(guò)拋物線Г：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F，與拋物線Г交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)A在x軸上方，點(diǎn)B在x軸下方．若＝m，則cos α的值為(　　) A.

21、 B. C. D. 解析：選A.設(shè)拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線為l：x＝－. 如圖所示，分別過(guò)點(diǎn)A，B作AM⊥l，BN⊥l，垂足分別為M，N. 在△ABC中，∠BAC等于直線AB的傾斜角α， 由＝m，|AF|＝m|BF|，|AB|＝|AF|＋|BF|＝(m＋1)|BF|， 根據(jù)拋物線的定義得，|AM|＝|AF|＝m|BF|，|BN|＝|BF|， 所以|AC|＝|AM|－|MC|＝m|BF|－|BF|＝(m－1)|BF|， 在Rt△ABC中，cos α＝cos ∠BAC＝＝＝，故選A. 7．已知拋物線y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離等于2p，則直線MF的

22、斜率為_(kāi)_______． 解析：設(shè)M(xM，yM)，由拋物線定義可得|MF|＝xM＋＝2p，解得xM＝，代入拋物線方程可得yM＝±p，則直線MF的斜率為＝＝±. 答案：± 8．已知拋物線C的方程為y2＝2px(p>0)，○·M的方程為x2＋y2＋8x＋12＝0，如果拋物線C的準(zhǔn)線與○·M相切，那么p的值為_(kāi)_______． 解析：將○·M的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程(x＋4)2＋y2＝4，圓心坐標(biāo)為(－4，0)，半徑r＝2，又因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為x＝－，所以＝2，p＝12或4. 答案：12或4 9．若點(diǎn)P在拋物線y2＝x上，點(diǎn)Q在圓(x－3)2＋y2＝1上，則|PQ|的最小值為_(kāi)_____

23、__． 解析：由題意得拋物線與圓不相交， 且圓的圓心為A(3，0)， 則|PQ|≥|PA|－|AQ|＝|PA|－1， 當(dāng)且僅當(dāng)P，Q，A三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)， 所以當(dāng)|PA|取得最小值時(shí)，|PQ|最?。? 設(shè)P(x0，y0)，則y＝x0，|PA|＝＝＝ ，當(dāng)且僅當(dāng)x0＝時(shí)，|PA|取得最小值，此時(shí)|PQ|取得最小值－1. 答案：－1 10．(2020·浙江省名校協(xié)作體高三聯(lián)考)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且過(guò)點(diǎn)(4，4)，焦點(diǎn)為F. (1)求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，M是PF的中點(diǎn)，求M的軌跡方程． 解：(1)拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，

24、且過(guò)點(diǎn)(4，4)，設(shè)拋物線解析式為y2＝2px，把(4，4)代入，得16＝2×4p，所以p＝2， 所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4x，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1，0)． (2)設(shè)M(x，y)，P(x0，y0)，F(xiàn)(1，0)，M是PF的中點(diǎn)，則x0＋1＝2x，0＋y0＝2y， 所以x0＝2x－1，y0＝2y， 因?yàn)镻是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，所以y＝4x0， 所以(2y)2＝4(2x－1)，化簡(jiǎn)得y2＝2x－1. 所以M的軌跡方程為y2＝2x－1. 11．已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，A是拋物線上橫坐標(biāo)為4，且位于x軸上方的點(diǎn)，A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5，過(guò)A作AB垂直于y軸，垂足為B，

25、OB的中點(diǎn)為M. (1)求拋物線的方程； (2)若過(guò)M作MN⊥FA，垂足為N，求點(diǎn)N的坐標(biāo)． 解：(1)拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線為x＝－， 于是4＋＝5，所以p＝2. 所以拋物線方程為y2＝4x. (2)因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)是(4，4)， 由題意得B(0，4)，M(0，2)． 又因?yàn)镕(1，0)，所以kFA＝， 因?yàn)镸N⊥FA，所以kMN＝－. 又FA的方程為y＝(x－1)，① MN的方程為y－2＝－x，② 聯(lián)立①②，解得x＝，y＝， 所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為. [綜合題組練] 1．(2020·臺(tái)州書(shū)生中學(xué)月考)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，已知點(diǎn)A，B為拋物線上的兩

26、個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠AFB＝120°，過(guò)AB的中點(diǎn)M作拋物線準(zhǔn)線l的垂線MN，垂足為N，則的最大值為(　　) A. B．1 C. D．2 解析：選A.過(guò)A，B分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A1，B1，連接AF，BF，由拋物線的定義知|MN|＝(|AA1|＋|BB1|)＝(|AF|＋|BF|)，在△AFB中，|AB|2＝|AF|2＋|BF|2－2|AF||BF|·cos 120°＝|AF|2＋|BF|2＋|AF||BF|. 所以＝· ＝ ＝≤×＝， 當(dāng)且僅當(dāng)|AF|＝|BF|時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為. 2．已知F為拋物線y2＝x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在該拋物線上且位于x軸的

27、兩側(cè)，·＝2(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則△ABO與△AFO面積之和的最小值是(　　) A．2 B．3 C. D. 解析：選B.設(shè)A(x1，)，B(x2，－)， 則S△AFO＝×＝. 由·＝2得x1x2－＝2， 即x1x2－－2＝0，解得x1x2＝4， 所以(||·||)2＝(x＋x1)(x＋x2) ＝xx＋x1x2·(x1＋x2)＋x1x2＝20＋4(x1＋x2)， 因?yàn)閏os∠AOB＝， 所以sin∠AOB＝ ＝ 所以S△AOB＝||||sin∠AOB ＝|||| ＝ ＝＝ ＝＝＋， 所以S△ABO＋S△AFO＝＋≥2＝3，當(dāng)＝，即x1＝時(shí)等號(hào)成立．

28、 3．如圖，正方形ABCD和正方形DEFG的邊長(zhǎng)分別為a，b(a＜b)，原點(diǎn)O為AD的中點(diǎn)，拋物線y2＝2px(p＞0)經(jīng)過(guò)C，F(xiàn)兩點(diǎn)，則＝________． 解析：依題知C，F(xiàn)，因?yàn)辄c(diǎn)C，F(xiàn)在拋物線上，所以兩式相除得－2－1＝0，解得＝1＋或＝1－(舍)． 答案：1＋ 4．(2020·臺(tái)州市高考模擬)如圖，過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F作直線與拋物線及其準(zhǔn)線分別交于A，B，C三點(diǎn)，若＝4，則||＝________． 解析：分別過(guò)A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A1，B1，則|DF|＝p＝2，由拋物線的定義可知|FB|＝|BB1|，|AF|＝|AA1|， 因?yàn)椋?，所以＝＝， 所

29、以|FB|＝|BB1|＝. 所以|FC|＝4|FB|＝6， 所以cos ∠DFC＝＝， 所以cos ∠A1AC＝＝＝，解得|AF|＝3， 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝3＋＝. 答案： 5．已知拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)為F，P為該拋物線在第一象限內(nèi)的圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)． (1)當(dāng)|PF|＝2時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； (2)求點(diǎn)P到直線y＝x－10的距離的最小值． 解：(1)由拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)為F，P為該拋物線在第一象限內(nèi)的圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 故設(shè)P(a＞0)， 因?yàn)閨PF|＝2，結(jié)合拋物線的定義得＋1＝2， 所以a＝2，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，1)． (2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)

30、為P(a＞0)，則點(diǎn)P到直線y＝x－10的距離為＝. 因?yàn)椋璦＋10＝(a－2)2＋9， 所以當(dāng)a＝2時(shí)，－a＋10取得最小值9， 故點(diǎn)P到直線y＝x－10的距離的最小值為. 6．(2020·杭州寧波二市三校聯(lián)考)已知A，B，C是拋物線y2＝2px(p＞0)上三個(gè)不同的點(diǎn)，且AB⊥AC. (1)若A(1，2)，B(4，－4)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)； (2)若拋物線上存在點(diǎn)D，使得線段AD總被直線BC平分，求點(diǎn)A的坐標(biāo)． 解：(1)因?yàn)锳(1，2)在拋物線y2＝2px(p＞0)上，所以p＝2.所以拋物線方程為y2＝4x. 設(shè)C，則由kAB·kAC＝－1，即·＝－1，解得t＝6，即C(9，6)． (2)設(shè)A(x0，y0)，B，C，則y＝2px0， 直線BC的方程為＝，即(y1＋y2)y＝2px＋y1y2，由kAB·kAC＝·＝－1， 得y0(y1＋y2)＋y1y2＋y＝－4p2， 與直線BC的方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)，得(y1＋y2)(y＋y0)＝2p(x－2p－x0)，故直線BC恒過(guò)點(diǎn)E(x0＋2p，－y0)． 因此直線AE的方程為y＝－(x－x0)＋y0， 代入拋物線的方程y2＝2px(p＞0)， 得點(diǎn)D的坐標(biāo)為. 因?yàn)榫€段AD總被直線BC平分， 所以 解得x0＝，y0＝±p， 即點(diǎn)A的坐標(biāo)為. 16