5、＋2sinxcosx＝，
∴2sinxcosx＝－.
∵(sinx－cosx)2＝sin2x－2sinxcosx＋cos2x＝1－2sinxcosx＝1＋＝.①
又∵－0，
∴sinx－cosx<0.②
由①②可知sinx－cosx＝－.
(2)解法一：由已知條件及(1)可知
解得∴tanx＝－.
又∵＝＝＝，
∴＝.
解法二：由已知條件及(1)可知
＝＝＝.
在本例條件下，求的值．
解 ＝＝＝.
在本例條件下，求sin2x＋sinxcosx的值．
解 sin2x＋sinxcosx＝＝＝＝－.
觸類旁通
同角三角函數(shù)基本
6、關(guān)系式及變形公式的應(yīng)用
(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以實現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以實現(xiàn)角α的弦切互化．
(2)應(yīng)用公式時注意方程思想的應(yīng)用：對于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα這三個式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．
(3)注意公式逆用及變形應(yīng)用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
(4)關(guān)于sinα，cosα的齊次式，往往轉(zhuǎn)化為關(guān)于tanα的式子求解．
【變式訓(xùn)練】 (1)已知2tanα·sinα＝3，－＜α＜0，則sinα＝( )
A.
7、 B．－
C. D．－
答案 B
解析 因為2tanα·sinα＝3，所以＝3，所以2sin2α＝3cosα，即2－2cos2α＝3cosα，所以cosα＝或cosα＝－2(舍去)，又－＜α＜0，所以sinα＝－.
(2)已知α是三角形的內(nèi)角，且tanα＝－，求sinα＋cosα的值．
解 由tanα＝－，得sinα＝－cosα，
將其代入sin2α＋cos2α＝1，
得cos2α＝1，∴cos2α＝，易知cosα＜0，
∴cosα＝－，sinα＝，
故sinα＋cosα＝－.
考向 利用誘導(dǎo)公式化簡求值
命題角度1 利用誘導(dǎo)公式化簡求值
例 2 已知
f
8、(α)＝，
求f的值．
解 f(α)＝
＝－tanα，則f＝－tan＝tan＝1.
命題角度2 同角關(guān)系和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用
例 3 [2016·全國卷Ⅰ]已知θ是第四象限角，且sin＝，則tan＝________.
答案?。?
解析 因為sin＝，所以cos＝sin＝sin＝，因為θ為第四象限角，所以－＋2kπ＜θ＜2kπ，k∈Z，所以－＋2kπ＜θ－＜2kπ－，k∈Z，所以sin＝－＝－，所以tan＝＝－.
觸類旁通
利用誘導(dǎo)公式化簡求值的思路
(1)給角求值問題，關(guān)鍵是利用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值求解．轉(zhuǎn)化過程中注意口訣“奇變偶不變，符號看象限
9、”的應(yīng)用．
(2)在對給定的式子進行化簡或求值時，要注意給定的角之間存在的特定關(guān)系，充分利用給定的關(guān)系結(jié)合誘導(dǎo)公式來將角進行轉(zhuǎn)化．特別要注意每一個角所在的象限，防止符號及三角函數(shù)名稱搞錯．
核心規(guī)律
1.三角求值、化簡是三角函數(shù)的基礎(chǔ)，在求值與化簡時，常用方法有：(1)弦切互化法；(2)和積轉(zhuǎn)換法；(3)巧用“1”的變換．
2.利用誘導(dǎo)公式進行化簡求值時，先利用公式化任意角的三角函數(shù)為銳角三角函數(shù)，其步驟：去負(fù)—脫周—化銳．特別注意函數(shù)名稱和符號的確定．
滿分策略
1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式要注意角的范圍對三角函數(shù)符號的影響，尤其是利用平方關(guān)系求三角函數(shù)值，進行開方時
10、要根據(jù)角的范圍，判斷符號后，正確取舍．
2.注意求值與化簡后的結(jié)果一般要盡可能有理化、整式化.
板塊三 啟智培優(yōu)·破譯高考
易錯警示系列5——忽視“角范圍”的信息提取致誤
[2018·石家莊模擬]設(shè)θ為第二象限角，若tan＝，則sinθ＋cosθ＝________.
錯因分析 (1)不能提煉隱含信息tan＞0.
(2)利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系，開方運算時忽視三角函數(shù)符號的判定．
解析 由tan＝，得cos＝2sin，代入sin2＋cos2＝1，
得sin2＝.
∵θ為第二象限角．
∴2kπ＋π＜θ＋＜2kπ＋π，k∈Z.
又tan＝＞0，
∴2kπ＋π＜θ＋＜2kπ＋π
11、(k∈Z)，
故sin＝－.
因此sinθ＋cosθ＝sin＝－.
答案?。?
答題啟示 1.由tan＝挖掘tan＞0，結(jié)合θ為第二象限角，進一步確定角θ＋的范圍．
2．開方運算時，應(yīng)先根據(jù)角θ的范圍或象限角判定三角函數(shù)值的符號．
跟蹤訓(xùn)練
已知sinαcosα＝，且＜α＜，則cosα－sinα的值為( )
A．－ B.
C．－ D.
答案 B
解析 ∵＜α＜，
∴cosα＜0，sinα＜0且|cosα|＜|sinα|，∴cosα－sinα＞0.
又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×＝，
∴cosα－sinα＝.
板塊四 模擬演
12、練·提能增分
[A級 基礎(chǔ)達標(biāo)]
1．[2018·洛陽模擬]下列各數(shù)中與sin2019°的值最接近的是( )
A. B.
C．－ D．－
答案 C
解析 2019°＝5×360°＋180°＋39°，
∴sin2019°＝－sin39°和－sin30°接近．選C.
2．已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|＜，則θ等于( )
A．－ B．－
C. D.
答案 D
解析 ∵sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，∴－sinθ＝－cosθ，∴tanθ＝.∵|θ|＜，∴θ＝.
3．[2018·華師附中月考]已知tan(α－π)＝，且α
13、∈，則sin＝( )
A. B．－
C. D．－
答案 B
解析 tan(α－π)＝?tanα＝.
又因為α∈，所以α為第三象限的角，
所以sin＝cosα＝－.
4．已知f(α)＝，則f的值為( )
A. B．－
C．－ D.
答案 C
解析 ∵f(α)＝＝－cosα，
∴f＝－cos＝－cos＝－cos＝－.
5．已知sin＝，則cos的值為( )
A. B．－
C．－ D.
答案 B
解析 cos＝cos＝－sin＝－.選B.
6．已知tanx＝2，則sin2x＋1的值為( )
A．0 B.
C.
14、 D.
答案 B
解析 sin2x＋1＝＝＝.故選B.
7．[2018·福建泉州模擬]已知＝－，則的值是( )
A. B．－
C．2 D．－2
答案 A
解析 因為1－sin2α＝cos2α，cosα≠0,1－sinα≠0，所以(1＋sinα)(1－sinα)＝cosαcosα，所以＝，所以＝－，即＝.故選A.
8．已知角α的終邊上一點P(3a,4a)(a<0)，則cos的值是________．
答案
解析 cos(540°－α)＝cos(180°－α)＝－cosα.因為a<0，所以r＝－5a，所以cosα＝－，所以cos(540°－α)＝－cosα＝.
15、
9．[2018·北京東城模擬]已知sinθ＋cosθ＝，θ∈(0，π)，則tanθ＝________.
答案?。?
解析 解方程組得
或(舍)．
故tanθ＝－.
10．[2018·淮北模擬]sin·cos·tan的值是________．
答案?。?
解析 原式＝sin·cos·tan－π－＝
··＝××(－)＝－.
[B級 知能提升]
1．[2018·湖北荊州聯(lián)考]若A，B是銳角△ABC的兩個內(nèi)角，則點P(cosB－sinA，sinB－cosA)在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 B
解析 ∵△ABC是銳角三角形，則A
16、＋B＞，∴A＞－B＞0，B＞－A＞0，∴sinA＞sin＝cosB，sinB＞sin＝cosA，
∴cosB－sinA＜0，sinB－cosA＞0，
∴點P在第二象限．選B.
2．[2018·新鄉(xiāng)模擬]若θ∈，sinθcosθ＝，則sinθ＝( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 ∵sinθcosθ＝，∴(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝，(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝，
∵θ∈，∴sinθ＋cosθ＝?、?，sinθ－cosθ＝ ②，聯(lián)立①②得，sinθ＝.
3．已知cos(75°＋α)＝，α是第三象限角，則sin(1
17、95°－α)＋cos(α－15°)的值為________．
答案?。?
解析 因為cos(75°＋α)＝>0，α是第三象限角，
所以75°＋α是第四象限角，
sin(75°＋α)＝－＝－.
所以sin(195°－α)＋cos(α－15°)
＝sin[180°＋(15°－α)]＋cos(15°－α)
＝－sin(15°－α)＋cos(15°－α)
＝－sin[90°－(75°＋α)]＋cos[90°－(75°＋α)]
＝－cos(75°＋α)＋sin(75°＋α)
＝－－＝－.
4．求值：sin(－1200°)·cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)
18、＋tan945°.
解 原式＝－sin1200°·cos1290°＋cos1020°·(－sin1050°)＋tan945°
＝－sin120°·cos210°＋cos300°·(－sin330°)＋tan225°
＝(－sin60°)·(－cos30°)＋cos60°·sin30°＋tan45°＝×＋×＋1＝2.
5．[2018·南京檢測]已知f(α)＝.
(1)化簡f(α)；
(2)若α是第三象限角，且cos＝，求f(α)的值．
解 (1)f(α)＝
＝＝－cosα.
(2)因為α是第三象限角，且cos＝－sinα＝，sinα＝－.所以cosα＝－＝－＝－.所以f(α)＝－cosα＝.
11
（全國版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第2講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式學(xué)案
