《（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量、復(fù)數(shù) 2 第2講 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示教學(xué)案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量、復(fù)數(shù) 2 第2講 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示教學(xué)案（18頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第2講　平面向量基本定理及坐標(biāo)表示 1．平面向量基本定理 (1)定理：如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2． (2)基底：不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底． 2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 (1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模 設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1)，|a|＝． (2)向量坐標(biāo)的求法 ①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)

2、． ②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)， ||＝． 3．平面向量共線的坐標(biāo)表示 設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b?x1y2－x2y1＝0． [提醒]　當(dāng)且僅當(dāng)x2y2≠0時(shí)，a∥b與＝等價(jià)． 即兩個(gè)不平行于坐標(biāo)軸的共線向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例． [疑誤辨析] 判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一組基底．(　　) (2)在△ABC中，向量，的夾角為∠ABC.(　　) (3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．(　　) (4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的

3、充要條件可表示成＝.(　　) (5)若a，b不共線，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2 ，μ1＝μ2.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ [教材衍化] 1．(必修4P99例8改編)若P1(1，3)，P2(4，0)且P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(　　) A．(2，2)　　　　　　　 B．(3，－1) C．(2，2)或(3，－1) D．(2，2)或(3，1) 解析：選D.由題意得＝或＝，＝(3，－3)．設(shè)P(x，y)，則＝(x－1，y－3)，當(dāng)＝時(shí)，(x－1，y－3)＝(3，－3)，所以x＝2，y＝2，即P(2，2)；當(dāng)

4、＝時(shí)，(x－1，y－3)＝(3，－3)，所以x＝3，y＝1，即P(3，1)．故選D. 2．(必修4P97例5改編)已知?ABCD的頂點(diǎn)A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)_______． 解析：設(shè)D(x，y)，則由＝，得(4，1)＝(5－x，6－y)，即解得 答案：(1，5) 3．(必修4P119A組T9改編)已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb與a－2b共線，則＝________． 解析：由向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)， 得ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)． 由ma＋nb與a－2b共線， 得＝

5、，所以＝－. 答案：－ [易錯(cuò)糾偏] (1)忽視基底中基向量不共線致錯(cuò)； (2)弄不清單位向量反向的含義出錯(cuò)； (3)不正確運(yùn)用平面向量基本定理出錯(cuò)． 1．給出下列三個(gè)向量：a＝(－2，3)，b＝，c＝(－1，1)．在這三個(gè)向量中任意取兩個(gè)作為一組，能構(gòu)成基底的組數(shù)為_(kāi)_______． 解析：易知a∥b，a與c不共線，b與c不共線，所以能構(gòu)成基底的組數(shù)為2. 答案：2 2．已知A(－5，8)，B(7，3)，則與向量反向的單位向量為_(kāi)_______． 解析：由已知得＝(12，－5)，所以||＝13，因此與反向的單位向量為－＝. 答案： 3.如圖，在正方形ABCD中，E為D

6、C的中點(diǎn)，若＝λ＋μ，則λ＋μ的值為_(kāi)_______． 解析：因?yàn)镋為DC的中點(diǎn)，所以＝＋＝＋＋＝＋＋＝＋，即＝－＋，所以λ＝－，μ＝1，所以λ＋μ＝. 答案： 　　　　　　平面向量基本定理及其應(yīng)用 (1)已知平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)滿足＝2，＝3，則＝________(用，表示)． (2)在△ABC中，點(diǎn)P是AB上一點(diǎn)，且＝＋，Q是BC的中點(diǎn)，AQ與CP的交點(diǎn)為M，又＝t，則實(shí)數(shù)t的值為_(kāi)_______． 【解析】　(1)如圖所示，＝＝(＋)，＝＝(－)，所以＝＋＋＝－(＋)＋＋(－)＝－＋. (2)因?yàn)椋剑? 所以3＝2＋， 即2－2＝－， 所以2＝

7、. 即P為AB的一個(gè)三等分點(diǎn)(靠近A點(diǎn))， 又因?yàn)锳，M，Q三點(diǎn)共線，設(shè)＝λ. 所以＝－＝λ－ ＝λ－＝＋， 又＝t＝t(－)＝t ＝－t. 故解得故t的值是. 【答案】　(1)－＋　(2) 1．(變問(wèn)法)在本例(2)中，試用向量，表示. 解：因?yàn)椋剑? 所以3＝2＋，即2－2＝－， 2＝，所以＝， ＝－＝－. 2．(變問(wèn)法)在本例(2)中，試問(wèn)點(diǎn)M在AQ的什么位置？ 解：由本例(2)的解析＝＋及λ＝，＝2知，＝λ(－)＋ ＝＋(1－λ) ＝λ＋(1－λ)＝. 因此點(diǎn)M是AQ的中點(diǎn)． 平面向量基本定理應(yīng)用的實(shí)質(zhì)和一般思路 (1)應(yīng)用平面向量基本定

8、理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算． (2)用向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決．　 1．(2020·溫州七校聯(lián)考)如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD＝1，且∠B＝90°，∠BCD＝135°.若向量＝a，＝b，則＝(　　) A.a－b B．－a＋b C．－a＋b D.a＋b 解析：選B.根據(jù)題意可得△ABC為等腰直角三角形，由∠BCD＝135°，得∠ACD＝135°－45°＝90°. 以B為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，BC所在直線為y軸建立如圖所示的

9、平面直角坐標(biāo)系，并作DE⊥y軸于點(diǎn)E，則△CDE也為等腰直角三角形．由CD＝1，得CE＝ED＝，則A(1，0)，B(0，0)，C(0，1)，D，所以＝(－1，0)，＝(－1，1)，＝.令＝λ＋μ(λ，μ∈R)， 則有得 則＝－a＋b，故選B. 2．在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)，BE與AC相交于點(diǎn)F，若＝m＋n(m，n∈R)，則的值是________． 解析：法一：根據(jù)題意可知△AFE∽△CFB，所以＝＝，故＝＝＝(－)＝＝－，所以＝＝－2. 法二：如圖，＝2，＝m＋n，所以＝＋＝m＋(2n＋1)，因?yàn)镕，E，B三點(diǎn)共線，所以m＋2n＋1＝1，所以＝－2. 答案：－2

10、 　　　　　　平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設(shè)＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b. (1)求3a＋b－3c； (2)求滿足a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m，n； (3)求M，N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)． 【解】　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)因?yàn)閙b＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)， 所以解得 (3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，因?yàn)椋剑?c， 所以＝3c＋＝(3，24)＋(－3，－

11、4)＝(0，20)． 所以M(0，20)．又因?yàn)椋剑剑?b， 所以＝－2b＋＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)， 所以N(9，2)．所以＝(9，－18)． 向量坐標(biāo)運(yùn)算問(wèn)題的一般思路 (1)向量問(wèn)題坐標(biāo)化：向量的坐標(biāo)運(yùn)算，使得向量的線性運(yùn)算都可用坐標(biāo)來(lái)進(jìn)行，實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來(lái)，通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，使幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量運(yùn)算． (2)巧借方程思想求坐標(biāo)：向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，求解過(guò)程中要注意方程思想的運(yùn)用． (3)妙用待定系數(shù)法求系數(shù)：利用坐標(biāo)運(yùn)算求向量的基

12、底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出系數(shù)．　 　在△ABC中，點(diǎn)P在BC上，且＝2，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若＝(4，3)，＝(1，5)，則等于(　　) A．(－2，7)　　　　　　　　　 B．(－6，21) C．(2，－7) D．(6，－21) 解析：選B.＝3＝3(2－)＝6－3＝(6，30)－(12，9)＝(－6，21)． 　　　　　　平面向量共線的坐標(biāo)表示(高頻考點(diǎn)) 平面向量共線的坐標(biāo)表示是高考的?？純?nèi)容，多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度較小，屬容易題．主要命題角度有： (1)利用兩向量共線求參數(shù)； (2)利用兩向量共線求向量坐

13、標(biāo)； (3)三點(diǎn)共線問(wèn)題． 角度一　利用兩向量共線求參數(shù) (2020·浙江省名校聯(lián)考)已知向量a＝(m，1)，b＝(1－n，1)(其中m，n為正數(shù))，若a∥b，則＋的最小值是(　　) A．2　　　　　　　　　　 B．3 C．3＋2 D．2＋3 【解析】　已知a＝(m，1)，b＝(1－n，1)(其中m，n為正數(shù))，若a∥b，則m－(1－n)＝0，即m＋n＝1. 所以＋＝＋＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)取等號(hào)，故＋的最小值是3＋2，故選D. 【答案】　D 角度二　利用兩向量共線求向量坐標(biāo) 已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，且A(1，1)，C(2，3)，

14、||＝2||，則向量的坐標(biāo)是________． 【解析】　由點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，||＝2||，得＝－2.設(shè)點(diǎn)B(x，y)，則(2－x，3－y)＝－2(1，2)，即解得所以向量的坐標(biāo)是(4，7)． 【答案】　(4，7) 角度三　三點(diǎn)共線問(wèn)題 已知向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(－k，10)，且A，B，C三點(diǎn)共線，則k的值是(　　) A．－ B. C. D. 【解析】　＝－＝(4－k，－7)， ＝－＝(－2k，－2)． 因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以，共線， 所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－. 【答案】　A (1)向量共線的兩種表示形

15、式 設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，①a∥b?a＝λb(b≠0)；②a∥b?x1y2－x2y1＝0，至于使用哪種形式，應(yīng)視題目的具體條件而定，一般情況涉及坐標(biāo)的應(yīng)用②. (2)兩向量共線的充要條件的作用 判斷兩向量是否共線(平行)，可解決三點(diǎn)共線的問(wèn)題；另外，利用兩向量共線的充要條件可以列出方程(組)，求出未知數(shù)的值．　 　已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，m)，m∈R，則“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的(　　) A．充分必要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A.由題意得a＋b＝(2，2＋m)，由a∥(a＋b)

16、，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝－6.當(dāng)m＝－6時(shí)，a∥(a＋b)，則“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充分必要條件． 核心素養(yǎng)系列11　數(shù)學(xué)運(yùn)算——平面向量與三角形的“四心” 設(shè)O為△ABC所在平面上一點(diǎn)，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c則 (1)O為△ABC的外心?||＝||＝||＝. (2)O為△ABC的重心?＋＋＝0. (3)O為△ABC的垂心?·＝·＝·. (4)O為△ABC的內(nèi)心?a＋b＋c＝0. 一、平面向量與三角形的“重心”問(wèn)題 已知A，B，C是平面上不共線的三點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)·]，λ∈R，則

17、點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過(guò)(　　) A．△ABC的內(nèi)心　　　　 B．△ABC的垂心 C．△ABC的重心 D．AB邊的中點(diǎn) 【解析】　取AB的中點(diǎn)D，則2＝＋， 因?yàn)椋絒(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)]， 所以＝[2(1－λ)＋(1＋2λ)] ＝＋， 而＋＝1，所以P，C，D三點(diǎn)共線， 所以點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過(guò)△ABC的重心． 【答案】　C 二、平面向量與三角形的“內(nèi)心”問(wèn)題 在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cos A＝，O是△ABC的內(nèi)心，若＝x＋y，其中x，y∈[0，1]，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所覆蓋圖形的面積為(　　) A.　　　B.　　　C．4　　　D．6 【解析】

18、　根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可知，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以O(shè)B，OC為鄰邊的平行四邊形及其內(nèi)部，其面積為△BOC面積的2倍． 在△ABC中，設(shè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得a＝7. 設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，則bcsin A＝(a＋b＋c)r，解得r＝， 所以S△BOC＝×a×r＝×7×＝. 故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所覆蓋圖形的面積為2S△BOC＝. 【答案】　B 三、平面向量與三角形的“垂心”問(wèn)題 已知O是平面上的一個(gè)定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的(　　

19、) A．重心 B．垂心 C．外心 D．內(nèi)心 【解析】　因?yàn)椋剑耍? 所以＝－＝λ， 所以·＝·λ ＝λ(－||＋||)＝0， 所以⊥，所以點(diǎn)P在BC的高線上，即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的垂心． 【答案】　B 四、平面向量與三角形的“外心”問(wèn)題 已知在△ABC中，AB＝1，BC＝，AC＝2，點(diǎn)O為△ABC的外心，若＝x＋y，則有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)為(　　) A. B. C. D. 【解析】　取AB的中點(diǎn)M和AC的中點(diǎn)N，連接OM，ON，則⊥，⊥， ＝－＝－(x＋y)＝－y，＝－＝－(x＋y)＝－x. 由⊥，得2－y·＝0，① 由⊥，得2－x·

20、＝0，② 又因?yàn)?＝(－)2＝2－2·＋， 所以·＝＝－，③ 把③代入①，②得解得x＝，y＝. 故實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)為. 【答案】　A [基礎(chǔ)題組練] 1．已知a＝(1，1)，b＝(1，－1)，c＝(－1，2)，則c等于(　　) A．－a＋b　　　　　　　 B.a－b C．－a－b D．－a＋b 解析：選B.設(shè)c＝λa＋μb，則(－1，2)＝λ(1，1)＋μ(1，－1)，所以所以所以c＝a－b. 2．設(shè)向量a＝(x，1)，b＝(4，x)，且a，b方向相反，則x的值是(　　) A．2　　　　　　　　　 B．－2 C．±2 D．0 解析：選B.因?yàn)閍與

21、b方向相反，所以b＝ma，m<0，則有(4，x)＝m(x，1)，所以解得m＝±2.又m<0，所以m＝－2，x＝m＝－2. 3．已知A(1，4)，B(－3，2)，向量＝(2，4)，D為AC的中點(diǎn)，則＝(　　) A．(1，3) B．(3，3) C．(－3，－3) D．(－1，－3) 解析：選B.設(shè)C(x，y)，則＝(x＋3，y－2)＝(2，4)，所以解得即C(－1，6)．由D為AC的中點(diǎn)可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，5)，所以＝(0＋3，5－2)＝(3，3)． 4．(2020·溫州瑞安七中高考模擬)向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則＝(　　)

22、 A．－8 B．－4 C．4 D．2 解析：選C.設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，則易知c＝(－1，－3)， a＝(－1，1)，b＝(6，2)；因?yàn)閏＝λa＋μb， 所以(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)， 解得λ＝－2，μ＝－，故＝4. 5．已知非零不共線向量，，若2＝x＋y，且＝λ(λ∈R)，則點(diǎn)Q(x，y)的軌跡方程是(　　) A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0 C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0 解析：選A.由＝λ，得－＝λ(－)，即＝(1＋λ)－λ.又2＝x＋y，所以消去λ得x＋y－2＝0，故選A. 6．(2020·金華十校聯(lián)考)已

23、知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為(0，1)，(，0)，(0，－2)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足||＝1，則|＋＋|的最小值是(　　) A.－1 B.－1 C.＋1 D.＋1 解析：選A.設(shè)點(diǎn)P(x，y)，動(dòng)點(diǎn)P滿足||＝1可得x2＋(y＋2)2＝1. 根據(jù)＋＋的坐標(biāo)為(＋x，y＋1)，可得|＋＋|＝，表示點(diǎn)P(x，y)與點(diǎn)Q(－，－1)之間的距離． 顯然點(diǎn)Q在圓C：x2＋(y＋2)2＝1的外部，求得QC＝，|＋＋|的最小值為QC－1＝－1， 故選A. 7．已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝，若a∥b，則銳角θ＝________． 解析：因?yàn)閍∥b，所以(1

24、－sin θ)×(1＋sin θ)－1×＝0，得cos2θ＝，所以cos θ＝±，又因?yàn)棣葹殇J角，所以θ＝. 答案： 8．設(shè)向量＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b，0)，其中a＞0，b＞0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若A，B，C三點(diǎn)共線，則ab的最大值為_(kāi)_______． 解析：易知＝(a－1，1)，＝(－b－1，2)，由A，B，C三點(diǎn)共線知∥，故2(a－1)－(－b－1)＝0，所以2a＋b＝1. 由基本不等式可得1＝2a＋b≥2，當(dāng)且僅當(dāng)2a＝b時(shí)等號(hào)成立，所以ab≤， 即ab的最大值為. 答案： 9．(2020·臺(tái)州質(zhì)檢)在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，向量a＝(

25、cos C，b－c)，向量b＝(cos A，a)且a∥b，則tan A＝________． 解析：a∥b?(b－c)cos A－acos C＝0，即bcos A＝ccos A＋acos C，再由正弦定理得sin Bcos A＝sin Ccos A＋cos Csin A?sin Bcos A＝sin(C＋A)＝sin B，即cos A＝，所以sin A＝，tan A＝＝. 答案： 10．如圖，兩塊全等的等腰直角三角板拼在一起形成一個(gè)平面圖形，若直角邊長(zhǎng)為2，且＝λ＋μ，則λ＋μ＝________． 解析：因?yàn)椤螪EB＝∠ABC＝45°， 所以AB∥DE， 過(guò)D作AB，AC的垂線D

26、M，DN， 則AN＝DM＝BM＝BD·sin 45°＝， 所以DN＝AM＝AB＋BM＝2＋， 所以＝＋＝＋， 所以λ＝，μ＝， 所以λ＋μ＝1＋. 答案：1＋ 11．已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，設(shè)t∈R，如果3a＝c，2b＝d，e＝t(a＋b)，那么t為何值時(shí)，C，D，E三點(diǎn)在一條直線上？ 解：由題設(shè)，知＝d－c＝2b－3a， ＝e－c＝(t－3)a＋tb. C，D，E三點(diǎn)在一條直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)k，使得＝k， 即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb， 整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b. ①若a，b共線，則t可為任意實(shí)數(shù)； ②若a，b不共線，則

27、有 解之得t＝. 綜上，可知a，b共線時(shí)，t可為任意實(shí)數(shù)； a，b不共線時(shí)，t＝. 12．(2020·杭州市七校高三聯(lián)考)在平行四邊形ABCD中，M，N分別是線段AB，BC的中點(diǎn)，且|DM|＝1，|DN|＝2，∠MDN＝. (1)試用向量，表示向量，； (2)求||，||； (3)設(shè)O為△ADM的重心(三角形三條中線的交點(diǎn))，若＝x＋y，求x，y的值． 解：(1)如圖所示， ＝＋＝－； ＝＋＝＋＝－. (2)由(1)知＝－，＝－， 所以||＝＝， ||＝＝. (3)由重心性質(zhì)知：＋＋＝0，所以有： 0＝x＋y＋＝x(－)＋y(－)－＝(x＋y－1)＋(－x)＋(－

28、y). 所以(x＋y－1)∶(－x)∶(－y)＝1∶1∶1?x＝y(tǒng)＝. [綜合題組練] 1．(2020·寧波諾丁漢大學(xué)附中期中考試)在△ABC中，BC＝7，AC＝6，cos C＝.若動(dòng)點(diǎn)P滿足＝(1－λ)＋(λ∈R)，則點(diǎn)P的軌跡與直線BC，AC所圍成的封閉區(qū)域的面積為(　　) A．5 B．10 C．2 D．4 解析：選A.設(shè)＝，因?yàn)椋?1－λ)＋＝(1－λ)＋λ，所以B，D，P三點(diǎn)共線．所以P點(diǎn)軌跡為直線BC.在△ABC中，BC＝7，AC＝6，cos C＝，所以sin C＝，所以S△ABC＝×7×6×＝15，所以S△BCD＝S△ABC＝5. 2．設(shè)兩個(gè)向量a＝(λ＋2，

29、λ2－cos2α)和b＝，其中λ，m，α為實(shí)數(shù)，若a＝2b，則的取值范圍是(　　) A．[－6，1] B．[4，8] C．(－∞，1] D．[－1，6] 解析：選A.由a＝2b，得 所以 又cos2α＋2sin α＝－sin2 α＋2sin α＋1＝－(sin α－1)2＋2，所以－2≤cos2α＋2sin α≤2，所以－2≤λ2－m≤2， 將λ2＝(2m－2)2代入上式，得－2≤(2m－2)2－m≤2，得≤m≤2，所以＝＝2－∈[－6，1]． 3．已知向量＝(3，－4)，＝(0，－3)，＝(5－m，－3－m)，若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m滿足的條件是______

30、__________． 解析：由題意得＝(－3，1)，＝(2－m，1－m)，若A，B，C能構(gòu)成三角形，則，不共線，則－3×(1－m)≠1×(2－m)，解得m≠. 答案：m≠ 4．(2020·浙江名校新高考研究聯(lián)盟聯(lián)考)如圖，在等腰梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝DC＝CB＝AB＝1，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在以A為圓心，AD為半徑的圓弧上變動(dòng)，E為圓弧與AB的交點(diǎn)，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，則2λ－μ的取值范圍是________． 解析：建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示， 則A(0，0)，E(1，0)，D，B(2，0)， C，F(xiàn)； 設(shè)P(cos α，sin α)(0°≤α≤60°)

31、， 因?yàn)椋溅耍蹋? 所以(cos α，sin α)＝λ＋μ. 所以 所以2λ－μ＝sin α－cos α＝2sin(α－30°)， 因?yàn)?°≤α≤60°，所以－1≤2sin(α－30°)≤1. 答案：[－1，1] 5．(2020·嘉興模擬)已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(0，2)，B(4，6)，＝t1＋t2. (1)求點(diǎn)M在第二或第三象限的充要條件； (2)求證：當(dāng)t1＝1時(shí)，不論t2為何實(shí)數(shù)，A、B、M三點(diǎn)都共線． 解：(1)＝t1＋t2 ＝t1(0，2)＋t2(4，4)＝(4t2，2t1＋4t2)． 當(dāng)點(diǎn)M在第二或第三象限時(shí)，有 故所求的充要條件為t2＜0且t1＋2t2≠

32、0. (2)證明：當(dāng)t1＝1時(shí)，由(1)知＝(4t2，4t2＋2)． 因?yàn)椋剑?4，4)，＝－＝(4t2，4t2)＝t2(4，4)＝t2，且有公共點(diǎn)A， 所以不論t2為何實(shí)數(shù)，A、B、M三點(diǎn)都共線． 6．已知a＝(1，0)，b＝(2，1)． (1)當(dāng)k為何值時(shí)，ka－b與a＋2b共線？ (2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A、B、C三點(diǎn)共線，求m的值． 解：(1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)， a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)． 因?yàn)閗a－b與a＋2b共線，所以2(k－2)－(－1)×5＝0， 即2k－4＋5＝0，得k＝－. (2)法一：因?yàn)锳、B、C三點(diǎn)共線， 所以＝λ，即2a＋3b＝λ(a＋mb)， 所以，解得m＝. 法二：＝2a＋3b＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)， ＝a＋mb＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m)． 因?yàn)锳、B、C三點(diǎn)共線，所以∥. 所以8m－3(2m＋1)＝0， 即2m－3＝0，所以m＝. 18