10、
A.或－1 B．2或
C．2或1 D．2或－1
答案 D
解析 作出可行域(如圖)，為△ABC內(nèi)部(含邊界)．由題設(shè)z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一可知：線性目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)直線與可行域某一邊界重合．由kAB＝－1，kAC＝2，kBC＝可得a＝－1或a＝2或a＝，驗(yàn)證：a＝－1或a＝2時(shí)，成立；a＝時(shí)，不成立．故選D.
考向 利用線性規(guī)劃解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題
例 5 [2016·全國(guó)卷Ⅰ]某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3個(gè)
11、工時(shí)．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤(rùn)為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤(rùn)為900元．該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過(guò)600個(gè)工時(shí)的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤(rùn)之和的最大值為 ________元．
答案 216000
解析 設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品A x件，生產(chǎn)產(chǎn)品B y件，利潤(rùn)之和為z元，則z＝2100x＋900y.
根據(jù)題意得即
作出可行域(如圖)．
由
得
當(dāng)直線2100x＋900y－z＝0過(guò)點(diǎn)A(60,100)時(shí)，z取得最大值，zmax＝2100×60＋900×100＝216000.
故所求的最大值為216000元．
觸類(lèi)旁通
用線性規(guī)劃求解實(shí)際問(wèn)題的一般步驟
12、
(1)認(rèn)真分析并掌握實(shí)際問(wèn)題的背景，收集有關(guān)數(shù)據(jù)；
(2)將影響該問(wèn)題的各項(xiàng)主要因素作為決策量，設(shè)未知量；
(3)根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，寫(xiě)出約束條件；
(4)根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，寫(xiě)出目標(biāo)函數(shù)，并求出最優(yōu)解或其他要求的解．
【變式訓(xùn)練2】 [2018·江西模擬]某農(nóng)戶(hù)計(jì)劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過(guò)50畝，投入資金不超過(guò)54萬(wàn)元，假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價(jià)如下表：
年產(chǎn)量/畝
年種植成本/畝
每噸售價(jià)
黃瓜
4噸
1.2萬(wàn)元
0.55萬(wàn)元
韭菜
6噸
0.9萬(wàn)元
0.3萬(wàn)元
為使一年的種植總利潤(rùn)(總利潤(rùn)＝總銷(xiāo)售收入－總種植成本)最大，那么黃瓜和韭菜的種植
13、面積(單位：畝)分別為( )
A．50,0 B．30,20 C．20,30 D．0,50
答案 B
解析 設(shè)種植黃瓜x(chóng)畝，種植韭菜y畝，因此，原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在條件
下，
求z＝0.55×4x＋0.3×6y－1.2x－0.9y＝x＋0.9y的最大值．畫(huà)出可行域如圖．利用線性規(guī)劃知識(shí)可知，當(dāng)x，
y取的交點(diǎn)(30,20)時(shí)，z取得最大值．故選B.
核心規(guī)律
1.解線性規(guī)劃應(yīng)用題，可先找出各變量之間的關(guān)系，最好列成表格，然后用字母表示變量，列出線性約束條件；寫(xiě)出要研究的函數(shù)，轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃問(wèn)題．
2.利用線性規(guī)劃的思想結(jié)合代數(shù)式的幾何意義可以解決一些非線性規(guī)劃問(wèn)題
14、．
滿分策略
1.畫(huà)平面區(qū)域時(shí)：含等號(hào)，直線畫(huà)為實(shí)線；不含等號(hào)，直線畫(huà)為虛線．
2.在通過(guò)求直線的截距的最值間接求出z的最值時(shí)，要注意：當(dāng)b>0時(shí)，截距取最大值時(shí)，z也取最大值；截距取最小值時(shí)，z也取最小值；當(dāng)b<0時(shí)，截距取最大值時(shí)，z取最小值；截距取最小值時(shí)，z取最大值.
板塊三 啟智培優(yōu)·破譯高考
題型技法系列9——非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題
[2016·江蘇高考]已知實(shí)數(shù)x，y滿足
則x2＋y2的取值范圍是________．
解題視點(diǎn) 本題中x2＋y2的幾何意義是點(diǎn)(x，y)到原點(diǎn)的距離的平方，不能遺漏平方．
解析 不等式組所表示的平面區(qū)
15、域是以點(diǎn)(0,2)，(1,0)，(2,3)為頂點(diǎn)的三角形及其內(nèi)部，如圖所示．因?yàn)樵c(diǎn)到直線2x＋y－2＝0的距離為，所以(x2＋y2)min＝，又當(dāng)(x，y)取點(diǎn)(2,3)時(shí)，x2＋y2取得最大值13，故x2＋y2的取值范圍是.
答案
答題啟示 與二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域有關(guān)的非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題的求解一般要結(jié)合給定代數(shù)式的幾何意義來(lái)完成．常見(jiàn)代數(shù)式的幾何意義：(1)表示點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0,0)的距離；(2)表示點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)之間的距離；(3)表示點(diǎn)(x，y)到直線Ax＋By＋C＝0的距離；(4)表示點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0,0)連線的斜率；(5)表示點(diǎn)(x，
16、y)與點(diǎn)(a，b)連線的斜率．
跟蹤訓(xùn)練
[2018·成都模擬]設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組
則ω＝的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 作出不等式組所表示的可行域，如圖中陰影部分所示，由于可以看作直線的斜率形式，于是問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為求可行域內(nèi)的哪些點(diǎn)與點(diǎn)A(－1，1)連線的斜率最大、最小問(wèn)題．
如圖，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)B(1,0)時(shí)，斜率最小，此時(shí)ω＝＝－；
當(dāng)直線與x－y＝0平行時(shí)，斜率最大，此時(shí)ω＝1，但它與陰影區(qū)域無(wú)交點(diǎn)，取不到．
故ω＝的取值范圍是.故選B.
板塊四 模擬演練·提能增分
[A級(jí) 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]
1．[2017·北京高
17、考]若x，y滿足則x＋2y的最大值為( )
A．1 B．3 C．5 D．9
答案 D
解析 作出可行域如圖陰影部分所示．
設(shè)z＝x＋2y，則y＝－x＋z.
作出直線l0：y＝－x，并平移該直線，可知當(dāng)直線y＝－x＋z過(guò)點(diǎn)C時(shí)，z取得最大值．
由得故C(3,3)．
∴zmax＝3＋2×3＝9.故選D.
2．[2017·浙江高考]若x，y滿足約束條件
則z＝x＋2y的取值范圍是( )
A．[0,6] B．[0,4]
C．[6，＋∞) D．[4，＋∞)
答案 D
解析 作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示．
由題意可知，當(dāng)直線y＝－
18、x＋過(guò)點(diǎn)A(2,1)時(shí)，z取得最小值，即zmin＝2＋2×1＝4.所以z＝x＋2y的取值范圍是[4，＋∞)．故選D.
3．[2018·陜西黃陵中學(xué)模擬]已知變量x，y滿足約束條件目標(biāo)函數(shù)z＝x＋2y的最大值為10，則實(shí)數(shù)a的值等于( )
A．4 B. C．2 D．8
答案 A
解析 由不等式組可得可行域如圖中陰影部分所示，當(dāng)直線z＝x＋2y經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(a，a－1)時(shí)，z取得最大值，由已知得a＋2(a－1)＝10，解得a＝4.故選A.
4.[2018·開(kāi)封模擬]設(shè)變量x，y滿足約束條件
則目標(biāo)函數(shù)z＝x2＋y2的取值范圍為( )
A．[2,8] B．[4,13]
19、C．[2,13] D.
答案 C
解析 作出可行域，如圖中陰影部分，將目標(biāo)函數(shù)看作是可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，從而可得zmin＝|OA|2＝2＝2，zmax＝|OB|2＝32＋22＝13.故z的取值范圍為[2,13]．
5．[2015·陜西高考]某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原料，已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示．如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤(rùn)分別為3萬(wàn)元、4萬(wàn)元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤(rùn)為( )
甲
乙
原料限額
A(噸)
3
2
12
B(噸)
1
2
8
A．12萬(wàn)元 B．16萬(wàn)元 C．17萬(wàn)元
20、D．18萬(wàn)元
答案 D
解析 設(shè)該企業(yè)每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸，乙產(chǎn)品y噸，獲利z元．
則由題意知利潤(rùn)函數(shù)z＝3x＋4y.
畫(huà)出可行域如圖所示，當(dāng)直線3x＋4y－z＝0過(guò)點(diǎn)B時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值．由
解得
故利潤(rùn)函數(shù)的最大值為z＝3×2＋4×3＝18(萬(wàn)元)．故選D.
6．某校今年計(jì)劃招聘女教師a名，男教師b名，若a，b滿足不等式組設(shè)這所學(xué)校今年計(jì)劃招聘教師最多x名，則x＝( )
A．10 B．12 C．13 D．16
答案 C
解析 畫(huà)出約束條件所表示的區(qū)域，即可行域，如圖陰影部分所示，作直線l：b＋a＝0，平移直線l，再由a，b∈N，可知當(dāng)a＝6，b＝7時(shí)，
21、x＝a＋b＝13.故選C.
7．[2017·全國(guó)卷Ⅰ]設(shè)x，y滿足約束條件
則z＝3x－2y的最小值為_(kāi)_______．
答案 －5
解析 作出可行域如圖陰影部分所示．
由z＝3x－2y，得y＝x－.
作出直線l0：y＝x，并平移l0，知當(dāng)直線y＝x－過(guò)點(diǎn)A時(shí)，z取得最小值．
由得A(－1,1)，
∴zmin＝3×(－1)－2×1＝－5.
8．[2018·遼寧模擬]設(shè)變量x，y滿足則2x＋3y的最大值為_(kāi)_______．
答案 55
解析 不等式組表示的區(qū)域如圖所示，令z＝2x＋3y，目標(biāo)函數(shù)變?yōu)閥＝－x＋，因此截距越大，z的取值越大，故當(dāng)直線z＝2x＋3y經(jīng)過(guò)點(diǎn)
22、A時(shí)，z最大，由于?故點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5,15)，代入z＝2x＋3y，得到zmax＝55，即2x＋3y的最大值為55.
9．已知變量x，y滿足約束條件且有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)(x，y)使目標(biāo)函數(shù)z＝x＋my取得最小值，求m的值．
解 作出線性約束條件表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示．
若m＝0，則z＝x，目標(biāo)函數(shù)z＝x＋my取得最小值的最優(yōu)解只有一個(gè)，不符合題意．
若m≠0，則目標(biāo)函數(shù)z＝x＋my可看作斜率為－的動(dòng)直線y＝－x＋，
若m<0，則－>0，數(shù)形結(jié)合知使目標(biāo)函數(shù)z＝x＋my取得最小值的最優(yōu)解不可能有無(wú)窮多個(gè)；
若m>0，則－<0，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)動(dòng)直線與直線AB重合時(shí)，有無(wú)窮多
23、個(gè)點(diǎn)(x，y)，在線段AB上，使目標(biāo)函數(shù)z＝x＋my取得最小值，即－＝－1，則m＝1.
綜上可知，m＝1.
10．變量x，y滿足
(1)設(shè)z＝，求z的最小值；
(2)設(shè)z＝x2＋y2，求z的取值范圍；
(3)設(shè)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的取值范圍．
解 由約束條件
作出(x，y)的可行域如圖所示．
由
解得A.
由
解得C(1,1)．
由解得B(5,2)．
(1)因?yàn)閦＝＝，
所以z的值即是可行域中的點(diǎn)與原點(diǎn)O連線的斜率．觀察圖形可知zmin＝kOB＝.
(2)z＝x2＋y2的幾何意義是可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離的平方．結(jié)合圖形可知，可行域上的點(diǎn)到
24、原點(diǎn)的距離中，dmin＝|OC|＝，dmax＝|OB|＝.所以2≤z≤29.
(3)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的幾何意義是可行域上的點(diǎn)到點(diǎn)(－3,2)的距離的平方．結(jié)合圖形可知，可行域上的點(diǎn)到(－3,2)的距離中，dmin＝1－(－3)＝4，dmax＝＝8.所以16≤z≤64.
[B級(jí) 知能提升]
1．[2018·南昌調(diào)研]設(shè)變量x，y滿足約束條件
則z＝|x－3y|的最大值為( )
A．10 B．8 C．6 D．4
答案 B
解析 不等式組
所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示．
當(dāng)平移直線x－3y＝0過(guò)點(diǎn)A時(shí)，m＝x－3y取最大
25、值；
當(dāng)平移直線x－3y＝0過(guò)點(diǎn)C時(shí)，m＝x－3y取最小值．
由題意可得A(－2，－2)，C(－2,2)，所以mmax＝－2－3×(－2)＝4，mmin＝－2－3×2＝－8，
所以－8≤m≤4，所以|m|≤8，即zmax＝8.
2．若不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)槿切?，且其面積等于，則m的值為( )
A．－3 B．1 C. D．3
答案 B
解析 作出可行域，如圖中陰影部分所示，
易求A，B，C，D的坐標(biāo)分別為A(2,0)，
B(1－m,1＋m)，
C，
D(－2m,0)．S△ABC＝S△ADB－S△ADC＝|AD|·|yB－yC|＝(2＋2m)＝(1＋m)·＝，
26、解得m＝1或m＝－3(舍去)．
3．實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組則z＝|x＋2y－4|的最大值為_(kāi)_______．
答案 21
解析 作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示．z＝|x＋2y－4|＝·，即其幾何含義為陰影區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到直線x＋2y－4＝0的距離的倍．
由得B點(diǎn)坐標(biāo)為(7,9)，顯然點(diǎn)B到直線x＋2y－4＝0的距離最大，此時(shí)zmax＝21.
4．[2018·德州檢測(cè)]若x，y滿足約束條件
(1)求目標(biāo)函數(shù)z＝x－y＋的最值；
(2)若目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋2y僅在點(diǎn)(1,0)處取得最小值，求a的取值范圍．
解 (1)作出可行域如圖，可求得A(3,4)，B(0,1
27、)，C(1,0)．
平移初始直線x－y＋＝0，可知z＝x－y＋過(guò)A(3,4)時(shí)取最小值－2，過(guò)C(1,0)時(shí)取最大值1.
所以z的最大值為1，最小值為－2.
(2)直線ax＋2y＝z僅在點(diǎn)(1,0)處取得最小值，由圖象可知－1<－<2，解得－4
28、
已知電視臺(tái)每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時(shí)間不多于600分鐘，廣告的總播放時(shí)間不少于30分鐘，且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍．分別用x，y表示每周計(jì)劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù)．
(1)用x，y列出滿足題目條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫(huà)出相應(yīng)的平面區(qū)域；
(2)問(wèn)電視臺(tái)每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各多少次，才能使總收視人次最多？
解 (1)由已知，x，y滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為
即
該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)閳D1中的陰影部分中的整數(shù)點(diǎn)．
圖1
圖2
(2)設(shè)總收視人次為z萬(wàn)，則目標(biāo)函數(shù)為z＝60x＋25y.
考慮z＝60x＋25y，將它變形為y＝－x＋，這是斜率為－，隨z變化的一族平行直線.為直線在y軸上的截距，當(dāng)取得最大值時(shí)，z的值最大．
又因?yàn)閤，y滿足約束條件，所以由圖2可知，當(dāng)直線z＝60x＋25y經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)M時(shí)，截距最大，即z最大．
解方程組得則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6,3)．
所以，電視臺(tái)每周播出甲連續(xù)劇6次、乙連續(xù)劇3次時(shí)，才能使總收視人次最多．
21
（全國(guó)版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6章 不等式 第3講 二元一次不等式(組)及簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題學(xué)案
