(全國版)2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 平面解析幾何 第7講 拋物線學(xué)案
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1、 第7講 拋物線 板塊一 知識梳理·自主學(xué)習(xí) [必備知識] 考點1 拋物線的定義 平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不過F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線的焦點,直線l叫做拋物線的準線. 其數(shù)學(xué)表達式:|MF|=d(其中d為點M到準線的距離). 考點2 拋物線的標(biāo)準方程與幾何性質(zhì) [必會結(jié)論] 拋物線焦點弦的幾個常用結(jié)論 設(shè)AB是過拋物線y2=2px(p>0)焦點F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),則: (1)x1x2=,y1y2=-p2. (2)弦長|AB|=x1+x2+p=(α為弦AB的傾斜角). (3)以弦AB為直徑的圓
2、與準線相切. (4)通徑:過焦點垂直于對稱軸的弦長等于2p. [考點自測] 1.判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”) (1)平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡一定是拋物線.( ) (2)若直線與拋物線只有一個交點,則直線與拋物線一定相切.( ) (3)方程y=ax2(a≠0)表示的曲線是焦點在x軸上的拋物線,且其焦點坐標(biāo)是,準線方程是x=-.( ) (4)拋物線既是中心對稱圖形,又是軸對稱圖形.( ) (5)AB為拋物線y2=2px(p>0)的過焦點F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2
3、),則x1x2=,y1y2=-p2,弦長|AB|=x1+x2+p.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 2.[2018·江西八校聯(lián)考]已知拋物線y=ax2(a>0)的焦點到準線的距離為2,則a=( ) A.4 B.2 C. D. 答案 C 解析 化為標(biāo)準方程x2=y(tǒng),據(jù)題意=2×2,∴a=. 3.[課本改編]設(shè)拋物線y2=8x上一點P到y(tǒng)軸的距離是4,則點P到該拋物線焦點的距離是( ) A.4 B.6 C.8 D.12 答案 B 解析 拋物線準線方程x=-2,∴點P到準線的距離為6,∴P到焦點的距離也為6,選B. 4.[課本改編]
4、已知拋物線C與雙曲線x2-y2=1有相同的焦點,且頂點在原點,則拋物線C的方程是( ) A.y2=±2x B.y2=±2x C.y2=±4x D.y2=±4x 答案 D 解析 由已知知雙曲線的焦點為(-,0),(,0).設(shè)拋物線方程為y2=±2px(p>0),則=,所以p=2,所以拋物線方程為y2=±4x.故選D. 5.已知AB是拋物線y2=2x的一條焦點弦,|AB|=4,則AB中點C的橫坐標(biāo)是( ) A.2 B. C. D. 答案 C 解析 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|=x1+x2+p=4,又p=1,∴x1+x2=3,∴點C的橫坐標(biāo)是=.
5、故選C. 6.[2018·唐山模擬]若拋物線x2=ay過點A,則點A到此拋物線的焦點的距離為________. 答案 解析 由題意可知,點A在拋物線x2=ay上,所以1=a,解得a=4,得x2=4y.由拋物線的定義可知點A到焦點的距離等于點A到準線的距離,所以點A到拋物線的焦點的距離為yA+1=+1=. 板塊二 典例探究·考向突破 考向 拋物線的方程及幾何性質(zhì) 例1 (1)[2016·全國卷Ⅱ]設(shè)F為拋物線C:y2=4x 的焦點,曲線y=(k>0)與C交于點P,PF⊥x軸,則k=( ) A. B.1 C. D.2 答案 D
6、
解析 易知拋物線的焦點為F(1,0),設(shè)P(xP,yP),由PF⊥x軸,可得xP=1,代入拋物線方程,得yP=2(-2舍去),把P(1,2)代入曲線y=(k>0),得k=2.
(2)已知過拋物線y2=2px(p>0)的焦點,斜率為2的直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1 7、程為y2=8x.
②由①得4x2-5px+p2=0,即x2-5x+4=0,則x1=1,x2=4,于是y1=-2,y2=4,從而A(1,-2),B(4,4).設(shè)C(x3,y3),則=(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4)=(4λ+1,4λ-2).
又y=8x3,所以[2(2λ-1)]2=8(4λ+1),整理得(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.
觸類旁通
求拋物線方程的三個注意點
(1)當(dāng)坐標(biāo)系已建立時,要注意根據(jù)條件確定拋物線方程屬于四種類型中的哪一種;
(2)要注意把握拋物線的頂點、對稱軸、開口方向與方程之間的對應(yīng)關(guān)系;
(3)要注意參數(shù)p的幾何意義是焦點到準線的 8、距離,利用它的幾何意義來解決問題.
【變式訓(xùn)練1】 (1)已知拋物線y2=2px(p>0),過其焦點且斜率為-1的直線交拋物線于A,B兩點,若線段AB的中點的橫坐標(biāo)為3,則該拋物線的準線方程為( )
A.x=1 B.x=2
C.x=-1 D.x=-2
答案 C
解析 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為y=-,與拋物線方程聯(lián)立得消去y整理得:x2-3px+=0,可得x1+x2=3p.根據(jù)中點坐標(biāo)公式,有=3,p=2,因此拋物線的準線方程為x=-1.
(2)過拋物線C:y2=4x的焦點F作直線l交拋物線C于A,B兩點,若A到拋物線的準線的距離為4,則| 9、AB|=________.
答案
解析 設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),
∵y2=4x,∴拋物線的準線為x=-1,F(xiàn)(1,0),
又A到拋物線準線的距離為4,
∴xA+1=4,∴xA=3,
∵xAxB==1,∴xB=,
∴|AB|=xA+xB+p=3++2=.
考向 拋物線定義及應(yīng)用
命題角度1 到焦點與到定點距離之和最小問題
例2 [2018·贛州模擬]若點A的坐標(biāo)為(3,2),F(xiàn)是拋物線y2=2x的焦點,點M在拋物線上移動時,使|MF|+|MA|取得最小值的M的坐標(biāo)為( )
A.(0,0) B.
C.(1,) 10、 D.(2,2)
答案 D
解析 過M點作準線的垂線,垂足是N,則|MF|+|MA|=|MN|+|MA|,當(dāng)A,M,N三點共線時,|MF|+|MA|取得最小值,此時M(2,2).
命題角度2 到點與準線的距離之和最小問題
例3 [2018·邢臺模擬]已知M是拋物線x2=4y上一點,F(xiàn)為其焦點,點A在圓C:(x+1)2+(y-5)2=1上,則|MA|+|MF|的最小值是________.
答案 5
解析 依題意,由點M向拋物線x2=4y的準線l:y=-1引垂線,垂足為M1,則有|MA|+|MF|=|MA|+|MM1|,結(jié)合圖形可知|MA 11、|+|MM1|的最小值等于圓心C(-1,5)到y(tǒng)=-1的距離再減去圓C的半徑,即等于6-1=5,因此|MA|+|MF|的最小值是5.
命題角度3 到定直線的距離最小問題
例4 已知直線l1:4x-3y+6=0和直線l2:x=-1,拋物線y2=4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是( )
A. B.2 C. D.3
答案 B
解析 由題可知l2:x=-1是拋物線y2=4x的準線,設(shè)拋物線的焦點為F(1,0),則動點P到l2的距離等于|PF|,則動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值,即焦點F到直線l1:4x-3y+6=0的距離,所以最小值是=2.
命 12、題角度4 焦點弦中距離之和最小問題
例5 已知F是拋物線y2=x的焦點,A,B是該拋物線上的兩點,且|AF|+|BF|=3,則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為( )
A. B.1 C. D.
答案 C
解析 如圖所示,設(shè)拋物線的準線為l,AB的中點為M,作AA1⊥l于A1,BB1⊥l于B1,MM1⊥l于M1,由拋物線的定義知p=,|AA1|+|BB1|=|AF|+|BF|=3,
則點M到y(tǒng)軸的距離為|MM1|-=(|AA1|+|BB1|)-=.
觸類旁通
與拋物線有關(guān)的最值問題的兩個轉(zhuǎn)化策略
(1)將拋物線上的點到準線的距離轉(zhuǎn)化為該點到焦點的距離,構(gòu)造出“兩點之間線段最 13、短”,使問題得解.
(2)將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離,利用“與直線上所有點的連線中垂線段最短”原理解決.
考向 拋物線在實際生活中的應(yīng)用
例6 一條隧道的橫斷面由拋物線弧及一個矩形的三邊圍成,尺寸(單位:m)如圖所示,一輛卡車空車時能通過此隧道,現(xiàn)載一集裝箱,箱寬3 m,車與箱共高4.5 m,此車能否通過隧道?說明理由.
解 建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,設(shè)矩形的邊與拋物線的接點為A,B,則A(-3,-3),B(3,-3).
設(shè)拋物線方程為x2=-2py(p>0),
將B點坐標(biāo)代入得9=-2p·(-3),所以p=.
所以拋物線方程為x2=-3y(-3 14、≤y≤0).
因為車與箱共高4.5 m,
所以集裝箱上表面距拋物線隧道拱頂0.5 m.
設(shè)拋物線上點D的坐標(biāo)為(x0,-0.5),則x=,
所以|x0|==,所以2|x0|=<3.
此車不能通過隧道.
觸類旁通
與拋物線有關(guān)的橋的跨度、隧道高低等問題,通常建立直角坐標(biāo)系,利用拋物線的標(biāo)準方程解決,注意建立直角坐標(biāo)系后坐標(biāo)的正負及其實際意義.
考向 直線與拋物線的綜合問題
例7 [2017·全國卷Ⅰ]設(shè)A,B為曲線C:y=上兩點,A與B的橫坐標(biāo)之和為4.
(1)求直線AB的斜率;
(2)設(shè)M為曲線C上一點,C在M處的切線與直線AB平行,且AM⊥BM,求直線AB的方程.
15、
解 (1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1≠x2,y1=,y2=,x1+x2=4,
于是直線AB的斜率k===1.
(2)由y=,得y′=.
設(shè)M(x3,y3),由題設(shè)知=1,解得x3=2,于是M(2,1).
設(shè)直線AB的方程為y=x+m,
故線段AB的中點為N(2,2+m),|MN|=|m+1|.
將y=x+m代入y=得x2-4x-4m=0.
當(dāng)Δ=16(m+1)>0,
即m>-1時,x1,2=2±2.
從而|AB|=|x1-x2|=4.
由題設(shè)知|AB|=2|MN|,即4=2(m+1),解得m=7.
所以直線AB的方程為y=x+7.
觸類旁通
16、
求解拋物線綜合問題的方法
(1)研究直線與拋物線的位置關(guān)系與研究直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系的方法類似,一般是用方程法,但涉及拋物線的弦長、中點、距離等問題時,要注意“設(shè)而不求”“整體代入”“點差法”以及定義的靈活應(yīng)用.
(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題,要注意直線是否過拋物線的焦點,若過拋物線的焦點,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p(焦點在x軸正半軸),若不過焦點,則必須用弦長公式.
【變式訓(xùn)練2】[2016·江蘇高考]如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線l:x-y-2=0,拋物線C:y2=2px(p>0).
(1)若直線l過拋物線C的焦點,求拋物線C的方程;
17、(2)已知拋物線C上存在關(guān)于直線l對稱的相異兩點P和Q.
①求證:線段PQ的中點坐標(biāo)為(2-p,-p);
②求p的取值范圍.
解 (1)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為,由點在直線l:x-y-2=0上,得-0-2=0,即p=4,所以拋物線C的方程為y2=8x.
(2)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),線段PQ的中點M(x0,y0).因為點P和Q關(guān)于直線l對稱,所以直線l垂直平分線段PQ,于是直線PQ的斜率為-1,
則可設(shè)其方程為y=-x+b.
①證明:由消去x,得y2+2py-2pb=0.
因為P和Q是拋物線C上的相異兩點,所以y1≠y2,
從而Δ=(2p)2-4× 18、(-2pb)>0,化簡得p+2b>0.
方程y2+2py-2pb=0的兩根為y1,2=-p±,從而y0==-p.
因為M(x0,y0)在直線l上,所以x0=2-p.
因此,線段PQ的中點坐標(biāo)為(2-p,-p).
②因為M(2-p,-p)在直線y=-x+b上,
所以-p=-(2-p)+b,即b=2-2p.
由①知p+2b>0,于是p+2(2-2p)>0,
所以p<.因此,p的取值范圍是.
核心規(guī)律
認真區(qū)分四種形式的標(biāo)準方程
(1)區(qū)分y=ax2與y2=2px(p>0),前者不是拋物線的標(biāo)準方程.
(2)求標(biāo)準方程要先確定形式,必要時要進行分類討論,標(biāo)準方程有時可設(shè)為y 19、2=mx或x2=my(m≠0).
滿分策略
1.求拋物線的標(biāo)準方程時一般要用待定系數(shù)法求出p值,但首先要判斷拋物線是否為標(biāo)準方程,以及是哪一種標(biāo)準方程.
2.求過焦點的弦或與焦點有關(guān)的距離問題,要多從拋物線的定義入手,這樣可以簡化問題.
3.直線與拋物線結(jié)合的問題,不要忘記驗證判別式.
板塊三 啟智培優(yōu)·破譯高考
數(shù)學(xué)思想系列 9——化歸轉(zhuǎn)化法解決拋物中的比值問題
(1)[2018·溫州十校聯(lián)考]已知點A(0,2),拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,射線FA與拋物線C相交于點M,與其準線相交于點N,若=,則p的值等于( ) 20、
A. B. C.2 D.4
解題視點 由四點共線得出斜率相等,進而得出M點的坐標(biāo).
解析 設(shè)M(xM,yM),N,由=,知=,所以yN=(+1)yM;由kFA=kFN知,=,所以yN=4,所以yM=;又=,所以-xM==,所以xM=,將(xM,yM)代入y2=2px,得2=2p×,解得p=2.故選C.
答案 C
(2)過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F作直線交拋物線于A,B,若S△OAF=4S△OBF,則直線AB的斜率為( )
A.± B.± C.± D.±
解題視點 將已知中的比值轉(zhuǎn)化為相關(guān)點的坐標(biāo)比值.
解析 根據(jù)題意設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2 21、).由S△OAF=4S△OBF,得|AF|=4|BF|,=4,得=4,故-y1=4y2,即=-4.設(shè)直線AB的方程為y=k,聯(lián)立消元得ky2-2py-kp2=0,故y1+y2=,y1y2=-p2,則=++2=-,∴-=-,解得k=±,即直線AB的斜率為±.故選D.
答案 D
答題啟示 圓錐曲線中存在線段比值問題,應(yīng)采用化歸轉(zhuǎn)化思想方法進而轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系,或有關(guān)點的坐標(biāo)關(guān)系,有時還利用相似比或三角函數(shù)求解.
跟蹤訓(xùn)練
過拋物線y2=4x的焦點F且斜率為2的直線交拋物線于A,B兩點(xA>xB),則=( )
A. B. C.3 D.2
答案 D
解析 設(shè)直線方程為y=2(x- 22、1)與y2=4x聯(lián)立得:2x2-5x+2=0,∴(2x-1)(x-2)=0,∴x1=,x2=
2.∵xA>xB,∴xA=2,xB=.∴===2.故選D.
板塊四 模擬演練·提能增分
[A級 基礎(chǔ)達標(biāo)]
1.若拋物線y2=2px上一點P(2,y0)到其準線的距離為4,則拋物線的標(biāo)準方程為( )
A.y2=4x B.y2=6x
C.y2=8x D.y2=10x
答案 C
解析 ∵拋物線y2=2px,∴準線為x=-.
∵點P(2,y0)到其準線的距離為4.∴=4.
∴p=4,∴拋物線的標(biāo)準方程為y2=8x.
2.已知拋物線C 23、:y2=x的焦點為F,A(x0,y0)是C上一點,|AF|=x0,則x0=( )
A.1 B.2 C.4 D.8
答案 A
解析 由題意知拋物線的準線為x=-.因為|AF|=x0,根據(jù)拋物線的定義可得x0+=|AF|=x0,解得x0=1.故選A.
3.[2016·全國卷Ⅰ]以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A,B兩點,交C的準線于D,E兩點.已知|AB|=4,|DE|=2,則C的焦點到準線的距離為( )
A.2 B.4 C.6 D.8
答案 B
解析 由題意,不妨設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0),由|AB|=4,|DE|=2,可取A,D,設(shè)O為坐標(biāo)原點,由|OA 24、|=|OD|,得+8=+5,得p=4.故選B.
4.[2018·運城模擬]已知拋物線x2=ay與直線y=2x-2相交于M,N兩點,若MN中點的橫坐標(biāo)為3,則此拋物線方程為( )
A.x2=y(tǒng) B.x2=6y
C.x2=-3y D.x2=3y
答案 D
解析 設(shè)點M(x1,y1),N(x2,y2).由消去y,得x2-2ax+2a=0,所以==3,即a=3,因此所求的拋物線方程是x2=3y.
5.已知直線ax+y+1=0經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點,則直線與拋物線相交弦的弦長為( )
A.6 B.7 C.8 D.9
答案 C
解析 拋物線y2=4x的焦點F(1,0 25、),點F在直線ax+y+1=0上,∴a+1=0,即a=-1,∴直線方程為x-y-1=0.聯(lián)立得x2-6x+1=0.設(shè)直線與拋物線交于點A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=6,∴|AB|=x1+x2+p=6+2=8.
6.[2018·鄭州模擬]已知F是拋物線y2=x的焦點,A,B是該拋物線上的兩點,若|AF|+|BF|=5,則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為________.
答案
解析 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則由拋物線定義可得|AF|+|BF|=5,即x1++x2+=5,解得x1+x2=,所以線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離=.
7.[2017·河北六校模擬]拋物 26、線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,點O是坐標(biāo)原點,過點O,F(xiàn)的圓與拋物線C的準線相切,且該圓的面積為36π,則拋物線的方程為________.
答案 y2=16x
解析 設(shè)滿足題意的圓的圓心為M.
根據(jù)題意可知圓心M在拋物線上.
又∵圓的面積為36π,
∴圓的半徑為6,則|MF|=xM+=6,即xM=6-.
又由題意可知xM=,∴=6-,解得p=8.
∴拋物線方程為y2=16x.
8.[2017·天津高考]設(shè)拋物線y2=4x的焦點為F,準線為l.已知點C在l上,以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點A.若∠FAC=120°,則圓的方程為________.
答案 (x+1) 27、2+(y-)2=1
解析 由y2=4x可得點F的坐標(biāo)為(1,0),準線l的方程為x=-1.
由圓心C在l上,且圓C與y軸正半軸相切(如圖),可得點C的橫坐標(biāo)為-1,圓的半徑為1,∠CAO=90°.又因為∠FAC=120°,所以∠OAF=30°,所以|OA|=,所以點C的縱坐標(biāo)為.
所以圓的方程為(x+1)2+(y-)2=1.
9.如圖,點O為坐標(biāo)原點,直線l經(jīng)過拋物線C:y2=4x的焦點F.設(shè)點A是直線l與拋物線C在第一象限的交點.以點F為圓心,|FA|為半徑的圓與x軸負半軸的交點為點B,與拋物線C在第四象限的交點為點D.
(1)若點O到直線l的距離為,求直線l的方程;
( 28、2)試判斷直線AB與拋物線C的位置關(guān)系,并給出證明.
解 (1)由題易知,拋物線C的焦點為F(1,0),
當(dāng)直線l的斜率不存在時,即x=1,不符合題意.
當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為:y=k(x-1),即kx-y-k=0.
所以=,解得k=±.
即直線l的方程為y=±(x-1).
(2)直線AB與拋物線C相切,證明如下:
設(shè)A(x0,y0),則y=4x0.
因為|BF|=|AF|=x0+1,所以B(-x0,0).
所以直線AB的方程為:y=(x+x0),
整理得,x=-x0,
把上式代入y2=4x得y0y2-8x0y+4x0y0=0,
Δ=64x-16x0y= 29、64x-64x=0,所以直線AB與拋物線C相切.
10.[2018·湖南模擬]已知過A(0,2)的動圓恒與x軸相切,設(shè)切點為B,AC是該圓的直徑.
(1)求C點軌跡E的方程;
(2)當(dāng)AC不在y軸上時,設(shè)直線AC與曲線E交于另一點P,該曲線在P處的切線與直線BC交于Q點.求證:△PQC恒為直角三角形.
解 (1)設(shè)C(x,y),A(0,2),則圓心坐標(biāo)為,又因為圓與x軸切于B點,所以B點坐標(biāo)為,圓的半徑為.
根據(jù)AC是圓的直徑得,|AC|=|y+2|,
即=|y+2|,兩邊平方整理得
x2=8y,所以C點的軌跡E的方程為x2=8y.
(2)證明:設(shè)AC所在直線的方程為y=kx+ 30、2,
與曲線E聯(lián)立得x2-8kx-16=0,
設(shè)C(x1,y1),P(x2,y2),則x1·x2=-16.
曲線E:x2=8y在點P(x2,y2)處切線的斜率為
k1=x=x2=,且B,
直線BC的斜率為k2===,
所以k1·k2 =×===-1,
所以PQ⊥BC,即△PQC為直角三角形.
[B級 知能提升]
1.已知拋物線C:y2=8x的焦點為F,準線為l,P是l上一點,Q是直線PF與C的一個交點,若=4,則|QF|=( )
A. B. C.3 D.2
答案 C
解析 過點Q作QQ′⊥l交l于點Q′,因為=4,所以|PQ|∶|PF|=3∶4,又焦點F到準線l 31、的距離為4,所以|QF|=|QQ′|=3.
2.[2018·安徽模擬]過拋物線y2=4x的焦點F的直線交該拋物線于A,B兩點,O為坐標(biāo)原點.若|AF|=3,則△AOB的面積為( )
A. B. C. D.2
答案 C
解析 焦點F(1,0),設(shè)A,B分別在第一、四象限,則點A到準線l:x=-1的距離為3,得A的橫坐標(biāo)為2,縱坐標(biāo)為2,AB的方程為y=2(x-1),與拋物線方程聯(lián)立可得2x2-5x+2=0,所以B的橫坐標(biāo)為,縱坐標(biāo)為-,S△AOB=×1×(2+)=.
3.[2017·山東高考]在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線-=1(a>0,b>0)的右支與焦點為F的拋物線x 32、2=2py(p>0)交于A,B兩點.若|AF|+|BF|=4|OF|,則該雙曲線的漸近線方程為________.
答案 y=±x
解析 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).
由得a2y2-2pb2y+a2b2=0,
∴y1+y2=.
又∵|AF|+|BF|=4|OF|,
∴y1++y2+=4×,即y1+y2=p,
∴=p,即=,∴=,
∴雙曲線的漸近線方程為y=±x.
4.設(shè)A,B為拋物線y2=x上相異兩點,其縱坐標(biāo)分別為1,-2,分別以A,B為切點作拋物線的切線l1,l2,設(shè)l1,l2相交于點P.
(1)求點P的坐標(biāo);
(2)M為A,B間拋物線段上任意一點,設(shè)=λ+μ 33、,試判斷+是否為定值?如果為定值,求出該定值;如果不是定值,請說明理由.
解 (1)知A(1,1),B(4,-2),設(shè)點P坐標(biāo)為(xp,yp),
切線l1:y-1=k(x-1),聯(lián)立
由拋物線與直線l1相切,解得k=,
即l1:y=x+,同理l2:y=-x-1,
聯(lián)立l1,l2的方程,可解得
即點P的坐標(biāo)為.
(2)設(shè)M(y,y0),且-2≤y0≤1,
由=λ+μ得=λ+μ,
即解得
則+=+=1,即+為定值1.
5.[2018·合肥模擬]已知拋物線C1:y2=4x和C2:x2=2py(p>0)的焦點分別為F1,F(xiàn)2,點P(-1,-1),且F1F2⊥OP(O為坐標(biāo)原點). 34、
(1)求拋物線C2的方程;
(2)過點O的直線交C1的下半部分于點M,交C2的左半部分于點N,求△PMN面積的最小值.
解 (1)F1(1,0),F(xiàn)2,∴=.
·=·(-1,-1)=1-=0,
∴p=2,
∴C2的方程為x2=4y.
(2)設(shè)過點O的直線為y=kx,聯(lián)立得
M,
聯(lián)立得N(4k,4k2)(k<0),
從而|MN|==,
點P到直線MN的距離d=,
進而S△PMN=··
==
=2.
令t=k+(t≤-2),有S△PMN=2(t-2)(t+1),
當(dāng)t=-2時,S△PMN有最小值8,此時k=-1.
即當(dāng)過原點的直線為y=-x時,△PMN的面積取得最小值8.
18
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