(通用版)2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 專題二 數(shù)列教學(xué)案 文
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1、 專題二 數(shù)列 [研高考·明考點(diǎn)] 年份 卷別 小題考查 大題考查 2017 卷Ⅰ ———— T17·等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和,等差數(shù)列的判定 卷Ⅱ ———— T17·等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和 卷Ⅲ ———— T17·數(shù)列的遞推關(guān)系及通項(xiàng)公式,裂項(xiàng)相消法求和 2016 卷Ⅰ ———— T17·等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及等比數(shù)列求和 卷Ⅱ ———— T17·等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列求和 卷Ⅲ ———— T17·數(shù)列的遞推關(guān)系及通項(xiàng)公式 2015 卷Ⅰ T7·等差數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和公式 ———— T13·等比數(shù)列的概念及前n項(xiàng)
2、和公式 卷Ⅱ T5·等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、性質(zhì)及前n項(xiàng)和公式 ———— T9·等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì) [析考情·明重點(diǎn)] 小題考情分析 大題考情分析 ??键c(diǎn) 1.等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算(3年2考) 2.等差、等比數(shù)列的性質(zhì)(3年2考) 常考點(diǎn) 高考對(duì)數(shù)列的考查若只出現(xiàn)在解答題中時(shí),常以數(shù)列的相關(guān)項(xiàng)以及關(guān)系式,或an與Sn的關(guān)系入手,結(jié)合等差、等比數(shù)列的定義展開考查,題型主要有: 1.等差、等比數(shù)列基本量的運(yùn)算 2.數(shù)列求和問題 3.等差、等比數(shù)列的判斷與證明 偶考點(diǎn) 1.三角函數(shù)的綜合問題 2.平面向量與解三角形、三角函數(shù)的綜合問題 偶考點(diǎn)
3、數(shù)列與其他知識(shí)的綜合問題 第一講 小題考法——等差數(shù)列與等比數(shù)列 考點(diǎn)(一) 主要考查方式有兩種:一是利用an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)an或前n項(xiàng)和Sn;二是利用an與an+1的關(guān)系求通項(xiàng)an或前n項(xiàng)和Sn. 數(shù)列的遞推關(guān)系式 [典例感悟] [典例] (1)(2017·云南調(diào)研)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足4(n+1)(Sn+1)=(n+2)2an(n∈N*),則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=( ) A.(n+1)3 B.(2n+1)2 C.8n2 D.(2n+1)2-1 (2)(2017·成都模擬)在數(shù)列{an}中,a1=1,a1+++…+=an
4、(n∈N*),則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=________. [解析] (1)當(dāng)n=1時(shí),4×(1+1)×(a1+1)=(1+2)2×a1,解得a1=8.當(dāng)n≥2時(shí),4(Sn+1)=,則4(Sn-1+1)=,兩式相減得,4an=-,整理得,=,所以an=··…··a1=××…××8=(n+1)3.檢驗(yàn)知,a1=8也符合,所以an=(n+1)3. (2)根據(jù)a1+++…+=an,① 有a1+++…+=an-1,② ①-②得,=an-an-1,即n2an-1=(n2-1)an, 所以==, 所以an=a1×××…× =1×××…×= = =. [答案] (1)A (2)
5、 [方法技巧] 由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式的注意事項(xiàng) (1)應(yīng)重視分類討論思想的應(yīng)用,分n=1和n≥2兩種情況討論,特別注意an=Sn-Sn-1成立的前提是n≥2. (2)由Sn-Sn-1=an推得an,當(dāng)n=1時(shí),a1也適合,則需統(tǒng)一表示(“合寫”). (3)由Sn-Sn-1=an推得an,當(dāng)n=1時(shí),a1不適合,則數(shù)列的通項(xiàng)公式應(yīng)分段表示(“分寫”),即an= [演練沖關(guān)] 1.(2018屆高三·廣東五校聯(lián)考)數(shù)列{an}滿足a1=1,且an+1=a1+an+n(n∈N*),則++…+=( ) A. B. C. D. 解析:選A 由a1=1,an+1=a1+an+
6、n可得an+1-an=n+1,利用累加法可得an-a1=,所以an=,所以==2,故++…+=2-+-+…+-=2=,故選A. 2.(2017·石家莊質(zhì)檢)數(shù)列{an}滿足an+1+(-1)nan=2n-1,則{an}的前60項(xiàng)和為( ) A.3 690 B.3 660 C.1 845 D.1 830 解析:選D 不妨令a1=1,根據(jù)題意,得a2=2,a3=a5=a7=…=1,a4=6,a6=10,…,所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),an=1,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)構(gòu)成以a2=2為首項(xiàng),以4為公差的等差數(shù)列.所以{an}的前60項(xiàng)和為S60=30+2×30+×4=1 830. 3.設(shè)數(shù)列{an
7、}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,則S5=________. 解析:∵an+1=2Sn+1,∴Sn+1-Sn=2Sn+1,∴Sn+1=3Sn+1,∴Sn+1+=3,∴數(shù)列是 公比為3的等比數(shù)列,∴=3.又S2=4,∴S1=1,∴S5+=×34=×34=,∴S5=121. 答案:121 考點(diǎn)(二) 主要考查與等差(比)數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式有關(guān)的五個(gè)基本量間的“知三求二”運(yùn)算. 等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算 [典例感悟] [典例] (1)(2016·全國卷Ⅰ)已知等差數(shù)列{an}前9項(xiàng)的和為27,a10=8,則a100=( ) A.100
8、 B.99 C.98 D.97 (2)(2017·全國卷Ⅲ)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1,公差不為0.若a2,a3,a6成等比數(shù)列,則{an}前6項(xiàng)的和為( ) A.-24 B.-3 C.3 D.8 (3)(2017·江蘇高考)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn.已知S3=,S6=,則a8=________. [解析] (1)∵{an}是等差數(shù)列,設(shè)其公差為d, ∴S9=(a1+a9)=9a5=27,∴a5=3. 又∵a10=8,∴ ∴ ∴a100=a1+99d=-1+99×1=98,故選C. (2)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d, 因
9、為a2,a3,a6成等比數(shù)列,所以a2a6=a, 即(a1+d)(a1+5d)=(a1+2d)2. 又a1=1,所以d2+2d=0. 又d≠0,則d=-2, 所以{an}前6項(xiàng)的和 S6=6×1+×(-2)=-24. (3)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則由S6≠2S3,得q≠1,則解得 則a8=a1q7=×27=32. [答案] (1)C (2)A (3)32 [方法技巧] 等差(比)數(shù)列基本運(yùn)算的解題思路 (1)設(shè)基本量:首項(xiàng)a1和公差d(公比q). (2)列、解方程(組):把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d(或q)的方程(組),然后求解,注意整體計(jì)算,以減少運(yùn)算量. [演
10、練沖關(guān)] 1.(2017·合肥質(zhì)檢)若等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足a2+S3=4,a3+S5=12,則a4+S7的值是( ) A.20 B.36 C.24 D.72 解析:選C 由a2+S3=4及a3+S5=12得解得∴a4+S7=8a1+24d=24.故選C. 2.(2017·全國卷Ⅲ)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a2=-1,a1-a3=-3,則a4=________. 解析:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q, 則a1+a2=a1(1+q)=-1, a1-a3=a1(1-q2)=-3, 兩式相除,得=,解得q=-2,a1=1, 所以a4=a1q3=-
11、8. 答案:-8 3.(2018屆高三·河南十校聯(lián)考)已知{an}是公差為1的等差數(shù)列,Sn為{an}的前n項(xiàng)和,若S8=4S4,則a10=________. 解析:∵{an}是公差為1的等差數(shù)列, ∴S8=8a1+28,S4=4a1+6. ∵S8=4S4, ∴8a1+28=4(4a1+6),解得a1=, ∴a10=a1+9d=+9=. 答案: 考點(diǎn)(三) 主要考查利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)求解基本量及與前n項(xiàng)和有關(guān)的最值問題. 等差、等比數(shù)列的性質(zhì) [典例感悟] [典例] (1)(2017·云南調(diào)研)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和,若a1+a2+a3
12、=4,a4+a5+a6=8,則S12=( ) A.40 B.60 C.32 D.50 (2)(2017·長(zhǎng)沙模擬)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a3=-1,a5=+1,則a+2a2a6+a3a7=( ) A.4 B.6 C.8 D.8-4 (3)(2018屆高三·湖南名校聯(lián)考)若{an}是等差數(shù)列,首項(xiàng)a1>0,a2 016+a2 017>0,a2 016·a2 017<0,則使前n項(xiàng)和Sn>0成立的最大正整數(shù)n是( ) A.2 016 B.2 017 C.4 032 D.4 033 [解析] (1)由等比數(shù)列的性質(zhì)可知,數(shù)列S
13、3,S6-S3,S9-S6,S12-S9是等比數(shù)列,即數(shù)列4,8,S9-S6,S12-S9是等比數(shù)列,所以S9-S6=16,S12-S9=32,所以S12=(S12-S9)+(S9-S6)+(S6-S3)+S3=32+16+8+4=60,故選B. (2)在等比數(shù)列{an}中,a3a7=a,a2a6=a3a5,所以a+2a2a6+a3a7=a+2a3a5+a=(a3+a5)2=(-1++1)2=(2)2=8,故選C. (3)因?yàn)閍1>0,a2 016+a2 017>0,a2 016·a2 017<0,所以d<0,a2 016>0,a2 017<0,所以S4 032==>0,S4 033==4
14、 033a2 017<0,所以使前n項(xiàng)和Sn>0成立的最大正整數(shù)n是4 032,故選C. [答案] (1)B (2)C (3)C [方法技巧] 等差、等比數(shù)列性質(zhì)問題的求解策略 (1)解題關(guān)鍵:抓住項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系及項(xiàng)的序號(hào)之間的關(guān)系,從這些特點(diǎn)入手選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)進(jìn)行求解. (2)運(yùn)用函數(shù)性質(zhì):數(shù)列是一種特殊的函數(shù),具有函數(shù)的一些性質(zhì),如單調(diào)性、周期性等,可利用函數(shù)的性質(zhì)解題. [演練沖關(guān)] 1.已知等差數(shù)列{an}中,a1=1,前10項(xiàng)和等于前5項(xiàng)和,若am+a6=0,則m=( ) A.10 B.9 C.8 D.2 解析:選A 記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為
15、Sn,由題意S10=S5,所以S10-S5=a6+a7+a8+a9+a10=0,又a6+a10=a7+a9=2a8,于是a8=0,又am+a6=0,所以m+6=2×8,解得m=10. 2.(2017·合肥質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a,公差為1的等差數(shù)列,數(shù)列{bn}滿足bn=.若對(duì)任意的n∈N*,都有bn≥b8成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ) A.(-8,-7) B.[-8,-7) C.(-8,-7] D.[-8,-7] 解析:選A 因?yàn)閧an}是首項(xiàng)為a,公差為1的等差數(shù)列,所以an=n+a-1,因?yàn)閎n==1+,又對(duì)任意的n∈N*都有bn≥b8成立,所以1+≥1+,即
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