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(江蘇專用)2019高考數(shù)學二輪復習 專題六 第3講 基本不等式及其應用學案 理

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1、第3講 基本不等式及其應用 高考定位 高考對本內(nèi)容的考查主要有(1)基本不等式的證明過程,A級要求;(2)利用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題,C級要求. 真 題 感 悟 1.(2017·江蘇卷)某公司一年購買某種貨物600噸,每次購買x噸,運費為6萬元/次,一年的總存儲費用為4x萬元.要使一年的總運費與總存儲費用之和最小,則x的值是________. 解析 一年的總運費與總存儲費用之和為y=6×+4x=+4x≥2=240,當且僅當=4x,即x=30時,y有最小值240. 答案 30 2.(2018·江蘇卷)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,∠ABC=12

2、0°,∠ABC的平分線交AC于點D,且BD=1,則4a+c的最小值為________. 解析 因為∠ABC=120°,∠ABC的平分線交AC于點D,所以∠ABD=∠CBD=60°,由三角形的面積公式可得acsin 120°=a×1×sin 60°+c×1×sin 60°,化簡得ac=a+c,又a>0,c>0,所以+=1,則4a+c=(4a+c)·=5++≥5+2=9,當且僅當c=2a時取等號,故4a+c的最小值為9. 答案 9 3.(2016·江蘇卷)已知函數(shù)f(x)=2x+,若對于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,則實數(shù)m的最大值為________. 解析 由條件知

3、f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2=(f(x))2-2. ∵f(2x)≥mf(x)-6對于x∈R恒成立,且f(x)>0, ∴m≤對于x∈R恒成立. 又=f(x)+≥2=4,且=4, ∴m≤4,故實數(shù)m的最大值為4. 答案 4 4.(2016·江蘇卷)在銳角三角形ABC中,若sin A=2sin Bsin C,則tan Atan Btan C的最小值是________. 解析 因為sin A=2sin Bsin C,所以sin(B+C)=2sin Bsin C, 所以sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bsin C, 等式兩邊同時除以cos

4、Bcos C,得tan B+tan C=2tan Btan C. 又因為tan A=-tan(B+C)=, 所以tan Atan Btan C-tan A=2tan Btan C,即tan Btan C(tan A-2)=tan A. 因為A,B,C為銳角,所以tan A,tan B,tan C>0,且tan A>2, 所以tan Btan C=,所以原式=. 令tan A-2=t(t>0),則===t++4≥8,當且僅當t=2, 即tan A=4時取等號.故tan Atan Btan C的最小值為8. 答案 8 考 點 整 合 1.基本不等式≤ (1)基本不等式成立的條件

5、:a≥0,b≥0; (2)等號成立的條件:當且僅當a=b時取等號; (3)其中稱為正數(shù)a,b的算術平均數(shù),稱為正數(shù)a,b的幾何平均數(shù). 2.幾個重要的不等式 (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),當且僅當a=b時取等號; (2)ab≤(a,b∈R),當且僅當a=b時取等號; (3)≥(a,b∈R),當且僅當a=b時取等號; (4)+≥2(a,b同號),當且僅當a=b時取等號. 3.利用基本不等式求最值 已知x≥0,y≥0,則 (1)如果積xy是定值p,那么當且僅當x=y(tǒng)時,x+y有最小值是2(簡記:積定和最小); (2)如果和x+y是定值s,那么當且僅當x=y(tǒng)時,xy有

6、最大值是(簡記:和定積最大). 熱點一 配湊法求最值 【例1】 (1)一段長為30 m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園,墻長18 m,則這個矩形的長為________m,寬為________m時菜園面積最大. (2)(2018·南京、鹽城一模)若實數(shù)x,y滿足x>y>0,且log2x+log2y=1,則的最小值為________. 解析 (1)設矩形的長為x m,寬為y m,則x+2y=30.所以S=xy=x·(2y)≤ =,當且僅當x=2y,即x=15,y=時取等號. (2)因為log2x+log2y=log2xy=1,所以xy=2.因為x>y>0,所以x-y>0.所以==x

7、-y+≥2=4,當且僅當x-y=2時取等號. 答案 (1)15  (2)4 探究提高 (1)應用基本不等式解題一定要注意應用的前提:“一正”“二定”“三相等”.所謂“一正”是指正數(shù),“二定”是指應用基本不等式求最值時,和或積為定值,“三相等”是指滿足等號成立的條件. (2)在利用基本不等式求最值時,要根據(jù)式子的特征靈活變形,配湊出積、和為常數(shù)的形式,然后再利用基本不等式. 【訓練1】 (1)(2017·宿遷期末)若函數(shù)f(x)=x+(x>2)在x=a處取最小值,則a=________. (2)若對x≥1,不等式x+-1≥a恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是________. 解析 (1

8、)當x>2時,x-2>0,f(x)=(x-2)++2≥2+2=4,當且僅當x-2=(x>2),即x=3時取等號,即當f(x)取得最小值時,即a=3. (2)因為函數(shù)f(x)=x+-1在[1,+∞)上單調(diào)遞增,所以函數(shù)g(x)=x+1+-2在[0,+∞)上單調(diào)遞增,所以函數(shù)g(x)在[1,+∞)的最小值為g(1)=,因此對x≥1不等式x+-1≥a恒成立,所以a≤g(x)min=. 答案 (1)3 (2) 熱點二 常數(shù)代換或消元法求最值 【例2】 (1)(2018·蘇州期末)已知正實數(shù)a,b,c,滿足+=1,+=1,則c的取值范圍是________. (2)若正數(shù)x,y滿足x+3y=5

9、xy,則3x+4y的最小值為________. 解析 (1)因為a+b=(a+b)=2++∈[4,+∞), 所以∈,從而=1-∈,得c∈. (2)法一 由x+3y=5xy及x,y均為正數(shù)可得+=1, ∴3x+4y=(3x+4y)=+++≥+=5.(當且僅當=,即x=1,y=時,等號成立), ∴3x+4y的最小值是5. 法二 由x+3y=5xy,得x=,∵x>0,y>0,∴y>, ∴3x+4y=+4y=+4y=+·+4 ≥+2=5,當且僅當y=時等號成立, ∴(3x+4y)min=5. 答案 (1) (2)5 探究提高 條件最值的求解通常有三種方法:一是消元法,即根據(jù)條件建

10、立兩個量之間的函數(shù)關系,然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解;二是將條件靈活變形,利用常數(shù)代換的方法構(gòu)造和或積為常數(shù)的式子,然后利用基本不等式求解最值;三是對條件使用基本不等式,建立所求目標函數(shù)的不等式求解. 【訓練2】 (1)設a>0,b>0.若a+b=1,則+的最小值是________. (2)(2018·南京模擬)已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,則x+3y的最小值為________. 解析 (1)由題意+=+=2++≥2+2=4,當且僅當=, 即a=b=時,取等號,所以最小值為4. (2)法一 (消元法) 由已知得x=.因為x>0,y>0,所以0<y<3, 所以x+3

11、y=+3y=+3(y+1)-6≥2-6=6, 當且僅當=3(y+1),即y=1,x=3時,(x+3y)min=6. 法二 ∵x>0,y>0,9-(x+3y)=xy=x·(3y)≤·, 當且僅當x=3y時等號成立.設x+3y=t>0,則t2+12t-108≥0, ∴(t-6)(t+18)≥0,又∵t>0,∴t≥6.故當x=3,y=1時,(x+3y)min=6. 答案 (1)4 (2)6 熱點三 基本不等式的綜合應用 【例3】 (1)設x,y,z均為大于1的實數(shù),且z為x和y的等比中項,則+的最小值為________. (2)(2016·蘇州暑假測試)設正四面體ABCD的棱長為,P

12、是棱AB上的任意一點(不與點A,B重合),且點P到平面ACD,平面BCD的距離分別為x,y,則+的最小值是________. 解析 (1)由題意得z2=xy,lg x>0,lg y>0, ∴+=+=+++ =++≥+2=, 當且僅當=,即lg y=2lg x,即y=x2時取等號. (2)過點A作AO⊥平面BCD于點O,則O為△BCD的重心, 所以OB=××=,所以AO==2. 又VP-BCD+VP-ACD=VA-BCD,所以S△BCD·y+S△ACD·x=S△BCD·2,即x+y=2. 所以+=(x+y)=≥2+,當且僅當x=3-,y=-1時取等號. 答案 (1) (2)2+

13、 探究提高 基本不等式在涉及求最值的問題中常常與數(shù)列、幾何、函數(shù)性質(zhì)等知識點綜合命題,體現(xiàn)了基本不等式的工具作用,在涉及求含參的問題中常常與恒成立問題、存在性問題綜合考查,但要注意等號的條件. 【訓練3】 (1)函數(shù)y=1-2x-(x<0)的值域為________. (2)若不等式x+2≤a(x+y)對任意的實數(shù)x,y∈(0,+∞)恒成立,則實數(shù)a的最小值為________. 解析 (1)∵x<0,∴y=1-2x-=1+(-2x)+≥1+2=1+2,當且僅當x=-時取等號,故函數(shù)y=1-2x-(x<0)的值域為[1+2,+∞). (2)由題意得a≥=恒成立.令t=(t>0),則a≥,

14、 再令1+2t=u(u>1),則t=,故a≥=. 因為u+≥2(當且僅當u=時等號成立),故u+-2≥2-2, 從而0<≤=,故a≥,即amin=. 答案 (1)[1+2,+∞) (2) 1.多次使用基本不等式的注意事項 當多次使用基本不等式時,一定要注意每次是否能保證等號成立,并且要注意取等號的條件的一致性,否則就會出錯,因此在利用基本不等式處理問題時,列出等號成立的條件不僅是解題的必要步驟,也是檢驗轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法. 2.基本不等式除了在客觀題考查外,在解答題的關鍵步驟中也往往起到“巧解”的作用,但往往需先變換形式才能應用. 3.基本不等式作為求最值的一個有力工具

15、常與其他知識點綜合命題,注意含參數(shù)問題在恒成立、存在性問題中的合理轉(zhuǎn)化. 一、填空題 1.(2018·蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市調(diào)研)已知a>0,b>0,且+=,則ab的最小值是________. 解析 因為=+≥2,所以ab≥2,當且僅當==時,取等號. 答案 2 2.若0

16、時,y取到最小值2. 答案 2 4.(2018·天津卷)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,則2a+的最小值為________. 解析 由題知a-3b=-6,因為2a>0,8b>0,所以2a+≥2×=2×=2=,當且僅當2a=,即a=-3,b=1時取等號. 答案  5.(2017·北京卷)已知x≥0,y≥0,且x+y=1,則x2+y2的取值范圍是________. 解析 法一 ∵x≥0,y≥0且x+y=1.∴2≤x+y=1,從而0≤xy≤,因此x2+y2=(x+y)2-2xy=1-2xy,所以≤x2+y2≤1. 法二 可轉(zhuǎn)化為線段AB上的點到原點距離平方的范圍,AB上的點到原

17、點距離的范圍為,則x2+y2的取值范圍為. 答案  6.若對于任意x>0,≤a恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是________. 解析?。?,因為x>0,所以x+≥2(當且僅當x=1時取等號), 則≤=,即的最大值為,故a≥. 答案  7.(2018·鹽城中學月考)設a是1+2b與1-2b的等比中項,則的最大值為________. 解析 依題意,a2=1-4b2,故a2+4b2=1≥4ab,故ab≤,≤≤,當且僅當或時,等號成立. 答案  8.(2018·蘇北四市調(diào)研)已知a,b∈R,a+b=4,則+的最大值為________. 解析 法一(ab作為一個變元) ab≤=4,+==

18、=.設t=9-ab≥5,則=≤=,當且僅當t2=80時等號成立,所以,+的最大值為. 法二(均值換元) 因為a+b=4,所以,令a=2+t,b=2-t,則f(t)=+=+=,令u=t2+5≥5,則g(u)==≤=,當且僅當u=4時等號成立.所以+的最大值為. 答案  二、解答題 9.(2017·南京、鹽城調(diào)研)設函數(shù)f(x)=ax2+(b-2)x+3(a≠0). (1)若不等式f(x)>0的解集為(-1,3),求a,b的值; (2)若f(1)=2,a>0,b>0,求+的最小值. 解 (1)由題意得即解得 (2)因為f(1)=2,所以a+b=1,所以+=(a+b)=5++≥9,

19、 當且僅當b=2a=時取等號.所以,+的最小值為9. 10.(1)當點(x,y)在直線x+3y-4=0上移動時,求3x+27y+2的最小值; (2)已知x,y都是正實數(shù),且x+y-3xy+5=0,求xy的最小值. 解 (1)由x+3y-4=0,得x+3y=4, 所以3x+27y+2=3x+33y+2≥2+2=2+2=2+2=20, 當且僅當3x=33y且x+3y-4=0, 即x=2,y=時取等號,此時所求的最小值為20. (2)由x+y-3xy+5=0,得x+y+5=3xy, 所以2+5≤x+y+5=3xy,所以3xy-2-5≥0, 所以(+1)(3-5)≥0,所以≥,即xy≥, 當且僅當x=y(tǒng)=時取等號,故xy的最小值是. 11.已知函數(shù)f(x)=(x≠a,a為非零常數(shù)). (1)解不等式f(x)a時,f(x)有最小值為6,求a的值. 解 (1)f(x)0時,(x-a)<0,∴解集為; 當a<0時,(x-a)>0,解集為. (2)設t=x-a,則x=t+a(t>0). ∴f(t)==t++2a≥2+2a=2+2a. 當且僅當t=,即t=時,等號成立,即f(x)有最小值2+2a. 依題意有2+2a=6,解得a=1. 10

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