2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 第八章 平面解析幾何 8-3 圓的方程《教案》
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1、2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 第八章 平面解析幾何 8-3 圓的方程《教案》 【教學(xué)目標(biāo)】 1.掌握確定圓的幾何要素,掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程. 2.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想. 【重點(diǎn)難點(diǎn)】 1.教學(xué)重點(diǎn):掌握確定圓的幾何要素及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程; 2.教學(xué)難點(diǎn):學(xué)會(huì)對(duì)知識(shí)進(jìn)行整理達(dá)到系統(tǒng)化,提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力; 【教學(xué)策略與方法】 自主學(xué)習(xí)、小組討論法、師生互動(dòng)法 【教學(xué)過(guò)程】 教學(xué)流程 教師活動(dòng) 學(xué)生活動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖
2、 環(huán)節(jié)二: 考綱傳真: 1.掌握確定圓的幾何要素,掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程. 2.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想. 真題再現(xiàn); 1.(xx·全國(guó)Ⅰ,14)一個(gè)圓經(jīng)過(guò)橢圓+=1的三個(gè) 頂點(diǎn),且圓心在x軸的正半軸上,則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 為________. 解析 由題意知圓過(guò)(
3、4,0),(0,2),(0,-2)三點(diǎn),(4,0),(0,-2)兩點(diǎn)的垂直平分線方程為y+1=-2(x-2),令y=0,解得x=,圓心為,半徑為.故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=. 答案?。珁2= 2.(xx·全國(guó)Ⅱ,4)圓x2+y2-2x-8y+13=0的圓心到直線ax+y-1=0的距離為1,則a=( ) A.- B.- C. D.2 解析 由圓的方程x2+y2-2x-8y+13=0得圓心坐標(biāo)為(1,4),由點(diǎn)到直線的距離公式得d==1,解之得a=-. 答案 A 3.(xx·全國(guó)Ⅱ,7)過(guò)三點(diǎn)A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圓交y軸于M、N兩點(diǎn),則|MN|=(
4、 ) A.2 B.8 C.4 D.10 解析 由已知,得=(3,-1),=(-3,-9),則·=3×(-3)+(-1)×(-9)=0,所以⊥,即AB⊥BC,故過(guò)三點(diǎn)A、B、C的圓以AC為直徑,得其方程為(x-1)2+(y+2)2=25,令x=0得(y+2)2=24,解得y1=-2-2,y2=-2+2,所以|MN|=|y1-y2|=4,選C. 答案 C 知識(shí)梳理: 知識(shí)點(diǎn) 圓的定義與方程 定義 平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡叫做圓 方程 標(biāo)準(zhǔn) (x-a)2+(y-b)2 =r2(r>0) 圓心(a,b) 半徑為r 一般 x2+y2+Dx+Ey+F=
5、0
充要條件:D2+E2-4F>0
圓心坐標(biāo):
半徑r=
1.必會(huì)結(jié)論
點(diǎn)M(x0,y0)與圓(x-a)2+(y-b)2=r2的位置關(guān)系:
(1)若M(x0,y0)在圓外,則(x0-a)2+(y0-b)2>r2.
(2)若M(x0,y0)在圓上,則(x0-a)2+(y0-b)2=r2.
(3)若M(x0,y0)在圓內(nèi),則(x0-a)2+(y0-b)2
6、點(diǎn)分項(xiàng)突破 考點(diǎn)一:求圓的方程 1.若圓C經(jīng)過(guò)(1,0),(3,0)兩點(diǎn),且與y軸相切,則圓C的方程為( ) A.(x-2)2+(y±2)2=3 B.(x-2)2+(y±)2=3 C.(x-2)2+(y±2)2=4 D.(x-2)2+(y±)2=4 【解析】 因?yàn)閳AC經(jīng)過(guò)(1,0),(3,0)兩點(diǎn),所以圓心在直線x=2上,又圓C與y軸相切,所以圓的半徑r=2,設(shè)圓心坐標(biāo)為(2,b),則(1-2)2+b2=4,b2=3,b=±.故選D.【答案】 D 2.(xx·山東高考)圓心在直線x-2y=0上的圓C 與y軸的正半軸相切,圓C截x軸所得弦的長(zhǎng)為2 則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為____
7、__________________. 【解析】 因圓C的圓心在直線x-2y=0上,且與y軸的正半軸相切,所以設(shè)圓心C(2b,b)(b>0),半徑r=2b.又圓C截x軸所得弦的長(zhǎng)為2,圓心C到x軸的距離為b,所以由勾股定理=,解得b=1.因此圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y-1)2=4. 【答案】 (x-2)2+(y-1)2=4 3.圓心在直線y=-4x上,且與直線l:x+y-1=0相切于點(diǎn)P(3,-2)的圓的方程為________. 【解析】 由題意設(shè)圓的方程為(x-a)2+(y+4a)2=r2(r>0),由圓與直線l:x+y-1=0相切于點(diǎn)P(3,-2)得 解得故所求圓的方程為
8、(x-1)2+(y+4)2=8. 【答案】 (x-1)2+(y+4)2=8 歸納;1.求圓的方程的兩種方法 (1)直接法:根據(jù)圓的幾何性質(zhì),直接求出圓心坐標(biāo)和半徑,進(jìn)而寫出方程. (2)待定系數(shù)法 ①若已知條件與圓心(a,b)和半徑r有關(guān),則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,依據(jù)已知條件列出關(guān)于a,b,r的方程組,從而求出a,b,r的值; ②若已知條件沒(méi)有明確給出圓心或半徑,則選擇圓的一般方程,依據(jù)已知條件列出關(guān)于D,E,F(xiàn)的方程組,進(jìn)而求出D,E,F(xiàn)的值. 2.確定圓心位置的方法 (1)圓心在過(guò)切點(diǎn)且與切線垂直的直線上. (2)圓心在圓的任意弦的垂直平分線上. (3)兩圓相切時(shí),切點(diǎn)與兩圓
9、圓心共線. 考點(diǎn)二: 與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題 (1)已知點(diǎn)A(-1,0),點(diǎn)B(2,0),動(dòng)點(diǎn)C滿足|AC|=|AB|,則點(diǎn)C與點(diǎn)P(1,4)所連線段的中點(diǎn)M的軌跡方程為________. (2)(xx·全國(guó)卷Ⅰ)已知點(diǎn)P(2,2),圓C:x2+y2-8y=0,過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為M,O為坐標(biāo)原點(diǎn). ①求M的軌跡方程; ②當(dāng)|OP|=|OM|時(shí),求l的方程及△POM的面積. 【解析】 (1)由題意|AC|=|AB|=3,則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為(x+1)2+y2=9,設(shè)C(x0,y0),M(x,y), 則即 又(x0+1)2+y=9,所以4x2+(2y
10、-4)2=9.即x2+(y-2)2=.【答案】 x2+(y-2)2= (2)①圓C的方程可化為x2+(y-4)2=16,所以圓心為C(0,4),半徑為4.設(shè)M(x,y),則=(x,y-4),=(2-x,2-y).由題設(shè)知·=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.由于點(diǎn)P在圓C的內(nèi)部,所以M的軌跡方程是(x-1)2+(y-3)2=2. ②由①可知M的軌跡是以點(diǎn)N(1,3)為圓心,為半徑的圓.由于|OP|=|OM|,故O在線段PM的垂直平分線上.又P在圓N上,從而ON⊥PM.因?yàn)镺N的斜率為3,所以l的斜率為-,故l的方程為y=-x+.又|OM|=|O
11、P|=2,O到l的距離為,|PM|=,所以△POM的面積為. 跟蹤訓(xùn)練: 1.設(shè)定點(diǎn)M(-3,4),動(dòng)點(diǎn)N在圓x2+y2=4上運(yùn)動(dòng),以O(shè)M、ON為兩邊作平行四邊形MONP(O是坐標(biāo)原點(diǎn)),求點(diǎn)P的軌跡. 【解】 設(shè)P(x,y),N(x0,y0),則=(x,y),=(x0,y0),=(-3,4),由=+得;(x,y)=(-3,4)+(x0,y0),所以所以又x+y=4,所以(x+3)2+(y-4)2=4.所以點(diǎn)P的軌跡是以(-3,4)為圓心,2為半徑的圓,因?yàn)镺,M,P三點(diǎn)不共線,所以應(yīng)除去兩點(diǎn)和. 歸納:求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題的四種方法 —— | —— | —— |
12、—— 考點(diǎn)三: 與圓有關(guān)的最值問(wèn)題 1.已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0.求: (1)的最大值和最小值; (2)y-x的最小值; (3)x2+y2的最大值和最小值. 【解】 (1)如圖,方程x2+y2-4x+1=0表示以點(diǎn)(2,0)為圓心,以為半徑的圓. 設(shè)=k,即y=kx,則圓心(2,0)到直線y=kx的距離為半徑時(shí)直線與圓相切,斜率取得最大、最小值. 由=,解得k2=3,∴kmax=,kmin=-. (2)設(shè)y-x=b,則y=x+b,僅當(dāng)直線y=x+b與圓切于第四象限時(shí),截距b取最小值,由點(diǎn)到直線的距離公式,得=,即b=-2±,故(y-x)min=-
13、2-. (3)x2+y2是圓上點(diǎn)與原點(diǎn)的距離的平方,故連接OC, 與圓交于B點(diǎn),并延長(zhǎng)交圓于C′,則 (x2+y2)max=|OC′|2=(2+)2=7+4, (x2+y2)min=|OB|2=(2-)2=7-4. 跟蹤訓(xùn)練:1.設(shè)P(x,y)是圓(x-2)2+y2=1上的任意一點(diǎn),則(x-5)2+(y+4)2的最大值為( ) A.6 B.25 C.26 D.36 【解析】 (x-5)2+(y+4)2表示點(diǎn)P(x,y)到點(diǎn)(5,-4)的距離的平方.點(diǎn)(5,-4)到圓心(2,0)的距離d==5.則點(diǎn)P(x,y)到點(diǎn)(5,-4)的距離最大值為6,從而(x-5)2+(y
14、+4)2的最大值為36,故選D. 【答案】 D 2.已知兩點(diǎn)A(-1,0),B(0,2),點(diǎn)P是圓(x-1)2+y2=1上任意一點(diǎn),則△PAB面積的最大值與最小值分別是( ) A.2,(4-) B.(4+),(4-) C.,4- D.(+2),(-2) 【解析】 直線AB的方程為+=1,即2x-y+2=0,圓心(1,0)到直線AB的距離d==,則點(diǎn)P到直線AB的距離最大值為+1,最小值為-1,又|AB|=,則△PAB面積的最大值Smax=××=(4+),△PAB面積的最小值Smin=××=(4-),故選B. 【答案】 B 歸納:與圓有關(guān)的最值問(wèn)題的常見解法 1.形如
15、μ=形式的最值問(wèn)題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問(wèn)題. 2.形如t=ax+by形式的最值問(wèn)題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問(wèn)題. 3.形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值問(wèn)題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問(wèn)題. 。 學(xué)生通過(guò)對(duì)高考真題的解決,發(fā)現(xiàn)自己對(duì)知識(shí)的掌握情況。 學(xué)生通過(guò)對(duì)高考真題的解決,感受高考題的考察視角。
16、 教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié),以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。 引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的逐點(diǎn)掃描,來(lái)澄清概念,加強(qiáng)理解。從而為后面的練習(xí)奠定基礎(chǔ). 在解題中注意引導(dǎo)學(xué)生自主分析和解決問(wèn)題,教師及時(shí)點(diǎn)撥從而提高學(xué)生的解題能力和興趣。 教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié),以幫助學(xué)生形成
17、完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。 通過(guò)對(duì)考綱的解讀和分析。讓學(xué)生明確考試要求,做到有的放矢
18、 由常見問(wèn)題的解決和總結(jié),使學(xué)生形成解題模塊,提高模式識(shí)別能力和解題效率。 教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié),以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。 引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行小結(jié),由利于學(xué)生對(duì)已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行編碼處理,加強(qiáng)理解記憶,提高解題技能。 環(huán)節(jié)三: 課堂小結(jié): 1.掌握確定圓的幾何要素,掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程. 2.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想. 學(xué)生回顧,總結(jié). 引導(dǎo)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程進(jìn)行反思,為在今后的學(xué)習(xí)中,進(jìn)行有效調(diào)控打下良好的基礎(chǔ)。 環(huán)節(jié)四: 課后作業(yè):學(xué)生版練與測(cè) 學(xué)生通過(guò)作業(yè)進(jìn)行課外反思,通過(guò)思考發(fā)散鞏固所學(xué)的知識(shí)。
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