《2018-2019學年高中數(shù)學 第二講 參數(shù)方程復習課學案 新人教A版選修4-4》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018-2019學年高中數(shù)學 第二講 參數(shù)方程復習課學案 新人教A版選修4-4（12頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第二講 參數(shù)方程 復習課 學習目標　1.梳理知識要點，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò).2.進一步鞏固對參數(shù)方程等相關(guān)概念的理解和認識.3.能綜合應用極坐標、參數(shù)方程解決問題． 1．參數(shù)方程的定義 一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標x，y都是某個變數(shù)t的函數(shù)①并且對于t的每一個允許值，由方程組①所確定的點M(x，y)都在這條曲線上，那么方程組①就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x，y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)．參數(shù)方程中的參數(shù)可以是有物理意義或幾何意義的變數(shù)，也可以是沒有明顯實際意義的變數(shù)． 2．常見曲線的參數(shù)方程 (1)直線 過定點M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參

2、數(shù)方程的標準形式為 (t為參數(shù))． (2)圓 ①圓x2＋y2＝r2的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))； ②圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． (3)橢圓 中心在原點，對稱軸為坐標軸的橢圓b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))． (4)雙曲線 中心在原點，對稱軸為坐標軸的雙曲線b2x2－a2y2＝a2b2(a>0，b>0)的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))． (5)拋物線 拋物線y2＝2px(p>0)的參數(shù)方程為(α為參數(shù))或(t為參數(shù))． 類型一　參數(shù)方程化為普通方程 例1　把下列參數(shù)方程化為普通方程： (1)(θ為參數(shù))； (2

3、)(t為參數(shù)，a，b>0)． 解　(1)關(guān)于cos θ，sin θ的方程組 變形得 ∴2＋2＝cos2θ＋sin2θ＝1， 即5x2＋4xy＋17y2－81＝0. (2)由解得 ∴①2－②2，得－＝4， ∴－＝1(x>0)． 反思與感悟　參數(shù)方程化為普通方程的注意事項 (1)在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x，y的取值范圍保持一致，由參數(shù)方程化為普通方程時需要考慮x的取值范圍，注意參數(shù)方程與消去參數(shù)后所得的普通方程同解性的判定． (2)消除參數(shù)的常用方法：①代入消參法；②三角消參法；③根據(jù)參數(shù)方程的特征，采用特殊的消參手段． 跟蹤訓練1　判斷方程(θ是參數(shù)且θ∈(0，

4、π))表示的曲線的形狀． 解　∵x2－y2＝2－2＝4， 即x2－y2＝4，∴－＝1. 又∵θ∈(0，π)，∴sin θ>0，∴x＝sin θ＋≥2， 當且僅當θ＝時等號成立， 又y＝sin θ－＝≤0， ∴曲線為等軸雙曲線－＝1在右支位于x軸下方的部分． 類型二　參數(shù)方程的應用 命題角度1　直線參數(shù)方程的應用 例2　已知點P(3,2)平分拋物線y2＝4x的一條弦AB，求弦AB的長． 解　設(shè)弦AB所在的直線方程為(t為參數(shù))， 代入方程y2＝4x整理，得 t2sin2α＋4(sin α－cos α)t－8＝0.① ∵點P(3,2)是弦AB的中點， 由參數(shù)t的幾何意義

5、可知，方程①的兩個實根t1，t2滿足關(guān)系t1＋t2＝0. 即sin α－cos α＝0.∵0≤α<π，∴α＝. ∴|AB|＝|t1－t2|＝＝＝8. 反思與感悟　應用直線的參數(shù)方程求弦長要注意的問題 (1)直線的參數(shù)方程應為標準形式． (2)要注意直線傾斜角的取值范圍． (3)設(shè)直線上兩點對應的參數(shù)分別為t1，t2. (4)套公式|t1－t2|求弦長． 跟蹤訓練2　直線l過點P0(－4,0)，它的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l與圓x2＋y2＝7相交于A，B兩點． (1)求弦長|AB|； (2)過P0作圓的切線，求切線長． 解　將直線l的參數(shù)方程代入圓的方程， 得2＋

6、2＝7，整理得t2－4t＋9＝0. (1)設(shè)A和B兩點對應的參數(shù)分別為t1和t2，由根與系數(shù)的關(guān)系，得t1＋t2＝4，t1t2＝9. 故|AB|＝|t2－t1|＝＝2. (2)設(shè)圓過P0的切線為P0T，T在圓上， 則|P0T|2＝|P0A|·|P0B|＝|t1t2|＝9， ∴切線長|P0T|＝3. 命題角度2　曲線參數(shù)方程的應用 例3　在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線l的極坐標方程為ρsin＝2. (1)求曲線C與直線l在該直角坐標系下的普通方程； (2)動點A在曲線C上，動點B在直線l上，定點P

7、(－1,1)，求|PB|＋|AB|的最小值． 解　(1)由曲線C的參數(shù)方程 可得(x－2)2＋y2＝1， 由直線l的極坐標方程為ρsin＝2， 可得ρ(sin θ＋cos θ)＝4， 即x＋y＝4. (2)方法一　設(shè)P關(guān)于直線l的對稱點為Q(a，b)， 故? 所以Q(3,5)， 由(1)知曲線C為圓，圓心C(2,0)，半徑r＝1， |PB|＋|AB|＝|QB|＋|AB|≥|QC|－1. 僅當Q，B，A，C四點共線時，且A在B，C之間時等號成立，故(|PB|＋|AB|)min＝－1. 方法二　如圖，圓心C關(guān)于直線l的對稱點為D(4,2)，連接PD，交直線l于點B，此時|P

8、B|＋|AB|有最小值，且|PB|＋|AB|＝|PB|＋|BC|－1＝|PB|＋|BD|－1＝|PD|－1＝－1. 反思與感悟　(1)關(guān)于折線段的長度和或長度差的最大值或最小值的求法，常常利用對稱性以及兩點之間線段最短解決． (2)有關(guān)點與圓、直線與圓的最大值或最小值問題，常常轉(zhuǎn)化為經(jīng)過圓心的直線、圓心到直線的距離等． 跟蹤訓練3　已知曲線C：＋＝1，直線l：(t為參數(shù))． (1)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程； (2)過曲線C上任意一點P作與l夾角為30°的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值． 解　(1)曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． 直線l的普通方程為

9、2x＋y－6＝0. (2)曲線C上任意一點P(2cos θ，3sin θ)到l的距離為 d＝|4cos θ＋3sin θ－6|， 則|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|， 其中α為銳角，且tan α＝. 當sin(θ＋α)＝－1時，|PA|取得最大值，最大值為. 當sin(θ＋α)＝1時，|PA|取得最小值，最小值為. 類型三　極坐標與參數(shù)方程 例4　在直角坐標系xOy中，圓C的方程為(x＋6)2＋y2＝25. (1)以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求圓C的極坐標方程； (2)直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，l與圓C交于A，B兩點，|AB|＝，求l的斜率．

10、 解　(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，可得圓C的極坐標方程為ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)方法一　在(1)中建立的極坐標系中，直線l的極坐標方程為θ＝α(ρ∈R)． 設(shè)A，B所對應的極徑分別為ρ1，ρ2，將l的極坐標方程代入C的極坐標方程，得ρ2＋12ρcos α＋11＝0. 于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝. 由|AB|＝，得cos2α＝，tan α＝±. 所以l的斜率為或－. 方法二　把代入(x＋6)2＋y2＝25， 得t2＋(12cos α)t＋11＝0， 設(shè)A，B對應的參數(shù)為t1，t2， 所以

11、t1＋t2＝－12cos α，t1t2＝11. 則|AB|＝|t1－t2|＝＝＝，所以cos2α＝，所以tan α＝±. 所以l的斜率為或－. 反思與感悟　(1)極坐標與參數(shù)方程綜合是高考的重點、熱點． (2)解決此類問題一般可以轉(zhuǎn)化為直角坐標下求解．當然也可以轉(zhuǎn)化為極坐標下求解，關(guān)鍵是根據(jù)題目特點合理轉(zhuǎn)化． 跟蹤訓練4　在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為3ρcosθ＋2ρsinθ＝12. (1)求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標方程； (2)若直線l與曲線C交于A，B兩點，M為曲線C

12、與y軸負半軸的交點，求四邊形OMAB的面積． 解　(1)由得 所以2＋2＝(cos t)2＋(sin t)2＝1， 所以曲線C的普通方程為＋＝1. 在3ρcos θ＋2ρsin θ＝12中，由ρcos θ＝x，ρsin θ＝y(tǒng)， 得3x＋2y－12＝0， 所以直線l的直角坐標方程為3x＋2y－12＝0. (2)由(1)可得M(0，－2)，聯(lián)立方程易得A(4,0)，B(2,3)， 所以四邊形OMAB的面積為×4×(3＋2)＝6＋4. 1．曲線(θ為參數(shù))的焦點坐標為(　　) A．(±3,0) B．(0，±3) C．(±6,0) D．(0，±6) 答案　D 解

13、析　曲線(θ為參數(shù))的普通方程為＋＝1，這是焦點在y軸上的橢圓，c2＝a2－b2＝62， 所以焦點坐標為(0，±6)． 2．橢圓的參數(shù)方程為(0≤φ<2π)，則橢圓的離心率為(　　) A.B.C.D. 答案　A 3．已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，圓C的極坐標方程為ρ＝2sinθ，則直線l與圓C的位置關(guān)系為(　　) A．相離 B．相切 C．相交 D．由參數(shù)確定 答案　C 4．點P(1,0)到曲線(t為參數(shù))上的點的最短距離為________． 答案　1 解析　設(shè)點P(1,0)到曲線上的點的距離為d，則d＝＝＝＝t2＋1≥1.所以點P到曲線上的點的距離的最小值為1.

14、5．在平面直角坐標系xOy中，設(shè)P(x，y)是橢圓＋y2＝1上的一個動點，求S＝x＋y的最大值和最小值． 解　橢圓＋y2＝1的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))，故設(shè)動點P(cos φ，sin φ)，其中φ∈[0,2π)． 因此S＝x＋y＝cos φ＋sin φ ＝2＝2sin. ∴當φ＝時，S取得最大值2；當φ＝時，S取得最小值－2. 1．參數(shù)方程是以參變量為中介來表示曲線上點的坐標的方程，是曲線在同一坐標系下的又一種表示形式．某些曲線上點的坐標，用普通方程描述它們之間的關(guān)系比較困難，甚至不可能，列出的方程既復雜又不易理解，而用參數(shù)方程來描述曲線上點的坐標的間接關(guān)系比較方便，學習參數(shù)方程有

15、助于進一步體會數(shù)學方法的靈活多變，提高應用意識和實踐能力． 2．參數(shù)方程、極坐標方程是解析幾何曲線方程的另外兩種巧妙的表達形式，解題時要善于根據(jù)解題的需求將參數(shù)方程與普通方程進行互化，達到方便解題的目的，同時注意參數(shù)的范圍． 一、選擇題 1．在極坐標系中，直線2ρsin＝2＋與圓ρ＝2sinθ的位置關(guān)系為(　　) A．相離 B．相切 C．相交 D．以上都有可能 答案　B 解析　直線2ρsin＝2＋與圓ρ＝2sin θ的直角坐標方程分別為x＋y＝＋1，x2＋(y－1)2＝1， 圓心(0,1)到直線x＋y－(＋1)＝0的距離d＝＝1，所以直線與圓相切． 2．下列各點在方程(θ

16、為參數(shù))所表示的曲線上的為(　　) A．(2，－7) B. C. D．(1,0) 答案　C 3．直線(t為參數(shù))上與點P(－2,3)的距離等于的點的坐標是(　　) A．(－4,5) B．(－3,4) C．(－3,4)或(－1,2) D．(－4,5)或(0,1) 答案　C 4．下列參數(shù)方程(t為參數(shù))與普通方程x2－y＝0表示同一曲線方程的是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　注意參數(shù)的范圍，可利用排除法，普通方程x2－y＝0中的x∈R，y≥0.A中x＝|t|≥0，B中x＝cos t∈[－1,1]，故排除A和B；而C中y＝＝＝，即x2y＝1，故排

17、除C. 5．拋物線(t為參數(shù))的準線方程是(　　) A．x＝1 B．x＝－1 C．y＝1 D．y＝－1 答案　D 解析　由x＝4t，得t2＝， ∴y＝4t2＝， 即x2＝4y， ∴準線方程為y＝－1. 6．若直線y＝x－b與曲線θ∈[0,2π)有兩個不同的公共點，則實數(shù)b的取值范圍是(　　) A．(2－，1) B．[2－，2＋] C．(－∞，2－)∪(2＋，＋∞) D．(2－，2＋) 答案　D 解析　由消去θ，得(x－2)2＋y2＝1.(*) 將y＝x－b代入(*)式， 化簡得2x2－(4＋2b)x＋b2＋3＝0， 依題意知，Δ＝[－(4＋2b)]2－4×2

18、(b2＋3)>0， 解得2－

19、＝(ρ∈R)垂直，則直線的極坐標方程為________________________________________________________________________． 答案　2ρsin＝1(或2ρcos＝1、ρcosθ＋ρsinθ＝1) 解析　由題意可知在平面直角坐標系中，直線θ＝的斜率是，所求直線過點(1,0)，且斜率是－，所以直線方程為y＝－(x－1)，化成極坐標方程為ρsin θ＝－(ρcos θ－1)，化簡得2ρsin＝1. 10．已知直線l的極坐標方程為2ρsin＝，點A的極坐標為，則點A到直線l的距離為____________________________

20、__________________________________． 答案　 解析　∵2ρsin＝， ∴2ρ＝(ρsin θ－ρcos θ)＝， 即ρsin θ－ρcos θ＝1， ∴直線l的直角坐標方程為y－x＝1，即x－y＋1＝0. ∵點A的直角坐標為(2，－2)， ∴點A到直線l的距離d＝＝. 三、解答題 11．已知x，y滿足(x－1)2＋(y＋2)2＝4，求S＝3x－y的最值． 解　由(x－1)2＋(y＋2)2＝4可知，曲線表示以(1，－2)為圓心，2為半徑的圓． 令x＝1＋2cos θ，y＝－2＋2sin θ， 則S＝3x－y＝3(1＋2cos θ)－(－2

21、＋2sin θ)＝5＋6cos θ－2sin θ ＝5＋2·sin(θ＋φ)(其中tan φ＝－3)， 所以，當sin(θ＋φ)＝1時，S取得最大值5＋2； 當sin(θ＋φ)＝－1時，S取得最小值5－2. 12．已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． (1)求直線l和圓C的普通方程； (2)若直線l與圓C有公共點，求實數(shù)a的取值范圍． 解　(1)直線l的普通方程為2x－y－2a＝0， 圓C的普通方程為x2＋y2＝16. (2)因為直線l與圓C有公共點，故圓C的圓心(0,0)到直線l的距離d＝≤4， 解得－2≤a≤2. 即實數(shù)a的取值范圍為[－

22、2，2]． 13．在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)，且0≤θ<2π)，點M是曲線C1上的動點． (1)求線段OM的中點P的軌跡的直角坐標方程； (2)以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，若直線l的極坐標方程為ρcosθ－ρsinθ＋1＝0(ρ>0)，求點P到直線l距離的最大值． 解　(1)曲線C1上的動點M的坐標為(4cos θ，4sin θ)， 坐標原點為O(0,0)， 設(shè)P的坐標為(x，y)，則由中點坐標公式， 得x＝(0＋4cos θ)＝2cos θ，y＝(0＋4sin θ)＝2sin θ， 所以點P的坐標為(2cos θ，2s

23、in θ)， 因此點P的軌跡的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)，且0≤θ<2π)，消去參數(shù)θ，得點P軌跡的直角坐標方程為x2＋y2＝4. (2)由直角坐標與極坐標關(guān)系，得直線l的直角坐標方程為x－y＋1＝0. 又點P的軌跡為圓心在原點，半徑為2的圓，因為原點(0,0)到直線x－y＋1＝0的距離為＝＝， 所以點P到直線l距離的最大值為2＋. 四、探究與拓展 14．已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρsin2θ－4cosθ＝0(ρ≥0,0≤θ<2π)，則直線l與曲線C的公共點的極徑ρ＝________. 答案　 解析　直線

24、l的普通方程為y＝x＋1，曲線C的直角坐標方程為y2＝4x， 聯(lián)立兩方程解得 所以公共點為(1,2)， 所以公共點的極徑為ρ＝＝. 15．設(shè)飛機以v＝150m/s的速度水平勻速飛行，若在飛行高度h＝588m處投彈(假設(shè)炸彈的初速度等于飛機的速度)． (1)求炸彈離開飛機后的軌跡方程； (2)試問飛機在離目標多遠(水平距離)處投彈才能命中目標． 解　(1)如圖所示，A為投彈點，坐標為(0,588)，B為目標，坐標為(x0,0)．記炸彈飛行的時間為t，在A點t＝0. 設(shè)M(x，y)為飛行曲線上的任一點，它對應時刻t，炸彈初速度v0＝150 m/s，用物理學知識，分別計算水平、豎直方向的路程，得(g＝9.8 m/s2)，即 所以炸彈離開飛機后的軌跡方程為(0≤t≤2)． (2)炸彈飛行到地面目標B處的時間t0滿足方程y＝0，即588－4.9t＝0，解得t0＝2 s. 將t0＝2代入x＝150t中，得x0＝300 m. 即飛機在離目標300 m(水平距離)處投彈才能命中目標． 12