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1、2022年人教A版高中數(shù)學 必修五 1-2-1應用舉例 距離問題教案 ●教學目標 知識與技能：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關測量距離的實際問題，了解常用的測量相關術語 過程與方法：首先通過巧妙的設疑，順利地引導新課，為以后的幾節(jié)課做良好鋪墊。其次結合學生的實際情況，采用“提出問題——引發(fā)思考——探索猜想——總結規(guī)律——反饋訓練”的教學過程，根據(jù)大綱要求以及教學內(nèi)容之間的內(nèi)在關系，鋪開例題，設計變式，同時通過多媒體、圖形觀察等直觀演示，幫助學生掌握解法，能夠類比解決實際問題。對于例2這樣的開放性題目要鼓勵學生討論，開放多種思路，引導學生發(fā)現(xiàn)問題并進行適當?shù)闹更c和矯正

2、情感態(tài)度與價值觀：激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣,并體會數(shù)學的應用價值；同時培養(yǎng)學生運用圖形、數(shù)學符號表達題意和應用轉化思想解決數(shù)學問題的能力 ●教學重點 實際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后逐個解決三角形，得到實際問題的解 ●教學難點 根據(jù)題意建立數(shù)學模型，畫出示意圖 ●教學過程 Ⅰ.課題導入 1、[復習舊知] 復習提問什么是正弦定理、余弦定理以及它們可以解決哪些類型的三角形？ 2、[設置情境] 請學生回答完后再提問：前面引言第一章“解三角形”中，我們遇到這么一個問題，“遙不可及的月亮離我們地球究竟有多遠呢？”在古代，天文學家沒有先進的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離，是什么神奇的

3、方法探索到這個奧秘的呢？我們知道，對于未知的距離、高度等，存在著許多可供選擇的測量方案，比如可以應用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在實際測量問題的真實背景下，某些方法會不能實施。如因為沒有足夠的空間，不能用全等三角形的方法來測量，所以，有些方法會有局限性。于是上面介紹的問題是用以前的方法所不能解決的。今天我們開始學習正弦定理、余弦定理在科學實踐中的重要應用，首先研究如何測量距離。 Ⅱ.講授新課 （1）解決實際測量問題的過程一般要充分認真理解題意，正確做出圖形，把實際問題里的條件和所求轉換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過建立數(shù)學模型來求解 [例題

4、講解] (2)例1、如圖，設A、B兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離，測量者在A的同側，在所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離是55m，BAC=，ACB=。求A、B兩點的距離(精確到0.1m) 啟發(fā)提問1：ABC中，根據(jù)已知的邊和對應角，運用哪個定理比較適當？ 啟發(fā)提問2：運用該定理解題還需要那些邊和角呢？請學生回答。 分析：這是一道關于測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離的問題，題目條件告訴了邊AB的對角，AC為已知邊，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理很容易根據(jù)兩個已知角算出AC的對角，應用正弦定理算出AB邊。 解：根據(jù)正弦定理，得 = AB =

5、 = = = ≈ 65.7(m) 答:A、B兩點間的距離為65.7米 變式練習：兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于a km,燈塔A在觀察站C的北偏東30，燈塔B在觀察站C南偏東60，則A、B之間的距離為多少？ 老師指導學生畫圖，建立數(shù)學模型。 解略：a km 例2、如圖，A、B兩點都在河的對岸（不可到達），設計一種測量A、B兩點間距離的方法。 分析：這是例1的變式題，研究的是兩個不可到達的點之間的距離測量問題。首先需要構造三角形，所以需要確定C、D兩點。根據(jù)正弦定理中已知三角形的任意兩個內(nèi)角與一邊既可求出另兩邊

6、的方法，分別求出AC和BC，再利用余弦定理可以計算出AB的距離。 解：測量者可以在河岸邊選定兩點C、D，測得CD=a，并且在C、D兩點分別測得BCA=， ACD=，CDB=，BDA =，在ADC和BDC中，應用正弦定理得 AC = = BC = = 計算出AC和BC后，再在ABC中，應用余弦定理計算出AB兩點間的距離 AB = 分組討論：還沒有其它的方法呢？師生一起對不同方法進行對比、分析。 變式訓練：若在河岸選取相距40米的C、D兩點，測得BCA=60，ACD=30，CDB=4

7、5，BDA =60 略解：將題中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20 評注：可見，在研究三角形時，靈活根據(jù)兩個定理可以尋找到多種解決問題的方案，但有些過程較繁復，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個定理的特點，結合題目條件來選擇最佳的計算方式。 學生閱讀課本4頁，了解測量中基線的概念，并找到生活中的相應例子。 Ⅲ.課堂練習 課本第13頁練習第1、2題 Ⅳ.課時小結 解斜三角形應用題的一般步驟： （1）分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖 （2）建模：根據(jù)已知條件與求解目標，把已知量與求解量盡量集中在有關的三角形中，建立一個解斜三角形的數(shù)學模型 （3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學模型的解 （4）檢驗：檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解 Ⅴ.課后作業(yè) 課本第19頁第1、2、3題