《（浙江專用）2021版新高考數學一輪復習 第二章 函數概念與基本初等函數 3 第3講 函數的奇偶性、對稱性教學案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（浙江專用）2021版新高考數學一輪復習 第二章 函數概念與基本初等函數 3 第3講 函數的奇偶性、對稱性教學案（18頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、第3講　函數的奇偶性、對稱性 1．函數的奇偶性 奇偶性 定義 圖象特點 偶函數 如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數f(x)是偶函數 關于y軸對稱 奇函數 如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數f(x)是奇函數 關于原點對稱 2.函數奇偶性的幾個重要結論 (1)f(x)為奇函數?f(x)的圖象關于原點對稱；f(x)為偶函數?f(x)的圖象關于y軸對稱． (2)如果函數f(x)是偶函數，那么f(x)＝f(|x|)． (3)既是奇函數又是偶函數的函數只有一種類型，即f(x)＝0，x∈

2、D，其中定義域D是關于原點對稱的非空數集． (4)奇函數在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調性，偶函數在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調性． (5)偶函數在關于原點對稱的區(qū)間上有相同的最大(小)值，取最值時的自變量互為相反數；奇函數在關于原點對稱的區(qū)間上的最值互為相反數，取最值時的自變量也互為相反數． 3．函數的對稱性 (1)若函數y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則函數y＝f(x)關于直線x＝對稱，特別地，當a＝b＝0時，函數y＝f(x)關于y軸對稱，此時函數y＝f(x)是偶函數． (2)若函數y＝f(x)滿足f(x)＝2b－f(2a－x)，則函數y＝f(x)關于點(a，b)對

3、稱，特別地，當a＝0，b＝0時，f(x)＝－f(－x)，則函數y＝f(x)關于原點對稱，此時函數f(x)是奇函數． [疑誤辨析] 判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)若f(x)是定義在R上的奇函數，則f(－x)＋f(x)＝0.(　　) (2)偶函數的圖象不一定過原點，奇函數的圖象一定過原點．(　　) (3)如果函數f(x)，g(x)為定義域相同的偶函數，則F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函數．(　　) (4)定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的一個必要條件．(　　) (5)若函數f(x)＝x2＋(a＋2)x＋b，x∈[a，b]的圖象關于直線x＝1對稱，則a＋b＝

4、2.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√ [教材衍化] 1．(必修1P35例5改編)下列函數中為偶函數的是(　　) A．y＝x2sin x　　　　　　　　 B．y＝x2cos x C．y＝|ln x| D．y＝2－x 解析：選B.根據偶函數的定義知偶函數滿足f(－x)＝f(x)且定義域關于原點對稱，A選項為奇函數，B選項為偶函數，C選項定義域為(0，＋∞)，不具有奇偶性，D選項既不是奇函數，也不是偶函數．故選B. 2．(必修1P45B組T6改編)已知函數f(x)是奇函數，且在(0，＋∞)上是減函數，且在區(qū)間[a，b](a

5、4]，則在區(qū)間[－b，－a]上的值域為________． 解析：法一：根據題意作出y＝f(x)的簡圖，由圖知函數f(x)在[－b，－a]上的值域為[－4，3] 法二：當x∈[－b，－a]時，－x∈[a，b]， 由題意得f(b)≤f(－x)≤f(a)， 即－3≤－f(x)≤4， 所以－4≤f(x)≤3， 即在區(qū)間[－b，－a]上的值域為[－4，3]． 答案：[－4，3] 3．(必修1P45B組T4改編)設f(x)是定義在R上的周期為2的函數，當x∈[－1，1)時，f(x)＝則f＝________． 解析：f＝f＝f＝－4×＋2＝1. 答案：1 [易錯糾偏] (1)利用

6、奇偶性求解析式時忽視定義域； (2)忽視奇函數的對稱性； (3)忽視定義域的對稱性． 1．設函數f(x)是定義在R上的奇函數，且當x>0時，f(x)＝x2＋4x－3，則函數f(x)的解析式為f(x)＝________． 解析：設x<0，則－x>0，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋4(－x)－3]＝－x2＋4x＋3，由奇函數的定義可知f(0)＝0，所以f(x)＝ 答案： 2.設奇函數f(x)的定義域為[－5，5]，若當x∈[0，5]時，f(x)的圖象如圖所示，則不等式f(x)<0的解集為________． 解析：由題圖可知，當00；當2

7、f(x)<0，又f(x)是奇函數，所以當－20.綜上，f(x)<0的解集為(－2，0)∪(2，5]． 答案：(－2，0)∪(2，5] 3．已知f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1，2a]上的偶函數，那么a＋b的值是________． 解析：因為f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1，2a]上的偶函數， 所以a－1＋2a＝0， 所以a＝. 又f(－x)＝f(x)， 所以b＝0， 所以a＋b＝. 答案： 　　　　　　判斷函數的奇偶性 (1)函數y＝的奇偶性是(　　) A．奇函數 B．偶函數 C．既是奇函

8、數又是偶函數 D．既不是奇函數又不是偶函數 (2)(2020·“七彩陽光”聯盟聯考)已知函數f(x)＝|e|x|－2e|＋e|x|，g(x)＝3sin 2x，下列描述正確的是(　　) A．f(g(x))是奇函數 B．f(g(x))是偶函數 C．f(g(x))既是奇函數又是偶函數 D．f(g(x))既不是奇函數又不是偶函數 【解析】　(1)由9－x2>0可得－3

9、(g(x))是偶函數． 【答案】　(1)A　(2)B 判定函數奇偶性的3種常用方法 (1)定義法 (2)圖象法 (3)性質法 ①設f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． ②復合函數的奇偶性可概括為“同奇則奇，一偶則偶”． [提醒]　(1)“性質法”中的結論是在兩個函數的公共定義域內才成立的． (2)判斷分段函數的奇偶性應分段分別證明f(－x)與f(x)的關系，只有對各段上的x都滿足相同關系時，才能判斷其奇偶性．　 1．設f(x)＝ex＋e－x，g(x)＝ex－e－x

10、，f(x)，g(x)的定義域均為R，下列結論錯誤的是(　　) A．|g(x)|是偶函數　　　　 B．f(x)g(x)是奇函數 C．f(x)|g(x)|是偶函數 D．f(x)＋g(x)是奇函數 解析：選D.f(－x)＝e－x＋ex＝f(x)，f(x)為偶函數． g(－x)＝e－x－ex＝－g(x)，g(x)為奇函數． |g(－x)|＝|－g(x)|＝|g(x)|，|g(x)|為偶函數，A正確；f(－x)g(－x)＝f(x)[－g(x)] ＝－f(x)g(x)， 所以f(x)g(x)為奇函數，B正確； f(－x)|g(－x)|＝f(x)|g(x)|， 所以f(x)|g(x

11、)|是偶函數，C正確； f(x)＋g(x)＝2ex， f(－x)＋g(－x)＝2e－x≠－(f(x)＋g(x))， 且f(－x)＋g(－x)＝2e－x≠f(x)＋g(x)， 所以f(x)＋g(x)既不是奇函數也不是偶函數，D錯誤，故選D. 2．判斷下列函數的奇偶性． (1)f(x)＝＋； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝ 解：(1)因為函數f(x)＝＋的定義域為，不關于坐標原點對稱， 所以函數f(x)既不是奇函數，也不是偶函數． (2)由， 得－2≤x≤2且x≠0， 所以f(x)的定義域為[－2，0)∪(0，2]，關于原點對稱． 所以f(x)＝＝. 所以f(x

12、)＝－f(－x)， 所以f(x)是奇函數． (3)易知函數的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，關于原點對稱，又當x＞0時，f(x)＝x2＋x，則當x＜0時，－x＞0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)； 當x＜0時，f(x)＝x2－x， 則當x＞0時，－x＜0， 故f(－x)＝x2＋x＝f(x)， 故原函數是偶函數． 　　　　　　函數奇偶性的應用 (1)若函數f(x)＝xln(x＋)為偶函數，則a＝________． (2)已知f(x)是奇函數，g(x)是偶函數，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，則g(1)等于________． 【解析】　(1)因

13、為f(x)為偶函數， 所以f(－x)－f(x)＝0恒成立， 所以－xln(－x＋)－xln(x＋)＝0恒成立， 所以xln a＝0恒成立， 所以ln a＝0，即a＝1. (2)f(－1)＋g(1)＝2，即－f(1)＋g(1)＝2①， f(1)＋g(－1)＝4，即f(1)＋g(1)＝4②， 由①②得，2g(1)＝6，即g(1)＝3. 【答案】　(1)1　(2)3 已知函數奇偶性可以解決的4個問題 (1)求函數值：將待求值利用奇偶性轉化為已知區(qū)間上的函數值求解． (2)求解析式：將待求區(qū)間上的自變量轉化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出． (3)求解析式中的參數：利用待定系

14、數法求解，根據f(x)±f(－x)＝0得到關于參數的恒等式，由系數的對等性得參數的方程或方程(組)，進而得出參數的值． (4)畫函數圖象：利用奇偶性可畫出另一對稱區(qū)間上的圖象．　 1．已知函數f(x)＝x3＋sin x＋1(x∈R)，若f(a)＝2，則f(－a)的值為(　　) A．3　　　　　　　　　 B．0 C．－1 D．－2 解析：選B.設F(x)＝f(x)－1＝x3＋sin x，顯然F(x)為奇函數，又F(a)＝f(a)－1＝1，所以F(－a)＝f(－a)－1＝－1，從而f(－a)＝0.故選B. 2．設函數f(x)是定義在R上的奇函數，且f(x)＝則g(f(－8

15、))＝(　　) A．－1 B．－2 C．1 D．2 解析：選A.因為f(x)為奇函數，所以f(－8)＝－f(8) ＝－log39＝－2， 所以g[f(－8)]＝g(－2)＝f(－2)＝－f(2) ＝－log33＝－1. 3．已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f(x)＝x(1＋x)，則x＜0時，f(x)＝________． 解析：當x＜0時，則－x＞0，所以f(－x)＝(－x)(1－x)．又f(x)為奇函數，所以f(－x)＝－f(x)＝(－x)(1－x)，所以f(x)＝x(1－x)． 答案：x(1－x) 　　　　　　函數的對稱性 (1)已知定義

16、在R上的奇函數f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，當0

17、，其圖象關于點(－3，2)對稱， 所以a＝2，b＝－3. 所以函數f(x)的解析式為f(x)＝，所以f(2)＝＝. 【答案】　(1)A　(2) (1)函數滿足f(x＋t)＝f(t－x)(或f(x)＝f(2t－x))，則函數關于直線x＝t對稱，若函數滿足f(x＋2t)＝f(x)，則函數f(x)以2t(t≠0)為周期． (2)若函數y＝f(x)的對稱中心為(a，b)，根據函數y＝f(x)圖象上任意點關于該對稱中心的對稱點也在此函數圖象上，利用恒等式求解．　 1．用min{a，b}表示a，b兩數中的最小值．若函數f(x)＝min{|x|，|x＋t|}的圖象關于直線x＝－對稱，

18、則t的值為(　　) A．－2 B．2 C．－1 D．1 解析：選D.由于函數f(x)是兩個函數y1＝|x|，y2＝|x＋t|中的較小者，因此f(x)在不同的定義域內取值不同，故需作出其圖象求解． 在同一坐標系中，分別作出函數y＝|x|與y＝|x＋t|的草圖(如圖)．由圖象知f(x)的圖象為圖中的實線部分(A－B－C－O－E)．由于f(x)的圖象關于直線x＝－對稱，于是＝－，所以t＝1. 2．函數f(x)＝的圖象的對稱中心是(4，1)，則a＝________． 解析：因為f(x)＝＝＝1＋， 所以函數f(x)圖象的對稱中心是(a＋1，1)． 由已知得a＋1＝4，故a＝3.

19、 答案：3 　　　　　　函數性質的綜合應用(高頻考點) 函數的奇偶性及單調性是函數的兩大性質，在高考中常常將它們綜合在一起命題，以選擇題或填空題的形式考查，難度稍大，為中高檔題．主要命題角度有： (1)函數的奇偶性與單調性相結合； (2)函數的奇偶性與對稱性相結合． 角度一　函數的奇偶性與單調性相結合 (2020·金麗衢十二校聯考)定義在R上的偶函數f(x)滿足：f(4)＝f(－2)＝0，在區(qū)間(－∞，－3)與[－3，0]上分別單調遞增和單調遞減，則不等式xf(x)>0的解集為(　　) A．(－∞，－4)∪(4，＋∞) B．(－4，－2)∪(2，4) C．(－∞，－4

20、)∪(－2，0) D．(－∞，－4)∪(－2，0)∪(2，4) 【解析】　因為f(x)是偶函數，所以f(4)＝f(－4)＝f(2)＝f(－2)＝0，又f(x)在(－∞，－3)，[－3，0]上分別單調遞增與單調遞減，所以xf(x)>0的解集為(－∞，－4)∪(－2，0)∪(2，4)，故選D. 【答案】　D 角度二　函數的奇偶性與對稱性相結合 在R上定義的函數f(x)是偶函數，且f(x)＝f(2－x)．若f(x)在區(qū)間[1，2]上是減函數，則f(x)(　　) A．在區(qū)間[－2，－1]上是增函數，在區(qū)間[3，4]上是增函數 B．在區(qū)間[－2，－1]上是增函數，在區(qū)間[3，4]上是減函

21、數 C．在區(qū)間[－2，－1]上是減函數，在區(qū)間[3，4]上是增函數 D．在區(qū)間[－2，－1]上是減函數，在區(qū)間[3，4]上是減函數 【解析】　由f(x)＝f(2－x)，函數f(x)關于x＝1對稱， 又因為f(x)在R上是偶函數，所以f(x)關于y軸對稱． 又因為f(x)在區(qū)間[1，2]上是減函數， 所以f(x)在[0，1]上為增函數，在[－1，0]上為減函數，故函數圖象如圖所示．由圖可知B正確． 【答案】　B (1)關于奇偶性、單調性、對稱性的綜合性問題，關鍵是利用奇偶性將未知區(qū)間上的問題轉化為已知區(qū)間上的問題． (2)掌握以下兩個結論，會給解題帶來方便： ①f(

22、x)為偶函數?f(x)＝f(|x|)． ②若奇函數在x＝0處有意義，則f(0)＝0.　 1．(2020·湖州模擬)設f(x)是定義在R上以2為周期的偶函數，在區(qū)間[－1，0]上是嚴格單調遞增函數，且滿足f(e)＝0，f(2e)＝1，則不等式的解集為________． 解析：根據函數周期為2且為偶函數知，f(e)＝f(e－2)＝0，f(2e)＝f(2e－4)＝f(6－2e)＝1，因為0<6－2e

23、稱，f(3)＝3，則f(－1)＝________． 解析：因為f(x)的圖象關于直線x＝2對稱， 所以f(4－x)＝f(x)， 所以f(4－1)＝f(1)＝f(3)＝3，即f(1)＝3. 因為f(x)是偶函數，所以f(－x)＝f(x)， 所以f(－1)＝f(1)＝3. 答案：3 核心素養(yǎng)系列3　邏輯推理、數學運算——奇偶函數的二次結論及應用 結論一： 若函數f(x)是奇函數，且g(x)＝f(x)＋c，則必有g(－x)＋g(x)＝2c. [結論簡證] 由于函數f(x)是奇函數，所以f(－x)＝－f(x)，所以g(－x)＋g(x)＝f(－x)＋c＋f(x)＋c＝2c.

24、 對于函數f(x)＝asin x＋bx＋c(其中a，b∈R，c∈Z)，選取a，b，c的一組值計算f(1)和f(－1)，所得出的正確結果一定不可能是(　　) A．4和6　　　　　　　　 B．3和1 C．2和4 D．1和2 【解析】　設g(x)＝asin x＋bx，則f(x)＝g(x)＋c，且函數g(x)為奇函數．注意到c∈Z，所以f(1)＋f(－1)＝2c為偶數．故選D. 【答案】　D 由上述例題可知，這類問題的求解關鍵在于觀察函數的結構，構造出一個奇函數．有些問題是直觀型的，直接應用即可，但有些問題是復雜型的，需要變形才能成功．　 結論二： 若函數f(x)是奇函數，則函

25、數g(x)＝f(x－a)＋h的圖象關于點(a，h)對稱． [結論簡證] 函數g(x)＝f(x－a)＋h的圖象可由f(x)的圖象平移得到，不難知結論成立． 函數f(x)＝＋＋的圖象的對稱中心為(　　) A．(－4，6) B．(－2，3) C．(－4，3) D．(－2，6) 【解析】　設g(x)＝－－－，則g(－x)＝－－－＝＋＋＝－g(x)，故g(x)為奇函數．易知f(x)＝3－＝g(x＋2)＋3，所以函數f(x)的圖象的對稱中心為(－2，3)．故選B. 【答案】　B 此類問題求解的關鍵是從所給函數式中分離(或變形)出奇函數，進而得出圖象的對稱中心，然后利用圖象的對

26、稱性實現問題的求解．　 結論三： 若函數f(x)為偶函數，則f(x)＝f(|x|)． [結論簡證] 當x≥0時，|x|＝x，所以f(|x|)＝f(x)； 當x<0時，f(|x|)＝f(－x)，由于函數f(x)為偶函數，所以f(－x)＝f(x)，故f(|x|)＝f(x)． 綜上，若函數f(x)為偶函數，則f(x)＝f(|x|)． (1)設函數f(x)＝ln(1＋|x|)－，則使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范圍是________； (2)若偶函數f(x)滿足f(x)＝x3－8(x≥0)，則f(x－2)>0的條件為________． 【解析】　(1)易知函數f(x)

27、的定義域為R，且f(x)為偶函數．當x≥0時，f(x)＝ln(1＋x)－，易知此時f(x)單調遞增．所以f(x)>f(2x－1)?f(|x|)>f(|2x－1|)，所以|x|>|2x－1|，解得0?f(|x－2|)>f(2)．所以|x－2|>2，解得x<0或x>4. 【答案】　(1)　(2){x|x<0或x>4} [基礎題組練] 1．(2020·舟山市普陀三中高三期中)下列函數既是奇函數，又在(0，＋∞)上單調遞增的是(　　) A．y＝－x2　　　　

28、　　　　　 B．y＝x3 C．y＝log2x D．y＝－3－x 解析：選B.A.函數y＝－x2為偶函數，不滿足條件． B．函數y＝x3為奇函數，在(0，＋∞)上單調遞增，滿足條件． C．y＝log2x的定義域為(0，＋∞)，為非奇非偶函數，不滿足條件． D．函數y＝－3－x為非奇非偶函數，不滿足條件． 2．(2020·衢州高三年級統(tǒng)一考試)已知f(x)是R上的奇函數，當x≥0時，f(x)＝x3＋ln(1＋x)，則當x＜0時，f(x)＝(　　) A．－x3－ln(1－x) B．x3＋ln(1－x) C．x3－ln(1－x) D．－x3＋ln(1－x) 解析：選C

29、.當x<0時，－x>0，f(－x)＝(－x)3＋ln(1－x)，因為f(x)是R上的奇函數，所以當x＜0時，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)3＋ln(1－x)]，所以f(x)＝x3－ln(1－x)． 3．若f(x)＝(ex－e－x)(ax2＋bx＋c)是偶函數，則一定有(　　) A．b＝0 B．ac＝0 C．a＝0且c＝0 D．a＝0，c＝0且b≠0 解析：選C.設函數g(x)＝ex－e－x.g(－x)＝e－x－ex＝－g(x)，所以g(x)是奇函數．因為f(x)＝g(x)(ax2＋bx＋c)是偶函數．所以h(x)＝ax2＋bx＋c為奇函數．即h(－x)＋h(x)＝0恒成立

30、，有ax2＋c＝0恒成立．所以a＝c＝0.當a＝c＝b＝0時，f(x)＝0，也是偶函數，故選C. 4．設f(x)是定義在實數集上的函數，且f(2－x)＝f(x)，若當x≥1時，f(x)＝ln x，則有(　　) A．f

31、1 D．0 解析：選C.因為f(x)＝ln(ax＋)是奇函數，所以f(－x)＋f(x)＝0.即ln(－ax＋)＋ln(ax＋)＝0恒成立，所以ln[(1－a2)x2＋1]＝0，即(1－a2)x2＝0恒成立，所以1－a2＝0，即a＝±1. 6．(2020·杭州四中第一次月考)設奇函數f(x)在(0，＋∞)上為單調遞減函數，且f(2)＝0，則不等式≤0的解集為(　　) A．(－∞，－2]∪(0，2] B．[－2，0)∪[2，＋∞) C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．[－2，0)∪(0，2] 解析：選D.因為函數f(x)在(0，＋∞)上為單調遞減函數，且f(2)＝0，所以函

32、數f(x)在(0，2)上的函數值為正，在(2，＋∞)上的函數值為負，當x>0時，不等式≤0等價于3f(－x)－2f(x)≤0，又f(x)是奇函數，所以有f(x)≥0，所以有0

33、案：1?。? 8．若關于x的函數f(x)＝(t>0)的最大值為M，最小值為N，且M＋N＝4，則實數t的值為________． 解析：因為f(x)＝＝t＋＝t＋g(x)，其中g(x)是奇函數，M＋N＝t＋g(x)＋t＋g(－x)＝2t＝4?t＝2. 答案：2 9．(2020·杭州市富陽二中高三質檢)已知定義在R上的函數f(x)滿足：①f(1＋x)＝f(1－x)；②在[1，＋∞)上為增函數，若x∈時，f(ax)

34、， 并且自變量離1越近，則函數值越小， 由f(ax)

35、解析：當x∈(0，2]時，f(x)＝2x－1∈(0，3]，又f(x)是定義在[－2，2]上的奇函數，所以f(0)＝0，當x∈[－2，0)時，f(x)∈[－3，0)，所以函數f(x)的值域是[－3，3]．當x∈[－2，2]時，g(x)＝x2－2x＋m∈[m－1，m＋8]．由任意x1∈[－2，2]，存在x2∈[－2，2]，使得g(x2)＝f(x1)，可得[－3，3]?[m－1，m＋8]，所以?－5≤m≤－2. 答案：[－5，－2] 11．已知函數f(x)＝2x＋k·2－x，k∈R. (1)若函數f(x)為奇函數，求實數k的值； (2)若對任意的x∈[0，＋∞)，都有f(x)>2－x成立，求

36、實數k的取值范圍． 解：(1)因為f(x)＝2x＋k·2－x是奇函數， 所以f(－x)＝－f(x)，k∈R， 即2－x＋k·2x＝－(2x＋k·2－x)， 所以(k＋1)·(1＋22x)＝0對一切k∈R恒成立， 所以k＝－1. (2)因為x∈[0，＋∞)，均有f(x)>2－x， 即2x＋k·2－x>2－x對x∈[0，＋∞)恒成立， 所以1－k<22x對x∈[0，＋∞)恒成立， 所以1－k<(22x)min， 因為y＝22x在[0，＋∞)上單調遞增， 所以(22x)min＝1.所以1－k<1，解得k>0. 所以實數k的取值范圍為(0，＋∞)． 12．(2020·紹興一中

37、高三期中)已知f(x)為偶函數，當x≥0時，f(x)＝－(x－1)2＋1，求滿足f[f(a)]＝的實數a的個數． 解：令f(a)＝x，則f[f(a)]＝變形為f(x)＝； 當x≥0時，f(x)＝－(x－1)2＋1＝， 解得x1＝1＋，x2＝1－； 因為f(x)為偶函數，所以當x<0時，f(x)＝的解為x3＝－1－，x4＝－1＋； 綜上所述，f(a)＝1＋，1－，－1－，－1＋； 當a≥0時， f(a)＝－(a－1)2＋1＝1＋，方程無解； f(a)＝－(a－1)2＋1＝1－，方程有2解； f(a)＝－(a－1)2＋1＝－1－，方程有1解； f(a)＝－(a－1)2＋1＝－1

38、＋，方程有1解； 故當a≥0時，方程f(a)＝x有4解，由偶函數的性質，易得當a<0時，方程f(a)＝x也有4解， 綜上所述，滿足f[f(a)]＝的實數a的個數為8. [綜合題組練] 1．已知f(x)是奇函數，且當x＜0時，f(x)＝x2＋3x＋2.若當x∈[1，3]時，n≤f(x)≤m恒成立，則m－n的最小值為　(　　) A. B．2 C. D. 解析：選A.設x＞0，則－x＜0，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋3(－x)＋2]＝－x2＋3x－2.所以在[1，3]上，當x＝時，f(x)max＝；當x＝3時，f(x)min＝－2.所以m≥且n≤－2.故m－n≥

39、. 2．(2020·寧波效實中學高三月考)對于函數f(x)，若存在常數a≠0，使得x取定義域內的每一個值，都有f(x)＝f(2a－x)，則稱f(x)為準偶函數．下列函數中是準偶函數的是(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝x2 C．f(x)＝tan x D．f(x)＝cos(x＋1) 解析：選D.由f(x)為準偶函數的定義可知，若f(x)的圖象關于x＝a(a≠0)對稱，則f(x)為準偶函數，A，C中兩函數的圖象無對稱軸，B中函數圖象的對稱軸只有x＝0，而D中f(x)＝cos(x＋1)的圖象關于x＝kπ－1(k∈Z)對稱． 3．已知函數f(x)＝a－.若f(x)為奇函數，則a

40、＝________． 解析：法一：因為f(x)是奇函數，所以f(－x)＝－f(x)， 即a－＝－，則2a＝＋＝＋＝＝1，所以a＝. 法二：因為f(x)為奇函數，定義域為R，所以f(0)＝0. 所以a－＝0，所以a＝.經檢驗，當a＝時，f(x)是一個奇函數． 答案： 4．已知f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數，且f(x)－g(x)＝，則f(1)，g(0)，g(－1)之間的大小關系是________． 解析：在f(x)－g(x)＝中，用－x替換x，得f(－x)－g(－x)＝2x，由于f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數，所以f(－x)＝－f(x)，g(－

41、x)＝g(x)，因此得－f(x)－g(x)＝2x.聯立方程組解得f(x)＝，g(x)＝－，于是f(1)＝－，g(0)＝－1，g(－1)＝－，故f(1)>g(0)>g(－1)． 答案：f(1)>g(0)>g(－1) 5．(2020·杭州學軍中學高三質檢)已知函數y＝f(x)在定義域[－1，1]上既是奇函數，又是減函數． (1)求證：對任意x1，x2∈[－1，1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0； (2)若f(1－a)＋f(1－a2)＜0，求實數a的取值范圍． 解：(1)證明：若x1＋x2＝0，顯然不等式成立． 若x1＋x2＜0，則－1≤x1＜－x2≤1， 因為f(

42、x)在[－1，1]上是減函數且為奇函數， 所以f(x1)＞f(－x2)＝－f(x2)， 所以f(x1)＋f(x2)＞0. 所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立． 若x1＋x2＞0，則1≥x1＞－x2≥－1， 同理可證f(x1)＋f(x2)＜0. 所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立． 綜上得證，對任意x1，x2∈[－1，1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0恒成立． (2)因為f(1－a)＋f(1－a2)＜0?f(1－a2)＜－f(1－a)＝f(a－1)，所以由f(x)在定義域[－1，1]上是減函數，得即解得0≤a＜1. 故所求

43、實數a的取值范圍是[0，1)． 6．(2020·寧波市余姚中學高三模擬)設常數a∈R，函數f(x)＝(a－x)|x|. (1)若a＝1，求f(x)的單調區(qū)間； (2)若f(x)是奇函數，且關于x的不等式mx2＋m>f[f(x)]對所有的x∈[－2，2]恒成立，求實數m的取值范圍． 解：(1)當a＝1時，f(x)＝(1－x)|x|＝， 當x≥0時，f(x)＝(1－x)x＝－＋， 所以f(x)在內是增函數， 在內是減函數； 當x<0時，f(x)＝(x－1)x＝－， 所以f(x)在(－∞，0)內是減函數； 綜上可知，f(x)的單調增區(qū)間為， 單調減區(qū)間為(－∞，0)，. (2)因為f(x)是奇函數，所以f(－1)＝－f(1)， 即(a＋1)·1＝－(a－1)·1，解得a＝0. 所以f(x)＝－x|x|，f[f(x)]＝x3|x|； 所以mx2＋m>f[f(x)]＝x3|x|， 即m>對所有的x∈[－2，2]恒成立． 因為x∈[－2，2]，所以x2＋1∈[1，5]． 所以≤＝＝x2＋1＋－2≤. 所以m>. 所以實數m的取值范圍為. 18