2、用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解． ②利用零點(diǎn)分段法求解． ③構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解． 1．判斷題 (1)不等式|x|

3、式|2x－1|>3的解集為________． 解析：由|2x－1|>3得， 2x－1<－3或2x－1>3，即x<－1或x>2. 答案：{x|x<－1或x>2} (3)若關(guān)于x的不等式|ax－2|<3的解集為，則a＝________. 解析：依題意，知a≠0.|ax－2|<3?－30時(shí)，不等式的解集為， 從而有此方程組無解． 當(dāng)a<0時(shí)，不等式的解集為， 從而有解得a＝－3. 答案：－3 (4)不等式|x＋1|－|x－2|≥1的解集是________． 解析：f(x)＝|x＋1|－|x－2|＝ 當(dāng)－1

4、≤x<2. 又當(dāng)x≥2時(shí)，f(x)＝3>1恒成立． 所以不等式的解集為{x|x≥1}． 答案：{x|x≥1} 絕對(duì)值不等式的解法 [典例]　解下列不等式： (1)|2x＋1|－2|x－1|>0. (2)|x＋3|－|2x－1|<＋1. [解]　(1)法一：原不等式可化為|2x＋1|>2|x－1|，兩邊平方得4x2＋4x＋1>4(x2－2x＋1)，解得x>，所以原不等式的解集為. 法二：原不等式等價(jià)于 或或 解得x>，所以原不等式的解集為. (2)①當(dāng)x<－3時(shí)，原不等式化為－(x＋3)－(1－2x)<＋1，解得x<10，∴x<－3. ②當(dāng)－3≤

5、x<時(shí)，原不等式化為(x＋3)－(1－2x)<＋1，解得x<－，∴－3≤x<－. ③當(dāng)x≥時(shí)，原不等式化為(x＋3)＋(1－2x)<＋1， 解得x>2，∴x>2. 綜上可知，原不等式的解集為. [方法技巧] 絕對(duì)值不等式的常用解法 (1)基本性質(zhì)法 對(duì)a∈R＋，|x|a?x<－a或x>a. (2)平方法 兩邊平方去掉絕對(duì)值符號(hào)． (3)零點(diǎn)分區(qū)間法 含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值符號(hào)的不等式，可用零點(diǎn)分區(qū)間法去掉絕對(duì)值符號(hào)，將其轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的不含絕對(duì)值符號(hào)的不等式(組)求解．　　 1．求不等式|x－1|－|x－5|<2的解集． 解：

6、不等式|x－1|－|x－5|<2等價(jià)于 或 或 即或或故原不等式的解集為{x|x<1}∪{x|1≤x<4}∪?＝{x|x<4}． 2．解不等式x＋|2x＋3|≥2. 解：原不等式可化為或 解得x≤－5或x≥－. 所以原不等式的解集是. 3．已知函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x＋a|，g(x)＝|x－2|＋1. (1)當(dāng)a＝2時(shí)，解不等式f(x)≥5； (2)若對(duì)任意x1∈R，都存在x2∈R，使得g(x2)＝f(x1)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解：(1)當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝|x－1|＋|x＋2|＝∴f(x)≥5?或或 解得x≥2或x≤－3，∴不等式f(x)≥5的解

7、集為(－∞，－3]∪[2，＋∞)． (2)∵對(duì)任意x1∈R，都存在x2∈R，使得g(x2)＝f(x1)成立，∴{y|y＝f(x)}?{y|y＝g(x)}． ∵f(x)＝|x－1|＋|x＋a|≥|(x－1)－(x＋a)|＝|a＋1|(當(dāng)且僅當(dāng)(x－1)(x＋a)≤0時(shí)等號(hào)成立)，g(x)＝|x－2|＋1≥1，∴|a＋1|≥1， ∴a＋1≥1或a＋1≤－1， ∴a≥0或a≤－2，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，－2]∪[0，＋∞)． 4．(2018·湖北黃石調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x＋3|. (1)解不等式f(x)≥8； (2)若不等式f(x)

8、實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解：(1)f(x)＝|x－1|＋|x＋3|＝ 當(dāng)x<－3時(shí)，由－2x－2≥8，解得x≤－5； 當(dāng)－3≤x≤1時(shí)，4≥8，不成立； 當(dāng)x>1時(shí)，由2x＋2≥8，解得x≥3. ∴不等式f(x)≥8的解集為{x|x≤－5或x≥3}． (2)由(1)得f(x)min＝4.又∵不等式f(x)4，解得a>4或a<－1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－1)∪(4，＋∞)． 突破點(diǎn)(二)　絕對(duì)值三角不等式　 絕對(duì)值三角不等式定理 定理1 如果a，b是實(shí)數(shù)，則|a＋b|≤|a|＋|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時(shí)，等號(hào)

9、成立 定理2 如果a，b，c是實(shí)數(shù)，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，當(dāng)且僅當(dāng)(a－b)(b－c)≥0時(shí)，等號(hào)成立 1．判斷題 (1)|a＋b|＋|a－b|≥|2a|.(　　) (2)不等式|a－b|≤|a|＋|b|等號(hào)成立的條件是ab≤0.(　　) 答案：(1)√　(2)√ 2．填空題 (1)函數(shù)y＝|x－4|＋|x＋4|的最小值為________． 解析：∵|x－4|＋|x＋4|≥|(x－4)－(x＋4)|＝8， 即函數(shù)y的最小值為8. 答案：8 (2)設(shè)a，b為滿足ab<0的實(shí)數(shù)，那么下列正確的是________． ①|(zhì)a＋b|>|a－b|　　

10、　?、趞a＋b|<|a－b| ③|a－b|<||a|－|b|| ④|a－b|<|a|＋|b| 解析：∵ab<0， ∴|a－b|＝|a|＋|b|>|a＋b|. 答案：② (3)若存在實(shí)數(shù)x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 解析：∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|， 要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，可使|a－1|≤3， ∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4. 答案：[－2,4] 證明絕對(duì)值不等式 [例1]　已知x，y∈R，且|x＋y|≤，|x－y|≤， 求證：|x＋5y|≤1. [證

11、明]　∵|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|. ∴由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，得 |x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)| ＝3|x＋y|＋2|x－y|≤3×＋2×＝1. 即|x＋5y|≤1. [方法技巧] 證明絕對(duì)值不等式的三種主要方法 (1)利用絕對(duì)值的定義去掉絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為普通不等式再證明． (2)利用三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|進(jìn)行證明． (3)轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行證明．　　 絕對(duì)值不等式的恒成立問題 [例2]　(2018·湖南五市十校聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)＝|x－a|

12、＋|x－3|，a<3. (1)若不等式f(x)≥4的解集為，求a的值； (2)若對(duì)?x∈R，不等式f(x)＋|x－3|≥1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． [解]　(1)法一：由已知得f(x)＝ 當(dāng)x3時(shí)，2x－a－3≥4，得x≥. 已知f(x)≥4的解集為，則顯然a＝2. 法二：由已知易得f(x)＝|x－a|＋|x－3|的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱， 又f(x)≥4的解集為，則＋＝a＋3，即a＝2. (2)法一：不等式f(x)＋|x－3|≥1恒成立，即|x－a|＋2|x－3|≥1恒成立． 當(dāng)x≤a時(shí)，－3x＋a＋5≥0恒成立，得－3a＋a

13、＋5≥0，解得a≤； 當(dāng)a0)． (1)證明：f(x)≥2； (2)若f(3

14、)<5，求a的取值范圍． 解：(1)證明：由a>0，有f(x)＝＋|x－a|≥＝＋a≥2.當(dāng)且僅當(dāng)a＝1時(shí)等號(hào)成立．所以f(x)≥2. (2)f(3)＝＋|3－a|. 當(dāng)a>3時(shí)，f(3)＝a＋， 由f(3)<5得30)． (1)當(dāng)m＝1時(shí)，求不等式f(x)≥1的解集； (2)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，t，不等式f(x)<|2＋t|＋|t－1|恒成立，求m的取值范圍． 解：(1)f(x)＝|x－m|－|x＋3m| ＝ 當(dāng)m＝1時(shí)

15、，由或x≤－3，得x≤－， ∴不等式f(x)≥1的解集為. (2)不等式f(x)<|2＋t|＋|t－1|對(duì)任意的實(shí)數(shù)t，x恒成立，等價(jià)于對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，f(x)<(|2＋t|＋|t－1|)min恒成立，即[f(x)]max<(|2＋t|＋|t－1|)min， ∵f(x)＝|x－m|－|x＋3m|≤|(x－m)－(x＋3m)|＝4m， |2＋t|＋|t－1|≥|(2＋t)－(t－1)|＝3， ∴4m<3，又m>0，∴00(a∈R)； (2)若函數(shù)

16、f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)圖象的上方，求m的取值范圍． 解：(1)不等式f(x)＋a－1>0， 即|x－2|＋a－1>0. 當(dāng)a＝1時(shí)， 原不等式化為|x－2|>0，解得x≠2，即解集為(－∞，2)∪(2，＋∞)； 當(dāng)a>1時(shí)，解集為全體實(shí)數(shù)R； 當(dāng)a<1時(shí)，|x－2|>1－a(1－a>0)，解集為(－∞，a＋1)∪(3－a，＋∞)． (2)f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)圖象的上方， 即|x－2|>－|x＋3|＋m對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立， 即|x－2|＋|x＋3|>m恒成立． 又由絕對(duì)值三角不等式知，對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒有|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5，

17、當(dāng)且僅當(dāng)(x－2)(x＋3)≤0時(shí)等號(hào)成立． 于是得m<5，故m的取值范圍是(－∞，5). [全國(guó)卷5年真題集中演練——明規(guī)律]　 　 1．(2017·全國(guó)卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|. (1)當(dāng)a＝1時(shí)，求不等式f(x)≥g(x)的解集； (2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范圍． 解：(1)當(dāng)a＝1時(shí)，不等式f(x)≥g(x)等價(jià)于 x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.?、? 當(dāng)x＜－1時(shí)，①式化為x2－3x－4≤0，無解； 當(dāng)－

18、1≤x≤1時(shí)，①式化為x2－x－2≤0，從而－1≤x≤1； 當(dāng)x＞1時(shí)，①式化為x2＋x－4≤0， 從而1＜x≤. 所以f(x)≥g(x)的解集為. (2)當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，g(x)＝2. 所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，等價(jià)于當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，f(x)≥2. 又f(x)在[－1,1]的最小值必為f(－1)與f(1)之一， 所以f(－1)≥2且f(1)≥2，得－1≤a≤1. 所以a的取值范圍為[－1,1]． 2．(2017·全國(guó)卷Ⅲ)已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|－|x－2|. (1)求不等式f(x)≥1的解集； (2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的

19、解集非空，求m的取值范圍． 解：(1)f(x)＝ 當(dāng)x＜－1時(shí)，f(x)≥1無解； 當(dāng)－1≤x≤2時(shí)，由f(x)≥1，得2x－1≥1，解得1≤x≤2； 當(dāng)x＞2時(shí)，由f(x)≥1，解得x＞2. 所以f(x)≥1的解集為{x|x≥1}． (2)由f(x)≥x2－x＋m，得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x. 而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|＝－2＋≤， 且當(dāng)x＝時(shí)，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝. 故m的取值范圍為. 3．(2016·全國(guó)卷Ⅲ)已知函數(shù)f(x)＝|2x－a|＋a. (1)當(dāng)a＝2時(shí)，求不等式f(x)≤6的解集；

20、 (2)設(shè)函數(shù)g(x)＝|2x－1|.當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范圍． 解：(1)當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝|2x－2|＋2. 解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3. 因此f(x)≤6的解集為{x|－1≤x≤3}． (2)當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥3， 即＋≥. 又min＝， 所以≥，解得a≥2. 所以a的取值范圍是[2，＋∞)． 4．(2015·全國(guó)卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0. (1)當(dāng)a＝1時(shí)，求不等式f(x)>1的解集； (2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6，求a

21、的取值范圍． 解：(1)當(dāng)a＝1時(shí)， f(x)>1化為|x＋1|－2|x－1|－1>0. 當(dāng)x≤－1時(shí)，不等式化為x－4>0，無解； 當(dāng)－10， 解得0，解得1≤x<2. 所以f(x)>1的解集為. (2)由題設(shè)可得f(x)＝ 所以函數(shù)f(x)的圖象與x軸圍成的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)， △ABC的面積為(a＋1)2. 由題設(shè)得(a＋1)2>6，故a>2. 所以a的取值范圍為(2，＋∞)． [課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)]

22、 1．已知函數(shù)f(x)＝|x＋m|－|5－x|(m∈R)． (1)當(dāng)m＝3時(shí)，求不等式f(x)>6的解集； (2)若不等式f(x)≤10對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，求m的取值范圍． 解：(1)當(dāng)m＝3時(shí)，f(x)>6，即|x＋3|－|5－x|>6，不等式的解集是以下三個(gè)不等式組解集的并集. 解得x≥5； 或解得46的解集為{x|x>4}． (2)f(x)＝|x＋m|－|5－x|≤|(x＋m)＋(5－x)|＝|m＋5|，由題意得|m＋5|≤10，則－10≤m＋5≤10， 解得－15≤m≤5，故

23、m的取值范圍為[－15,5]． 2．(2018·江西南昌模擬)已知函數(shù)f(x)＝|2x－a|＋|x－1|. (1)若不等式f(x)≤2－|x－1|有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (2)當(dāng)a<2時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值為3，求實(shí)數(shù)a的值． 解：(1)由題意f(x)≤2－|x－1|，即為＋|x－1|≤1.而由絕對(duì)值的幾何意義知＋|x－1|≥， 由不等式f(x)≤2－|x－1|有解， ∴≤1，即0≤a≤4.∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0,4]． (2)由2x－a＝0得x＝，由x－1＝0得x＝1，由a<2知<1， ∴f(x)＝ 函數(shù)的圖象如圖所示． ∴f(x)min＝f＝－＋1＝3， 解得

24、a＝－4. 3．(2018·廣東潮州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝|2x＋3|＋|x－1|. (1)解不等式f(x)>4； (2)若?x∈，不等式a＋14，可化為或或 解得x<－2或01. ∴不等式f(x)>4的解集為(－∞，－2)∪(0，＋∞)． (2)由(1)知，當(dāng)x<－時(shí)，f(x)＝－3x－2， ∵當(dāng)x<－時(shí)，f(x)＝－3x－2>， ∴a＋1≤，即a≤. ∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為. 4．(2018·長(zhǎng)春模擬)已知函數(shù)f(x)＝|x－2|－|x＋1

25、|. (1)解不等式f(x)>1； (2)當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)g(x)＝(a>0)的最小值大于函數(shù)f(x)，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解：(1)當(dāng)x>2時(shí)，原不等式可化為x－2－x－1>1，解集是?. 當(dāng)－1≤x≤2時(shí)，原不等式可化為2－x－x－1>1，即－1≤x<0； 當(dāng)x<－1時(shí)，原不等式可化為2－x＋x＋1>1，即x<－1. 綜上，原不等式的解集是{x|x<0}． (2)因?yàn)間(x)＝ax＋－1≥2－1， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)等號(hào)成立， 所以g(x)min＝2－1， 當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝ 所以f(x)∈[－3,1)，所以2－1≥1，即a≥1， 故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，＋∞

26、)． 5．(2018·湖北四校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝e|x＋a|－|x－b|，a，b∈R. (1)當(dāng)a＝b＝1時(shí)，解不等式f(x)≥e； (2)若f(x)≤e2恒成立，求a＋b的取值范圍． 解：(1)當(dāng)a＝b＝1時(shí)，f(x)＝e|x＋1|－|x－1|，由于y＝ex在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，所以f(x)≥e等價(jià)于|x＋1|－|x－1|≥1，① 當(dāng)x≥1時(shí)，|x＋1|－|x－1|＝x＋1－(x－1)＝2，則①式恒成立； 當(dāng)－1

27、 (2)f(x)≤e2等價(jià)于|x＋a|－|x－b|≤2，② 因?yàn)閨x＋a|－|x－b|≤|x＋a－x＋b|＝|a＋b|， 所以要使②式恒成立，只需|a＋b|≤2， 可得a＋b的取值范圍是[－2,2]． 6．(2018·湖北棗陽一中模擬)已知f(x)＝|x－1|＋|x＋a|，g(a)＝a2－a－2. (1)當(dāng)a＝3時(shí)，解關(guān)于x的不等式f(x)>g(a)＋2； (2)當(dāng)x∈[－a,1)時(shí)恒有f(x)≤g(a)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解：(1)a＝3時(shí)，f(x)＝|x－1|＋|x＋3|＝g(3)＝4. ∴f(x)>g(a)＋2化為|x－1|＋|x＋3|>6， 即或或 解得x<－

28、4或x>2. ∴所求不等式解集為(－∞，－4)∪(2，＋∞)． (2)∵x∈[－a,1)．∴f(x)＝1＋a. ∴f(x)≤g(a)即為1＋a≤a2－a－2，可化為a2－2a－3≥0，解得a≥3或a≤－1. 又∵－a<1，∴a>－1. 綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[3，＋∞)． 7．(2018·安徽蚌埠模擬)已知函數(shù)f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|，g(x)＝|x－1|＋2. (1)解不等式|g(x)|<5； (2)若對(duì)任意x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解：(1)由||x－1|＋2|<5，得－5<|x－1|＋2<5，∴－7<|x

29、－1|<3，解得－20)，若|x－a|－f(x)≤＋(a>0)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

30、． 解：(1)不等式f(x)<4－|x－1|，即|3x＋2|＋|x－1|<4. 當(dāng)x<－時(shí)，即－3x－2－x＋1<4， 解得－1時(shí)，即3x＋2＋x－1<4，無解． 綜上所述，原不等式的解集為. (2)＋＝(m＋n)＝1＋1＋＋≥4， 當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝時(shí)等號(hào)成立． 令g(x)＝|x－a|－f(x)＝|x－a|－|3x＋2|＝ ∴x＝－時(shí)，g(x)max＝＋a，要使不等式恒成立， 只需g(x)max＝＋a≤4，即0

31、突破1個(gè)知識(shí)點(diǎn)：不等式的證明. 突破點(diǎn)　不等式的證明　 1．基本不等式 定理1 如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立 定理2 如果a，b＞0，那么≥，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立，即兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均不小于(即大于或等于)它們的幾何平均 定理3 如果a，b，c∈R＋，那么≥，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，等號(hào)成立 2.比較法 (1)作差法的依據(jù)是：a－b＞0?a＞b. (2)作商法：若B＞0，欲證A≥B，只需證≥1. 3．綜合法與分析法 綜合法 一般地，從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過一系列的推理、論證而得出命

32、題成立 分析法 從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)(定義，公理或已證明的定理，性質(zhì)等)，從而得出要證的命題成立 1．判斷題 (1)已知x為正實(shí)數(shù)，則1＋x＋≥3.(　　) (2)若a>2，b>2，則a＋b>ab.(　　) (3)設(shè)x＝a＋2b，S＝a＋b2＋1則S≥x.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√ 2．填空題 (1)已知a，b∈R＋，a＋b＝2，則＋的最小值為________． 解析：∵a，b∈R＋，且a＋b＝2，∴(a＋b)＝2＋＋≥2＋2 ＝4，∴＋≥＝2，即＋的最小值為2(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1

33、時(shí)，“＝”成立)． 答案：2 (2)已知正實(shí)數(shù)a，b滿足2ab＝a＋b＋12，則ab的最小值是________． 解析：由2ab＝a＋b＋12，得2ab≥2＋12，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立．化簡(jiǎn)得(－3)(＋2)≥0，解得ab≥9，所以ab的最小值是9. 答案：9 (3)已知a，b，c是正實(shí)數(shù)，且a＋b＋c＝1，則＋＋的最小值為________． 解析：把a(bǔ)＋b＋c＝1代入＋＋， 得＋＋ ＝3＋＋＋ ≥3＋2＋2＋2＝9， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時(shí)，等號(hào)成立． 答案：9 (4)設(shè)x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若x>y，則實(shí)數(shù)a，b應(yīng)滿足的條件為________

34、________． 解析：若x>y，則x－y＝a2b2＋5－(2ab－a2－4a) ＝a2b2－2ab＋a2＋4a＋5 ＝(ab－1)2＋(a＋2)2>0， ∴ab≠1或a≠－2. 答案：ab≠1或a≠－2 比較法證明不等式 [例1]　求證：(1)當(dāng)x∈R時(shí)，1＋2x4≥2x3＋x2； (2)當(dāng)a，b∈(0，＋∞)時(shí)，aabb≥(ab). [證明]　(1)法一：(1＋2x4)－(2x3＋x2) ＝2x3(x－1)－(x＋1)(x－1) ＝(x－1)(2x3－x－1) ＝(x－1)(2x3－2x＋x－1) ＝(x－1)[2x(x2－1)＋(x－1)]

35、＝(x－1)2(2x2＋2x＋1) ＝(x－1)2≥0， 所以1＋2x4≥2x3＋x2. 法二：(1＋2x4)－(2x3＋x2) ＝x4－2x3＋x2＋x4－2x2＋1 ＝(x－1)2·x2＋(x2－1)2≥0， 所以1＋2x4≥2x3＋x2. (2)＝ab＝， ∴當(dāng)a＝b時(shí)，＝1， 當(dāng)a>b>0時(shí)，>1，>0， ∴>1， 當(dāng)b>a>0時(shí)，0<<1，<0， 則>1，∴aabb≥(ab). [方法技巧] 作差比較法證明不等式的步驟 (1)作差；(2)變形；(3)判斷差的符號(hào)；(4)下結(jié)論．其中“變形”是關(guān)鍵，通常將差變形成因式連乘積的形式或平方和的形式，再結(jié)合不等式

36、的性質(zhì)判斷出差的正負(fù)．　　 綜合法證明不等式 [例2]　已知a，b，c>0且互不相等，abc＝1.試證明：＋＋＜＋＋. [證明]　因?yàn)閍，b，c＞0，且互不相等，abc＝1， 所以＋＋＝ ＋ ＋ ＜＋＋ ＝＋＋， 即＋＋＜＋＋. [方法技巧] 綜合法證明時(shí)常用的不等式 (1)a2≥0；|a|≥0. (2)a2＋b2≥2ab. (3)≥，它的變形形式有：a＋≥2(a>0)；＋≥2(ab>0)；＋≤－2(ab<0)．　　 分析法證明不等式 [例3]　(2018·福建畢業(yè)班質(zhì)量檢測(cè))已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|. (1)求不等式f(x)＜|2x

37、＋1|－1的解集M； (2)設(shè)a，b∈M，證明：f(ab)＞f(a)－f(－b)． [解]　(1)由題意，|x＋1|<|2x＋1|－1， ①當(dāng)x≤－1時(shí)，不等式可化為－x－1＜－2x－2， 解得x＜－1； ②當(dāng)－1＜x＜－時(shí)， 不等式可化為x＋1＜－2x－2， 解得x＜－1，此時(shí)不等式無解； ③當(dāng)x≥－時(shí)， 不等式可化為x＋1＜2x，解得x＞1. 綜上，M＝{x|x＜－1或x＞1}． (2)因?yàn)閒(a)－f(－b)＝|a＋1|－|－b＋1|≤|a＋1－(－b＋1)|＝|a＋b|， 所以，要證f(ab)＞f(a)－f(－b)， 只需證|ab＋1|＞|a＋b|， 即證|

38、ab＋1|2＞|a＋b|2， 即證a2b2＋2ab＋1＞a2＋2ab＋b2， 即證a2b2－a2－b2＋1＞0， 即證(a2－1)(b2－1)＞0. 因?yàn)閍，b∈M， 所以a2＞1，b2＞1， 所以(a2－1)(b2－1)＞0成立，所以原不等式成立． [方法技巧] 分析法的應(yīng)用 當(dāng)所證明的不等式不能使用比較法，且和重要不等式(a2＋b2≥2ab)、基本不等式?jīng)]有直接聯(lián)系，較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時(shí)，可用分析法來尋找證明途徑，使用分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步必須可逆．　　 1.設(shè)x≥1，y≥1，求證x＋y＋≤＋＋xy. 證明：由于x≥1，y≥1， 要證x＋y

39、＋≤＋＋xy， 只需證xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2. 因?yàn)閇y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1] ＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)] ＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1) ＝(xy－1)(xy－x－y＋1) ＝(xy－1)(x－1)(y－1)， 因?yàn)閤≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0， 從而所要證明的不等式成立． 2.設(shè)不等式|2x－1|＜1的解集為M. (1)求集合M. (2)若a，b∈M，試比較ab＋1與a＋b的大?。? 解：(1)由|2x－1|＜1得－1＜2x－1＜1， 解得0＜x＜1.所以M

40、＝{x|0＜x＜1}． (2)由(1)和a，b∈M可知0＜a＜1,0＜b＜1， 所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0. 故ab＋1＞a＋b. 3.已知a，b，c，d均為正數(shù)，且ad＝bc. (1)證明：若a＋d>b＋c，則|a－d|>|b－c|； (2)t·＝＋，求實(shí)數(shù)t的取值范圍． 解：(1)證明：由a＋d>b＋c，且a，b，c，d均為正數(shù)，得(a＋d)2>(b＋c)2，又ad＝bc， 所以(a－d)2>(b－c)2，即|a－d|>|b－c|. (2)因?yàn)?a2＋b2)(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2＝a2c2＋2abcd＋b2d2＝

41、(ac＋bd)2，所以t·＝t(ac＋bd)． 由于≥ac，≥bd， 又已知t·＝＋， 則t(ac＋bd)≥(ac＋bd)，故t≥，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c，b＝d時(shí)取等號(hào). 　[全國(guó)卷5年真題集中演練——明規(guī)律]　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2017·全國(guó)卷Ⅱ)已知a>0，b>0，a3＋b3＝2.證明： (1)(a＋b)(a5＋b5)≥4； (2)a＋b≤2. 證明：(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6 ＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4) ＝4＋ab(a2－b2)2≥4. (2)因?yàn)?a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b

42、3 ＝2＋3ab(a＋b)≤2＋(a＋b) ＝2＋， 所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2. 2．(2016·全國(guó)卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝＋，M為不等式f(x)<2的解集． (1)求M； (2)證明：當(dāng)a，b∈M時(shí)，|a＋b|<|1＋ab|. 解：(1)f(x)＝ 當(dāng)x≤－時(shí)，由f(x)<2得－2x<2，解得x>－1， 所以－1

43、)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)<0. 因此|a＋b|<|1＋ab|. [課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)] 1．(2018·武漢調(diào)研)若正實(shí)數(shù)a，b滿足a＋b＝，求證：＋≤1. 證明：要證 ＋≤1，只需證a＋b＋2≤1， 即證2≤，即證≤. 而a＋b＝≥2，∴≤成立， ∴原不等式成立． 2．已知函數(shù)f(x)＝|x＋3|＋|x－1|，其最小值為t. (1)求t的值； (2)若正實(shí)數(shù)a，b滿足a＋b＝t，求證：＋≥. 解：(1)因?yàn)閨x＋3|＋

44、|x－1|＝|x＋3|＋|1－x|≥|x＋3＋1－x|＝4，所以f(x)min＝4，即t＝4. (2)證明：由(1)得a＋b＝4，故＋＝1，＋＝＝＋1＋＋≥＋2＝＋1＝，當(dāng)且僅當(dāng)b＝2a，即a＝，b＝時(shí)取等號(hào)，故＋≥. 3．設(shè)不等式－2<|x－1|－|x＋2|<0的解集為M，a，b∈M. (1)證明：<； (2)比較|1－4ab|與2|a－b|的大小，并說明理由． 解：(1)證明：記f(x)＝|x－1|－|x＋2| ＝ 由－2<－2x－1<0解得－

45、(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)＝(4a2－1)(4b2－1)>0. 所以|1－4ab|2>4|a－b|2， 故|1－4ab|>2|a－b|. 4．(2018·廣州模擬)已知x，y，z∈(0，＋∞)，x＋y＋z＝3. (1)求＋＋的最小值； (2)證明：3≤x2＋y2＋z2<9. 解：(1)因?yàn)閤＋y＋z≥3>0，＋＋≥>0， 所以(x＋y＋z)≥9， 即＋＋≥3，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z＝1時(shí)，＋＋取得最小值3. (2)證明：x2＋y2＋z2 ＝ ≥ ＝＝3， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z＝1時(shí)等號(hào)成立． 又因?yàn)閤2＋y2＋z2－9＝x2＋y2＋z2－(x＋

46、y＋z)2＝－2(xy＋yz＋zx)<0， 所以3≤x2＋y2＋z2<9. 5．(2018·安徽百所重點(diǎn)高中模擬)已知a>0，b>0，函數(shù)f(x)＝|2x＋a|＋2＋1的最小值為2. (1)求a＋b的值； (2)求證：a＋log3≥3－b. 解：(1)因?yàn)閒(x)＝|2x＋a|＋|2x－b|＋1≥|2x＋a－(2x－b)|＋1＝|a＋b|＋1， 當(dāng)且僅當(dāng)(2x＋a)(2x－b)≤0時(shí)，等號(hào)成立， 又a>0，b>0，所以|a＋b|＝a＋b， 所以f(x)的最小值為a＋b＋1＝2，所以a＋b＝1. (2)由(1)知，a＋b＝1， 所以＋＝(a＋b)＝1＋4＋＋≥5＋2 ＝9，

47、 當(dāng)且僅當(dāng)＝且a＋b＝1， 即a＝，b＝時(shí)取等號(hào)． 所以log3≥log39＝2， 所以a＋b＋log3≥1＋2＝3， 即a＋log3≥3－b. 6．(2018·長(zhǎng)沙模擬)設(shè)α，β，γ均為實(shí)數(shù)． (1)證明：|cos(α＋β)|≤|cos α|＋|sin β|，|sin(α＋β)|≤|cos α|＋|cos β|； (2)若α＋β＋γ＝0，證明：|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|≥1. 證明：(1)|cos(α＋β)|＝|cos αcos β－sin αsin β|≤|cos αcos β|＋|sin αsin β|≤|cos α|＋|sin β|； |sin(α

48、＋β)|＝|sin αcos β＋cos αsin β|≤|sin αcos β|＋|cos αsin β|≤|cos α|＋|cos β|. (2)由(1)知，|cos[α＋(β＋γ)]|≤|cos α|＋|sin(β＋γ)|≤|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|， 而α＋β＋γ＝0，故|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|≥cos 0＝1. 7．(2018·安徽安師大附中、馬鞍山二中階段測(cè)試)已知函數(shù)f(x)＝|x－2|. (1)解不等式：f(x)＋f(x＋1)≤2； (2)若a<0，求證：f(ax)－af(x)≥f(2a)． 解：(1)由題意，得f(x)＋f

49、(x＋1)＝|x－1|＋|x－2|. 因此只要解不等式|x－1|＋|x－2|≤2. 當(dāng)x≤1時(shí)，原不等式等價(jià)于－2x＋3≤2，即≤x≤1； 當(dāng)12時(shí)，原不等式等價(jià)于2x－3≤2，即2