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1、高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 2-4 函數(shù)的奇偶性與周期性練習(xí) 新人教A版
一、選擇題(本大題共6小題,每小題5分,共30分)
1.(xx·北京卷)下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減的是( )
A.y= B.y=e-x
C.y=-x2+1 D.y=lg|x|
解析 y=是奇函數(shù),選項(xiàng)A錯(cuò);y=e-x是指數(shù)函數(shù),非奇非偶,選項(xiàng)B錯(cuò);y=lg|x|是偶函數(shù),但在(0,+∞)上單調(diào)遞增,選項(xiàng)D錯(cuò);只有選項(xiàng)C是偶函數(shù)且在(0,+∞)上單調(diào)遞減.
答案 C
2.(xx·湖南卷)已知f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,則
2、g(1)等于( )
A.4 B.3
C.2 D.1
解析 由已知可得,-f(1)+g(1)=2,f(1)+g(1)=4,兩式相加解得,g(1)=3,故選B.
答案 B
3.已知f(x)在R上是奇函數(shù),且滿足f(x+4)=f(x),當(dāng)x∈(0,2)時(shí),f(x)=2x2,則f(7)等于( )
A.-2 B.2
C.-98 D.98
解析 ∵f(x+4)=f(x),∴f(x)是周期為4的函數(shù).
∴f(7)=f(2×4-1)=f(-1).又∵f(x)在R上是奇函數(shù),
∴f(-x)=-f(x).∴f(-1)=-f(1).而當(dāng)x∈(0,2)時(shí),f(x)=2x2,∴f
3、(1)=2×12=2.∴f(7)=f(-1)=-f(1)=-2.故選A.
答案 A
4.(xx·湖北卷)x為實(shí)數(shù),[x]表示不超過x的最大整數(shù),則函數(shù)f(x)=x-[x]在R上為( )
A.奇函數(shù) B.偶函數(shù)
C.增函數(shù) D.周期函數(shù)
解析 當(dāng)x∈[0,1)時(shí),畫出函數(shù)圖象(圖略),再左右擴(kuò)展知f(x)為周期函數(shù).故選D.
答案 D
5.若函數(shù)f(x)=為奇函數(shù),則a=( )
A. B.
C. D.1
解析 ∵f(x)=是奇函數(shù),
∴f(-1)=-f(1).
∴=-.
∴a+1=3(1-a),解得a=.
答案 A
6.設(shè)f(x)是奇函數(shù),且在(0
4、,+∞)內(nèi)是增函數(shù),又f(-3)=0,則x·f(x)<0的解集是( )
A.{x|-33}
B.{x|x<-3,或03}
D.{x|-3
5、4+2)=-6.
答案?。?
8.設(shè)函數(shù)f(x)=x(ex+ae-x)(x∈R)是偶函數(shù),則實(shí)數(shù)a的值為________.
解析 因?yàn)閒(x)是偶函數(shù),所以恒有f(-x)=f(x),即-x(e-x+aex)=x(ex+ae-x),化簡得x(e-x+ex)(a+1)=0.因?yàn)樯鲜綄θ我鈱?shí)數(shù)x都成立,所以a=-1.
答案?。?
9.(xx·安徽卷)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=2f(x).若當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)=x(1-x),則當(dāng)-1≤x≤0時(shí),f(x)=________.
解析 當(dāng)-1≤x≤0時(shí),有0≤x+1≤1,所以f(1+x)=(1+x)[1-(1+x)]=-x(
6、1+x),又f(x+1)=2f(x),所以f(x)=f(1+x)=-.
答案 -
三、解答題(本大題共3小題,每小題10分,共30分)
10.已知函數(shù)f(x)=x2+(x≠0).
(1)判斷f(x)的奇偶性,并說明理由;
(2)若f(1)=2,試判斷f(x)在[2,+∞)上的單調(diào)性.
解 (1)當(dāng)a=0時(shí),f(x)=x2,f(-x)=f(x),函數(shù)是偶函數(shù).
當(dāng)a≠0時(shí),f(x)=x2+(x≠0),
取x=±1,得f(-1)+f(1)=2≠0;
f(-1)-f(1)=-2a≠0,
∴f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1).
∴函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).
7、
(2)若f(1)=2,即1+a=2,解得a=1,
這時(shí)f(x)=x2+.
任取x1,x2∈[2,+∞),且x1,
所以f(x1)
8、)當(dāng)x=0時(shí),f(0)=-f(0),故f(0)=0.
當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),-x∈(0,1),
f(x)=-f(-x)=-(-2x+)
=2x-.
若x=-1時(shí),f(-1)=-f(1).
又f(1)=f(1-2)=f(-1),故f(1)=-f(1),得f(1)=0,從而f(-1)=-f(1)=0.
綜上,f(x)=
(2)∵x∈(0,1)時(shí),f(x)=2x+,
∴f′(x)=2+>0,故f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增.
∴f(x)∈(0,3).
∵f(x)是定義域?yàn)閇-1,1]上的奇函數(shù),且f(0)=f(1)=f(-1)=0,
∴當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),f(x)∈(-3,3
9、).
∴f(x)的值域?yàn)?-3,3).
12.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈={x|x≠0},且滿足對于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).
(1)求f(1)的值;
(2)判斷f(x)的奇偶性并證明你的結(jié)論;
(3)如果f(4)=1,f(x-1)<2,且f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),求x的取值范圍.
解 (1)∵對于任意x1,x2∈D,
有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),
∴令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),∴f(1)=0.
(2)令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1),
∴f(-1)=f(1)=0.
令x1=-1,x2=x有f(-x)=f(-1)+f(x),
∴f(-x)=f(x),∴f(x)為偶函數(shù).
(3)依題設(shè)有f(4×4)=f(4)+f(4)=2,由(2)知,f(x)是偶函數(shù),
∴f(x-1)<2?f(|x-1|)