8、式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到．
(2)三角形解的個(gè)數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對(duì)角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對(duì)大角定理進(jìn)行判斷．
【變式訓(xùn)練1】 (1)[2018·河西五市聯(lián)考]在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足(b－a)sinA＝(b－c)·(sinB＋sinC)，則角C等于( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由題意，得(b－a)a＝
9、(b－c)(b＋c)，∴ab＝a2＋b2－c2，∴cosC＝＝，∴C＝.故選A.
(2)[2016·全國(guó)卷Ⅱ]△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cosA＝，cosC＝，a＝1，則b＝________.
答案
解析 由條件可得sinA＝，sinC＝，從而有sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝.由正弦定理＝，可知b＝＝.
考向 利用正、余弦定理判斷三角形形狀
例 2 [2018·陜西模擬]設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，則△ABC的形狀為( )
A．銳
10、角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．不確定
答案 B
解析 ∵bcosC＋ccosB＝asinA，由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sinA＝sin2A.又sinA>0，∴sinA＝1，∴A＝，故△ABC為直角三角形．
本例條件變?yōu)槿簦?，判斷△ABC的形狀．
解 由＝，得＝，
∴sinAcosA＝cosBsinB，∴sin2A＝sin2B.
∵A、B為△ABC的內(nèi)角，∴2A＝2B或2A＝π－2B，
∴A＝B或A＋B＝，
∴△ABC為等腰三角形或直角三角形．
本例條件變?yōu)槿鬭＝2bcosC，判斷
11、△ABC的形狀．
解 解法一：因?yàn)閍＝2bcosC，所以由余弦定理得，a＝2b·，整理得b2＝c2，則此三角形一定是等腰三角形．
解法二：∵sinA＝2sinBcosC，∴sin(B＋C)＝2sinBcosC，∴sin(B－C)＝0，∵－π0，于是有cosB<0，B為鈍角，所
12、以△ABC是鈍角三角形．
觸類旁通
判定三角形形狀的兩種常用途徑
(1)通過(guò)正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷．
(2)利用正弦定理、余弦定理化角為邊，通過(guò)代數(shù)恒等變換，求出邊與邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷．
提醒 在判斷三角形形狀時(shí)一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隱含條件．另外，在變形過(guò)程中要注意角A，B，C的范圍對(duì)三角函數(shù)值的影響．
【變式訓(xùn)練2】 在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，若asinA＋bsinB＜csinC，則△ABC的形狀是( )
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．不確定
13、
答案 C
解析 根據(jù)正弦定理可得a2＋b2＜c2.由余弦定理的推論得cosC＝＜0，故C是鈍角．
考向 與三角形面積有關(guān)的問(wèn)題
例 3 [2017·全國(guó)卷Ⅰ]△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知△ABC的面積為.
(1)求sinBsinC；
(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周長(zhǎng)．
解 (1)由題設(shè)得acsinB＝，即csinB＝.
由正弦定理得sinCsinB＝ .
故sinBsinC＝.
(2)由題設(shè)及(1)得cosBcosC－sinBsinC＝－，
即cos(B＋C)＝－.所以B＋C＝，故A＝.
由題意得bcsinA＝，a＝3，
14、所以bc＝8.
由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，
即(b＋c)2－3bc＝9.由bc＝8，得b＋c＝.
故△ABC的周長(zhǎng)為3＋.
觸類旁通
三角形面積公式的應(yīng)用原則
(1)對(duì)于面積公式S＝absinC＝acsinB＝bcsinA，一般是已知哪一個(gè)角就使用哪一個(gè)公式．
(2)與面積有關(guān)的問(wèn)題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化．
【變式訓(xùn)練3】 [2017·全國(guó)卷Ⅲ]△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知sinA＋cosA＝0，a＝2，b＝2.
(1)求c；
(2)設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且AD⊥AC，求△ABD的面積．
解 (1)由已知可得t
15、anA＝－，所以A＝.
在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccos，
即c2＋2c－24＝0，
解得c＝－6(舍去)或c＝4.
(2)由題設(shè)可得∠CAD＝，
所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝.
故△ABD面積與△ACD面積的比值為
＝1.
又△ABC的面積為×4×2sin∠BAC＝2，
所以△ABD的面積為.
核心規(guī)律
1.在已知關(guān)系式中，若既含有邊又含有角，通常的思路是：將角都化成邊或?qū)⑦叾蓟山?，再結(jié)合正弦定理、余弦定理即可求解．
2.在△ABC中，已知a，b和A，利用正弦定理時(shí)，會(huì)出現(xiàn)解的不確定性，一般可根據(jù)“大邊對(duì)大角”來(lái)取舍．
滿分策略
16、
1.在解三角形中，三角形內(nèi)角和定理起著重要作用，在解題中要注意根據(jù)這個(gè)定理確定角的范圍，確定三角函數(shù)值的符號(hào)，防止出現(xiàn)增解等擴(kuò)大范圍的現(xiàn)象．
2.在判斷三角形的形狀時(shí)，等式兩邊一般不要約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，以免漏解.
板塊三 啟智培優(yōu)·破譯高考
題型技法系列6——利用均值不等式破解三角函數(shù)最值問(wèn)題
[2016·山東高考]在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知2(tanA＋tanB)＝＋.
(1)證明：a＋b＝2c；
(2)求cosC的最小值．
解題視點(diǎn) (1)首先把切函數(shù)轉(zhuǎn)化為弦函數(shù)，將分式化為整式，然后根據(jù)和角公式及三角形內(nèi)角和定理化簡(jiǎn)，最后根據(jù)正
17、弦定理即可證明；(2)首先根據(jù)(1)中的結(jié)論和余弦定理表示出cosC，然后利用基本不等式求解最值．
解 (1)證明：由題意知2＝＋，化簡(jiǎn)得2(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinA＋sinB，
即2sin(A＋B)＝sinA＋sinB.
因?yàn)锳＋B＋C＝π，所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，從而sinA＋sinB＝2sinC.由正弦定理得a＋b＝2c.
(2)由(1)知c＝，
所以cosC＝＝
＝－≥－＝，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．
故cosC的最小值為.
答題啟示 對(duì)于含有a＋b，ab及a2＋b2的等式，求其中一個(gè)的范圍時(shí)，可利用基本不等式轉(zhuǎn)化為
18、以該量為變量的不等式求解.
跟蹤訓(xùn)練
已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且ctanC＝(acosB＋bcosA)．
(1)求角C；
(2)若c＝2，求△ABC面積的最大值．
解 (1)∵ctanC＝(acosB＋bcosA)，
∴sinCtanC＝(sinAcosB＋sinBcosA)，
∴sinCtanC＝sin(A＋B)＝sinC，
∵0＜C＜π，∴sinC≠0，
∴tanC＝，∴C＝.
(2)∵c＝2，C＝，
由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得
12＝a2＋b2－ab≥2ab－a
19、b，
∴ab≤12，∴S△ABC＝absinC≤3，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時(shí)，△ABC的面積取得最大值3.
板塊四 模擬演練·提能增分
[A級(jí) 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]
1．[2018·北京西城期末]已知△ABC中，a＝1，b＝，B＝45°，則A等于( )
A．150° B．90° C．60° D．30°
答案 D
解析 由正弦定理，得＝，得sinA＝.又a
20、bsinA＝3csinB?ab＝3bc?a＝3c?c＝1，∴b2＝a2＋c2－2accosB＝9＋1－2×3×1×＝6，b＝.故選D.
3．[2018·甘肅張掖月考]在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若c＝2a，bsinB－asinA＝asinC，則sinB為( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由bsinB－asinA＝asinC，且c＝2a，得b＝a，∵cosB＝＝＝，∴sinB＝＝.
4．設(shè)A是△ABC的一個(gè)內(nèi)角，且sinA＋cosA＝，則這個(gè)三角形是( )
A．銳角三角形 B．鈍角三角形
C．等邊三角形 D．等腰直角三角形
答
21、案 B
解析 將sinA＋cosA＝兩邊平方得sin2A＋2sinA·cosA＋cos2A＝，又sin2A＋cos2A＝1，故sinAcosA＝－.因?yàn)?0，則cosA<0，即A是鈍角．
5．在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，且cos2B＋3cos(A＋C)＋2＝0，b＝，則c∶sinC等于( )
A．3∶1 B.∶1 C.∶1 D．2∶1
答案 D
解析 由cos2B＋3cos(A＋C)＋2＝0，得2cos2B－3cosB＋1＝0，解得cosB＝1(舍去)或cosB＝，所以sinB＝，所以c∶sinC＝b∶sinB＝2∶1.
6
22、．[2017·浙江高考]我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”可以估算圓周率π，理論上能把π的值計(jì)算到任意精度．祖沖之繼承并發(fā)展了“割圓術(shù)”，將π的值精確到小數(shù)點(diǎn)后七位，其結(jié)果領(lǐng)先世界一千多年．“割圓術(shù)”的第一步是計(jì)算單位圓內(nèi)接正六邊形的面積S6，S6＝________.
答案
解析 作出單位圓的內(nèi)接正六邊形，如圖，則OA＝OB＝AB＝1.
S6＝6S△OAB＝6××1×＝.
7．在△ABC中，已知AB＝3，A＝120°，且△ABC的面積為，則BC＝________.
答案 7
解析 由S△ABC＝得×3×AC·sin120°＝，所以AC＝5，因此BC2＝AB2＋AC2－2AB·
23、AC·cos120°＝9＋25＋2×3×5×＝49，解得BC＝7.
8．[2018·渭南模擬]在△ABC中，若a2－b2＝bc且＝2，則A＝________.
答案
解析 因?yàn)椋?，故＝2，即c＝2b，則cosA＝＝＝＝，所以A＝.
9．在△ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若tanA＋tanC＝(tanAtanC－1)．
(1)求角B；
(2)如果b＝2，求△ABC面積的最大值．
解 (1)∵tanA＋tanC＝(tanAtanC－1)，
∴＝，
即＝－，即tan(A＋C)＝－.
又∵A＋B＋C＝π，
∴tanB＝－tan(A＋C)＝，∴B＝.
(2)由余
24、弦定理的推論得cosB＝＝，
即4＝a2＋c2－ac≥2ac－ac，
∴ac≤4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝2時(shí)，等號(hào)成立．
∴S△ABC＝acsinB≤×4×＝.
故△ABC的面積的最大值為.
10．[2018·長(zhǎng)沙模擬]已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a＝1,2cosC＋c＝2b.
(1)求A；
(2)若b＝，求sinC.
解 (1)因?yàn)閍＝1,2cosC＋c＝2b，
由余弦定理得2×＋c＝2b，即b2＋c2－1＝bc.
所以cosA＝＝＝.
因?yàn)?°
25、4c2－2c－3＝0，
解得c＝或c＝(舍去)．
由正弦定理得＝，
得sinC＝×sin60°＝.
解法二：由a＝1，b＝及正弦定理＝，
得sinB＝sin60°＝.
由于b
26、
解析 由23cos2A＋cos2A＝0得23cos2A＋2cos2A－1＝0，
解得cosA＝±.∵A是銳角，∴cosA＝.
又∵a2＝b2＋c2－2bccosA，
∴49＝b2＋36－2×b×6×，
∴b＝5或b＝－.又∵b>0，∴b＝5.
2．[2017·全國(guó)卷Ⅰ]△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝，則C＝( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 因?yàn)閍＝2，c＝，
所以由正弦定理可知，＝，
故sinA＝sinC.
又B＝π－(A＋C)，
故sinB＋sinA(sinC－c
27、osC)
＝sin(A＋C)＋sinAsinC－sinAcosC
＝sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC
＝(sinA＋cosA)sinC
＝0.
又C為△ABC的內(nèi)角，
故sinC≠0，
則sinA＋cosA＝0，即tanA＝－1.
又A∈(0，π)，所以A＝.
從而sinC＝sinA＝×＝.
由A＝知C為銳角，故C＝.
故選B.
3．[2017·浙江高考]已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.點(diǎn)D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BD＝2，連接CD，則△BDC的面積是________，cos∠BDC＝________.
答案
解析
28、依題意作出圖形，如圖所示，
則sin∠DBC＝sin∠ABC.
由題意知AB＝AC＝4，BC＝BD＝2，
則sin∠ABC＝，cos∠ABC＝.
所以S△BDC＝BC·BD·sin∠DBC
＝×2×2×＝.
因?yàn)閏os∠DBC＝－cos∠ABC＝－＝
＝，所以CD＝.
由余弦定理，得cos∠BDC＝＝.
4．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2cosC·(acosB＋bcosA)＝c.
(1)求C；
(2)若c＝，△ABC的面積為，求△ABC的周長(zhǎng)．
解 (1)由已知及正弦定理得，
2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC，
2c
29、osCsin(A＋B)＝sinC.
故2sinCcosC＝sinC.
可得cosC＝，所以C＝.
(2)由已知，得absinC＝.
又C＝，所以ab＝6.
由已知及余弦定理得，a2＋b2－2abcosC＝7.
故a2＋b2＝13，從而(a＋b)2＝25.
所以△ABC的周長(zhǎng)為5＋.
5．[2017·天津高考]在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知asinA＝4bsinB，ac＝(a2－b2－c2)．
(1)求cosA的值；
(2)求sin(2B－A)的值．
解 (1)由asinA＝4bsinB，及＝，
得a＝2b.
由ac＝(a2－b2－c2)及余弦定理，
得cosA＝＝＝－.
(2)由(1)，可得sinA＝，代入asinA＝4bsinB，
得sinB＝＝.
由(1)知，A為鈍角，
所以cosB＝＝.
于是sin2B＝2sinBcosB＝，
cos2B＝1－2sin2B＝，
故sin(2B－A)＝sin2BcosA－cos2BsinA＝×－×＝－.
15
（全國(guó)版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第6講 正弦定理和余弦定理學(xué)案
