《（江蘇專用）2018-2019學年高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 2.4 拋物線 2.4.1 拋物線的標準方程學案 蘇教版選修1-1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（江蘇專用）2018-2019學年高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 2.4 拋物線 2.4.1 拋物線的標準方程學案 蘇教版選修1-1（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 2.4.1　拋物線的標準方程 學習目標：1.掌握拋物線的標準方程．(重點)　2.掌握求拋物線標準方程的基本方法． [自 主 預 習·探 新 知] 拋物線的標準方程 標準方程 y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py 圖形 焦點坐標 準線方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 開口方向 向右 向左 向上 向下 [基礎自測] 1．判斷正誤： (1)標準方程y2＝2px(p＞0)中p的幾何意義是焦點到準線的距離．(　　) (2)拋物線的焦點位置由一次項及一次項系數(shù)的正負決定．(　　) (3)x2＝－2y

2、表示的拋物線開口向左．(　　) 【解析】　(1)√.拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點為，準線為x＝－，故焦點到準線的距離是p. (2)√.一次項決定焦點所在的坐標軸，一次項系數(shù)的正負決定焦點是在正半軸或負半軸上，故該說法正確． (3)×.x2＝－2y表示的拋物線開口向下． 【答案】　(1)√　(2)√　(3)× 2．焦點坐標為(0,2)的拋物線的標準方程為________． 【解析】　由題意知p＝2×2＝4，焦點在y軸正半軸上， ∴方程為x2＝2×4y，即x2＝8y. 【答案】　x2＝8y [合 作 探 究·攻 重 難] 求拋物線的標準方程 　分別求滿足下列條件的拋

3、物線的標準方程： (1)準線方程為2y＋4＝0； (2)過點(3，－4)； (3)焦點在直線x＋3y＋15＝0上. 【導學號：95902128】 [思路探究]　→→→ 【自主解答】　(1)準線方程為2y＋4＝0，即y＝－2，故拋物線焦點在y軸的正半軸上，設其方程為x2＝2py(p>0)．又－＝－2，所以2p＝8，故拋物線的標準方程為x2＝8y. (2)∵點(3，－4)在第四象限， ∴設拋物線的標準方程為y2＝2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0)．把點(3，－4)的坐標分別代入y2＝2px和x2＝－2p1y，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，即2p＝

4、，2p1＝. ∴所求拋物線的標準方程為y2＝x或x2＝－y. (3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.∴拋物線的焦點為(0，－5)或(－15,0)． ∴所求拋物線的標準方程為x2＝－20y或y2＝－60x. [規(guī)律方法]　求拋物線方程的主要方法是待定系數(shù)法 (1)若已知拋物線的焦點位置，則可設出拋物線的標準方程，求出p值即可； (2)若拋物線的焦點位置不確定，則要分情況討論. 注意：焦點在x軸上的拋物線方程可統(tǒng)一設成y2＝ax(a≠0)，焦點在y軸上的拋物線方程可統(tǒng)一設成x2＝ay(a≠0). [跟蹤訓練] 1．(1)焦點在x軸上，且焦點在雙曲線－＝1上的拋物線的標準

5、方程為________． (2)拋物線的頂點在原點，對稱軸重合于橢圓9x2＋16y2＝144的短軸所在的直線，拋物線焦點到頂點的距離為3，則拋物線的標準方程為__________． 【解析】　(1)由題意可設拋物線方程為y2＝2mx(m≠0)，則焦點為. ∵焦點在雙曲線－＝1上，∴＝1，求得m＝±4，∴所求拋物線方程為y2＝8x或y2＝－8x. (2)橢圓的方程可化為＋＝1，其短軸在y軸上， ∴拋物線的對稱軸為y軸，設拋物線的標準方程為 x2＝2py或x2＝－2py(p＞0)，由拋物線焦點到頂點的距離為3得＝3，∴p＝6，∴拋物線的標準方程為x2＝12y或x2＝－12y. 【答案

6、】　(1)y2＝8x或y2＝－8x　x2＝12y或x2＝－12y 由拋物線的標準方程求焦點坐標和準線方程 　求下列拋物線的焦點坐標和準線方程： (1)y＝x2；(2)x＝y(tǒng)2(a≠0). 【導學號：95902129】 [思路探究]　→→ 【自主解答】　(1)拋物線y＝x2的標準形式為x2＝4y，所以p＝2，所以焦點坐標是(0,1)，準線方程是y＝－1. (2)拋物線x＝y(tǒng)2的標準形式為y2＝ax，所以p＝，故焦點在x軸上，坐標為，準線方程為x＝－. [規(guī)律方法]　求拋物線焦點坐標和準線方程的步驟： [跟蹤訓練] 2．求拋物線ay2＝x(a≠0)的焦點坐標與準線

7、方程． 【解析】　把拋物線ay2＝x(a≠0)方程化為標準形式為y2＝x，所以拋物線的焦點坐標為，準線方程為x＝－. 拋物線的定義及標準方程的應用 [探究問題] 1．拋物線定義是什么？能否用數(shù)學式表示拋物線的定義？ 【提示】　平面內到一定點F和一條定直線l(F不在l上)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．設拋物線上任意一點P，點P到直線l的距離為PD，則拋物線的定義可表示為PF＝PD. 2．拋物線y2＝2px(p＞0)上一點P的橫坐標為x0，那么點P到其焦點F的距離是什么？ 【提示】　拋物線y2＝2px(p＞0)的準線方程為x＝－，根據(jù)拋物線的定義可知拋物線上的點到焦點的距離等于

8、其到準線的距離，所以點P到其焦點F的距離為PF＝x0－＝x0＋. 3．探究2中得到的用點P的橫坐標表示其到焦點的距離的公式稱為拋物線的焦半徑公式，對于其它三種形式的方程的焦半徑公式是什么？ 【提示】　設拋物線上一點P的橫坐標為x0，對于拋物線y2＝－2px(p＞0)，PF＝－x0； 設拋物線上一點P的縱坐標為y0，對于拋物線x2＝2py(p＞0)，PF＝y(tǒng)0－＝y(tǒng)0＋； 設拋物線上一點P的縱坐標為y0，對于拋物線x2＝－2py(p＞0)，PF＝－y0. 4．通過以上探究，你得到了什么啟示？ 【提示】　當題目中涉及拋物線上的點到焦點的距離時，一般轉化為拋物線上的點到準線的距離較為簡單

9、，這樣就將兩點間的距離轉化為點到直線的距離，將二次問題轉化為一次問題． 　已知拋物線的方程為y2＝2x，F(xiàn)是其焦點，點A(4,2)，在拋物線上是否存在點M，使MA＋MF取得最小值？若存在，求此時點M的坐標；若不存在，請說明理由． [思路探究]　→→ 【自主解答】　如圖，由于點M在拋物線上，所以MF等于點M到其準線l的距離MN，于是MA＋MF＝MA＋MN，所以當A，M，N三點共線時，MA＋MN取最小值，亦即MA＋MF取最小值，這時M的縱坐標為2，可設M(x0,2)代入拋物線方程得x0＝2， 即M(2,2)． [規(guī)律方法]　 1．此類題目的實質是拋物線定義的應用，將拋物線上的點到焦

10、點的距離轉化成到準線的距離，從而化曲為直，利用點到直線的距離求最小值． 2．涉及拋物線上任意一點P與平面上的定點A以及拋物線焦點F的距離和PA＋PF的最小值問題，有以下處理思路： (1)若點A在拋物線外部，則直線FA與拋物線的交點P使得PA＋PF最小，其最小值為AF； (2)若點A在拋物線內部，則過A點作與準線l垂直的直線，它與拋物線的交點為P，則PA＋PF最小，其最小值為點A到準線l的距離． [跟蹤訓練] 3．已知點P是拋物線y2＝2x上的一個動點，則點P到點A(0，2)的距離與P到該拋物線準線的距離之和的最小值為________. 【導學號：95902130】 【解析】　如

11、圖，由拋物線定義知PA＋PQ＝PA＋PF，則所求距離之和的最小值轉化為求PA＋PF的最小值，則當A、P、F三點共線時，PA＋PF取得最小值．又A(0,2)，F(xiàn)， ∴(PA＋PF)min＝AF＝＝. 【答案】　 [構建·體系] [當 堂 達 標·固 雙 基] 1．拋物線x2＝－16y的焦點坐標是________. 【導學號：95902131】 【解析】?。?，焦點在y軸上，開口向下，焦點坐標應為，即(0，－4)． 【答案】　(0，－4) 2．拋物線y＝x2的準線方程是________． 【解析】　由y＝x2得x2＝4y，所以拋物線的準線方程是y＝－1. 【答案】

12、　y＝－1 3.拋物線y2＝4x的焦點到雙曲線－＝1漸近線的距離為__________． 【解析】　拋物線焦點F(1,0)，雙曲線漸近線為3x±4y＝0，點F到直線3x±4y＝0的距離為d＝＝. 【答案】　 4．頂點在坐標原點，對稱軸為坐標軸，過點(－2,3)的拋物線方程是________． 【解析】　∵點(－2,3)在第二象限，∴設拋物線方程為y2＝－2px(p>0)或x2＝2p′y(p′>0)， 又點(－2,3)在拋物線上，∴p＝，p′＝，∴拋物線方程為y2＝－x或x2＝y(tǒng). 【答案】　y2＝－x或x2＝y(tǒng) 5．拋物線y2＝－2px(p>0)上有一點M的橫坐標為－9，它到焦點的距離為10，求此拋物線方程和M點的坐標. 【導學號：95902132】 【解】　設焦點為F，M點到準線的距離為d，則d＝|MF|＝10， 即9＋＝10，∴p＝2，∴拋物線方程為y2＝－4x.將M(－9，y)代入拋物線的方程， 得y＝±6.∴M點坐標為(－9,6)或(－9，－6)． 7