《（全國版）2019版高考數(shù)學一輪復習 第5章 數(shù)列 第1講 數(shù)列的概念與簡單表示法學案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（全國版）2019版高考數(shù)學一輪復習 第5章 數(shù)列 第1講 數(shù)列的概念與簡單表示法學案（12頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第1講　數(shù)列的概念與簡單表示法 板塊一　知識梳理·自主學習 [必備知識] 考點1　數(shù)列的定義 按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項． 考點2　數(shù)列的分類 考點3　數(shù)列的表示法 數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析法． 考點4　數(shù)列的通項公式 如果數(shù)列{an}的第n項與序號n之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式． [必會結(jié)論] 1．若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，通項公式為an， 則an＝ 2．在數(shù)列{an}中，若an最大，則 若an最小，則 3．數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系 數(shù)列是一種特

2、殊的函數(shù)，即數(shù)列是一個定義在非零自然數(shù)集或其子集上的函數(shù)，當自變量依次從小到大取值時所對應(yīng)的一列函數(shù)值，就是數(shù)列． [考點自測] 1．判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)根據(jù)數(shù)列的前幾項歸納出數(shù)列的通項公式可能不止一個．(　　) (2)數(shù)列：1,0,1,0,1,0，…，通項公式只能是an＝.(　　) (3)如果數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則對?n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　) (4)若數(shù)列用圖象表示，則從圖象上看都是一群孤立的點．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．[課本改編]數(shù)列1，，，，，…的一個通項公式a

3、n是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由已知得，數(shù)列可寫成，，，…，故該數(shù)列的一個通項公式為.故選B. 3．[課本改編]在數(shù)列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，則的值是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由已知得a2＝1＋(－1)2＝2，∴2a3＝2＋(－1)3，a3＝，∴a4＝＋(－1)4，a4＝3，∴3a5＝3＋(－1)5，∴a5＝，∴＝×＝.故選C. 4．已知f(1)＝3，f(n＋1)＝(n∈N*)．則f(4)＝________. 答案　 解析　由f(1)＝3，得f(2)＝2，f(3

4、)＝，f(4)＝. 5．[2018·山東師大附中月考]已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝，則a5＋a6＝________. 答案　 解析　a5＋a6＝S6－S4＝－＝－＝. 6．[課本改編]在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋，則數(shù)列an＝________. 答案　3－ 解析　由題意，得an＋1－an＝＝－， an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝＋＋…＋＋＋2＝3－. 板塊二　典例探究·考向突破 考向　由數(shù)列的前幾項求數(shù)列的通項公式 例　1　寫出下面各數(shù)列的一個通項公式： (1)－1,7，－13,19，…； (2)，

5、1，，，…； (3)，，－，，－，，…； (4)1,3,6,10,15，…； (5)3,33,333,3333，…. 解　(1)符號問題可通過(－1)n或(－1)n＋1表示，其各項的絕對值的排列規(guī)律為：后面的數(shù)的絕對值總比前面數(shù)的絕對值大6，故通項公式為an＝(－1)n(6n－5)． (2)將數(shù)列統(tǒng)一為，，，，…，對于分子3,5,7,9，…，是序號的2倍加1，可得分子的通項公式為bn＝2n＋1，對于分母2,5,10,17，…，聯(lián)想到數(shù)列1,4,9,16，…，即數(shù)列{n2}，可得分母的通項公式為cn＝n2＋1，因此可得它的一個通項公式為an＝. (3)各項的分母分別為21,22,23

6、,24，…，易看出第2,3,4項的分子分別比分母少3.因此把第1項變?yōu)椋?，原?shù)列可化為－，，－，，…， 所以an＝(－1)n·. (4)將數(shù)列改寫為，，，，，…，因而有an＝，也可用逐差法a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，…，an－an－1＝n，各式累加得an＝. (5)將數(shù)列各項改寫為，，，，…，分母都是3，而分子分別是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以an＝(10n－1)． 觸類旁通 觀察法求通項公式的常用技巧 求數(shù)列的通項公式實際上是尋找數(shù)列的第n項與序號n之間的關(guān)系，常用技巧有：(1)借助于(－1)n或(－1)n＋1來解決項

7、的符號問題；(2)項為分數(shù)的數(shù)列，可進行恰當?shù)淖冃危瑢ふ曳肿?、分母各自的?guī)律以及分子、分母間的關(guān)系；(3)對較復雜的數(shù)列的通項公式的探求，可采用添項、還原、分割等方法，轉(zhuǎn)化為熟知的數(shù)列，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等來解決． 考向　由an與Sn的關(guān)系求通項an 例　2　(1)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n2－3n，則an＝________. 答案　4n－5 解析　(1)a1＝S1＝2－3＝－1， 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5， 由于a1也適合此等式，∴an＝4n－5. (2)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項的和，

8、且Sn＝(an－1)(n∈N*)，則an＝________. 答案　3n 解析　當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，整理，得an＝3an－1，即＝3，又a1＝3，∴數(shù)列{an}是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，∴an＝3n. (3)已知數(shù)列{an}，滿足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，則an＝________. 答案　 解析　當n＝1時，由已知，可得a1＝21＝2， 當n≥2時，a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，?、? 故a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n－1，?、? 由①－②得nan＝2n－2n－1＝2n－1，∴an＝.

9、 顯然n＝1時不滿足上式，∴an＝ 觸類旁通 給出Sn與an的遞推關(guān)系，求an的常用思路：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，再求其通項公式；二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系，先求出Sn與n之間的關(guān)系，再求an. 【變式訓練】　(1)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3n＋1，則an＝________. 答案　 解析　當n＝1時，a1＝S1＝3＋1＝4； 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2×3n－1. 當n＝1時，2×31－1＝2≠a1， 所以an＝ (2)[2018·廣州模擬]設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋32

10、a3＋…＋3n－1an＝，則an＝________. 答案　 解析　因為a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，① 則當n≥2時， a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝，② ①－②得3n－1an＝，所以an＝(n≥2)． 由題意知a1＝，符合上式，所以an＝. (3)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，則Sn＝________. 答案　n－1 解析　由已知Sn＝2an＋1，得Sn＝2(Sn＋1－Sn)， 即2Sn＋1＝3Sn，＝，而S1＝a1＝1， 所以Sn＝n－1. 考向　由遞推公式求數(shù)列的通項公式 命題角度1　形如an＋

11、1＝anf(n)，求an 例　3　在數(shù)列{an}中，a1＝4，nan＋1＝(n＋2)an，求數(shù)列{an}的通項公式． 解　由遞推關(guān)系得＝， 又a1＝4， ∴an＝··…···a1＝···…···4＝·4＝2n(n＋1)(n∈N*)． 命題角度2　形如an＋1＝an＋f(n)，求an 例　4　(1)[2015·江蘇高考]設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，求數(shù)列前10項的和． 解　由題意可得，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋3＋…＋n＝，則＝＝2，數(shù)列的前10項的和為＋＋…＋＝2＝. (2)若數(shù)列{an}滿

12、足：a1＝1，an＋1＝an＋2n，求數(shù)列{an}的通項公式． 解　由題意知an＋1－an＝2n， an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1. 命題角度3　形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an 例　5　已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求an. 解　設(shè)遞推公式an＋1＝2an＋3可以轉(zhuǎn)化為an＋1－t＝2(an－t)，即an＋1＝2an－t，解得t＝－3. 故遞推公式為an＋1＋3＝2(an＋3)． 令bn＝an＋3，則b1＝a1＋3＝4，且＝＝2. 所以{bn}是以b

13、1＝4為首項，2為公比的等比數(shù)列． 所以bn＝4×2n－1＝2n＋1，即an＝2n＋1－3. 命題角度4　形如an＋1＝(A，B，C為常數(shù))，求an 例　6　已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝，求數(shù)列{an}的通項公式． 解　∵an＋1＝，a1＝1，∴an≠0， ∴＝＋，即－＝，又a1＝1，則＝1， ∴是以1為首項，為公差的等差數(shù)列， ∴＝＋(n－1)×＝，∴an＝(n∈N*)． 觸類旁通 由遞推關(guān)系式求通項公式的常用方法 (1)已知a1且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an. (2)已知a1且＝f(n)，可用“累乘法”求an. (3)已知a

14、1且an＋1＝qan＋b，則an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系數(shù)法確定)，可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列{an＋k}． (4)形如an＋1＝(A，B，C為常數(shù))的數(shù)列，可通過兩邊同時取倒數(shù)的方法構(gòu)造新數(shù)列求解． 核心規(guī)律 已知遞推關(guān)系求通項，一般有以下方法： (1)算出前幾項，再歸納、猜想； (2)累加法、累乘法、待定系數(shù)法． 滿分策略 1.數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，在利用函數(shù)觀點研究數(shù)列時， 一定要注意自變量的取值，如數(shù)列an＝f(n)和函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性是不同的． 2.數(shù)列的通項公式不一定唯一． 3.在利用數(shù)列的前n項和求通項時，往往容易忽略先求出a1，

15、而是直接把數(shù)列的通項公式寫成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只適用于n≥2的情形. 板塊三　啟智培優(yōu)·破譯高考 數(shù)學思想系列6——用函數(shù)思想解決數(shù)列的單調(diào)性問題 [2018·南京段考]數(shù)列{an}的通項公式是an＝n2＋kn＋4. (1)若k＝－5，則數(shù)列中有多少項是負數(shù)？n為何值時，an有最小值？并求出最小值． (2)對于n∈N*，都有an＋1>an.求實數(shù)k的取值范圍． 解題視點　(1)求使an<0的n值；從二次函數(shù)看an的最小值．(2)數(shù)列是一類特殊函數(shù)，通項公式可以看作相應(yīng)的解析式f(n)＝n2＋kn＋4.f(n)在N*上單調(diào)遞增，可利用二次函數(shù)的對稱軸研究單調(diào)性，

16、但應(yīng)注意數(shù)列通項中n的取值． 解　(1)由n2－5n＋4<0，解得1an知該數(shù)列是一個遞增數(shù)列， 又因為通項公式an＝n2＋kn＋4， 可以看作是關(guān)于n的二次函數(shù)，考慮到n∈N*， 所以－<，即得k>－3. 答題啟示　(1)在利用二次函數(shù)的觀點解決該題時，一定要注意二次函數(shù)對稱軸位置的選取.,(2)本題易錯答案為k>－2.原因是忽略了數(shù)列作為函數(shù)的特殊性，即自變量是正整數(shù).

17、 跟蹤訓練 已知數(shù)列{an}中，an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)． (1)若a＝－7，求數(shù)列{an}中的最大項和最小項的值； (2)若對任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范圍． 解　(1)∵an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)， 又∵a＝－7，∴an＝1＋. 結(jié)合函數(shù)f(x)＝1＋的單調(diào)性，可知1>a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…>an>1(n∈N*)． ∴數(shù)列{an}中的最大項為a5＝2，最小項為a4＝0. (2)an＝1＋＝1＋. ∵對任意的n∈N*，都有an≤a6成立， 結(jié)合函數(shù)f(x)＝1＋的單調(diào)性， 知5<<6，∴－10

18、

19、選D. 3．[2018·濟寧模擬]若Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且Sn＝，則等于(　　) A. B. C. D．30 答案　D 解析　∵當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－＝，∴＝5×(5＋1)＝30.故選D. 4．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1an＝2n(n∈N*)，則a10＝(　　) A．64 B．32 C．16 D．8 答案　B 解析　∵an＋1an＝2n，∴an＋2an＋1＝2n＋1，兩式相除得＝2.又a1a2＝2，a1＝1，∴a2＝2. 則···＝24，即a10＝25＝32.故選B. 5．在各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}中，對任意m，n∈N*，都

20、有am＋n＝am·an.若a6＝64，則a9等于(　　) A．256 B．510 C．512 D．1024 答案　C 解析　在各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}中，對任意m，n∈N*，都有am＋n＝am·an.∴a6＝a3·a3＝64，a3＝8. ∴a9＝a6·a3＝64×8，a9＝512.故選C. 6．[2018·遼寧實驗中學月考]設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2(an－1)，則an＝(　　) A．2n B．2n－1 C．2n D．2n－1 答案　C 解析　當n＝1時，a1＝S1＝2(a1－1)，可得a1＝2；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1

21、，∴an＝2an－1，∴an＝2·2n－1＝2n.選C. 7．若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2－10n(n∈N*)，則數(shù)列{nan}中數(shù)值最小的項是(　　) A．第2項 B．第3項 C．第4項 D．第5項 答案　B 解析　∵Sn＝n2－10n，∴當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n－11； 當n＝1時，a1＝S1＝－9也適合上式． ∴an＝2n－11(n∈N*)． 記f(n)＝nan＝n(2n－11)＝2n2－11n，此函數(shù)圖象的對稱軸為直線n＝，但n∈N*，∴當n＝3時，f(n)取最小值．于是，數(shù)列{nan}中數(shù)值最小的項是第3項．故選B. 8．已知數(shù)列{an}中，

22、a1＝1，若an＝2an－1＋1(n≥2)，則a5的值是________． 答案　31 解析　∵an＝2an－1＋1，∴an＋1＝2(an－1＋1)， ∴＝2，又a1＝1，∴{an＋1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，即an＋1＝2×2n－1＝2n，∴a5＋1＝25，即a5＝31. 9．[2018·洛陽模擬]數(shù)列{an}中，a1＝1，對于所有的n≥2，n∈N*，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，則a3＋a5＝________. 答案　 解析　由題意知：a1·a2·a3·…·an－1＝(n－1)2， 所以an＝2(n≥2)， 所以a3＋a5＝2＋2＝. 10．[2015·

23、全國卷Ⅱ]設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＝________. 答案?。? 解析　∵an＋1＝Sn＋1－Sn，∴Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，又由a1＝－1，知Sn≠0，∴－＝1，∴是等差數(shù)列，且公差為－1，而＝＝－1， ∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－. [B級　知能提升] 1．[2018·天津模擬]已知正數(shù)數(shù)列{an}中，a1＝1，(n＋2)·a－(n＋1)a＋anan＋1＝0，n∈N*，則它的通項公式為(　　) A．a(chǎn)n＝ B．a(chǎn)n＝ C．a(chǎn)n＝ D．a(chǎn)n＝n 答案　B 解析　由題意可得＝，則an＝··…

24、··a1＝··…·×1＝.故選B. 2．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝，若數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，則實數(shù)k的取值范圍為(　　) A．(3，＋∞) B．(2，＋∞) C．(1，＋∞) D．(0，＋∞) 答案　D 解析　因為an＋1－an＝－＝，由數(shù)列{an}為遞減數(shù)列知，對任意n∈N*，an＋1－an＝＜0， 所以k＞3－3n對任意n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞)．故選D. 3．[2018·重慶模擬]數(shù)列{an}滿足an＋1＝ a1＝，則數(shù)列的第2018項為_______． 答案　 解析　∵a1＝，∴a2＝2a1－1＝. ∴a3＝2a2＝.∴a4＝2a3＝.

25、 ∴a5＝2a4－1＝，a6＝2a5－1＝，…. ∴該數(shù)列周期為T＝4.∴a2018＝a2＝. 4．已知a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝9－6n，求數(shù)列{an}的通項公式． 解　令Sn＝a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an，則Sn＝9－6n， 當n＝1時，a1＝S1＝3； 當n≥2時，2n－1an＝Sn－Sn－1＝－6， ∴an＝－.而n＝1時，a1＝3，不符合上式， ∴通項公式an＝ 5．[2018·貴陽模擬]已知在數(shù)列{an}中，a1＝1，前n項和Sn＝an. (1)求a2，a3； (2)求{an}的通項公式． 解　(1)由S2＝a2，得3(a1＋a2)＝4a2， 解得a2＝3a1＝3； 由S3＝a3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3， 解得a3＝(a1＋a2)＝6. (2)由題設(shè)知a1＝1. 當n＞1時，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1， 整理，得an＝an－1. 于是a1＝1，a2＝a1，a3＝a2，…， an－1＝an－2，an＝an－1. 將以上n個等式兩端分別相乘，整理，得an＝. 綜上，{an}的通項公式an＝. 12