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1、 2022年高中數(shù)學(xué)（北師大版）選修1-1教案：第2章 知識點撥：橢圓與雙曲線的經(jīng)典性質(zhì)及法則 1. 點P處的切線PT平分△PF1F2在點P處的外角. 2. PT平分△PF1F2在點P處的外角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點. 3. 以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準線相離. 4. 以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切. 5. 若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是. 6. 若在橢圓外 ，則過Po作橢圓的兩條切線切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是. 7. 橢圓 (a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn) 2，點P為橢圓上

2、任意一點，則橢圓的焦點角形的面積為. 8. 橢圓（a＞b＞0）的焦半徑公式： ,( , ). 9. 設(shè)過橢圓焦點F作直線與橢圓相交 P、Q兩點，A為橢圓長軸上一個頂點，連結(jié)AP 和AQ分別交相應(yīng)于焦點F的橢圓準線于M、N兩點，則MF⊥NF. 10. 過橢圓一個焦點F的直線與橢圓交于兩點P、Q, A1、A2為橢圓長軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，則MF⊥NF. 11. AB是橢圓的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則， 即。 12. 若在橢圓內(nèi)，則被Po所平分的中點弦的方程是. 13. 若在橢圓內(nèi)，則過Po的弦中點的軌跡方程是. 雙曲線 1. 點

3、P處的切線PT平分△PF1F2在點P處的內(nèi)角. 2. PT平分△PF1F2在點P處的內(nèi)角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點. 3. 以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準線相交. 4. 以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓相切.（內(nèi)切：P在右支；外切：P在左支） 5. 若在雙曲線（a＞0,b＞0）上，則過的雙曲線的切線方程是. 6. 若在雙曲線（a＞0,b＞0）外 ，則過Po作雙曲線的兩條切線切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是. 7. 雙曲線（a＞0,b＞o）的左右焦點分別為F1，F(xiàn) 2，點P為雙曲線上任意一點，則雙曲線的焦點

4、角形的面積為. 8. 雙曲線（a＞0,b＞o）的焦半徑公式：( , 當在右支上時，,. 當在左支上時，, 9. 設(shè)過雙曲線焦點F作直線與雙曲線相交 P、Q兩點，A為雙曲線長軸上一個頂點，連結(jié)AP 和AQ分別交相應(yīng)于焦點F的雙曲線準線于M、N兩點，則MF⊥NF. 10. 過雙曲線一個焦點F的直線與雙曲線交于兩點P、Q, A1、A2為雙曲線實軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，則MF⊥NF. 11. AB是雙曲線（a＞0,b＞0）的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則，即。 12. 若在雙曲線（a＞0,b＞0）內(nèi)，則被Po所平分的中點弦的方程是. 13.

5、 若在雙曲線（a＞0,b＞0）內(nèi)，則過Po的弦中點的軌跡方程是. 橢圓與雙曲線的對偶性質(zhì)--（會推導(dǎo)的經(jīng)典結(jié)論） 橢 圓 1. 橢圓（a＞b＞o）的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交橢圓于P1、P2時A1P1與A2P2交點的軌跡方程是. 2. 過橢圓 (a＞0, b＞0)上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓于B,C兩點，則直線BC有定向且（常數(shù)）. 3. 若P為橢圓（a＞b＞0）上異于長軸端點的任一點,F1, F 2是焦點, , ，則. 4. 設(shè)橢圓（a＞b＞0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為橢圓上任意一點，在△PF1F2中，記, ,，則有. 5. 若橢圓（a

6、＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，左準線為L，則當0＜e≤時，可在橢圓上求一點P，使得PF1是P到對應(yīng)準線距離d與PF2的比例中項. 6. P為橢圓（a＞b＞0）上任一點,F1,F2為二焦點，A為橢圓內(nèi)一定點，則,當且僅當三點共線時，等號成立. 7. 橢圓與直線有公共點的充要條件是. 8. 已知橢圓（a＞b＞0），O為坐標原點，P、Q為橢圓上兩動點，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值為;（3）的最小值是. 9. 過橢圓（a＞b＞0）的右焦點F作直線交該橢圓右支于M,N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則. 10. 已知橢圓（ a＞b＞0） ,A、B、是橢圓上的兩

7、點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點, 則. 11. 設(shè)P點是橢圓（ a＞b＞0）上異于長軸端點的任一點,F1、F2為其焦點記，則(1).(2) . 12. 設(shè)A、B是橢圓（ a＞b＞0）的長軸兩端點，P是橢圓上的一點，, ,，c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1).(2) .(3) . 13. 已知橢圓（ a＞b＞0）的右準線與x軸相交于點，過橢圓右焦點的直線與橢圓相交于A、B兩點,點在右準線上，且軸，則直線AC經(jīng)過線段EF 的中點. 14. 過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點與相應(yīng)焦點的連線必與切線垂直. 15. 過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切

8、線交相應(yīng)準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直. 16. 橢圓焦三角形中,內(nèi)點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率). （注:在橢圓焦三角形中,非焦頂點的內(nèi)、外角平分線與長軸交點分別稱為內(nèi)、外點.） 17. 橢圓焦三角形中,內(nèi)心將內(nèi)點與非焦頂點連線段分成定比e. 18. 橢圓焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點到橢圓中心的比例中項. 雙曲線 1. 雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交雙曲線于P1、P2時A1P1與A2P2交點的軌跡方程是. 2. 過雙曲線（a＞0,b＞o）上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交雙曲線于B,C兩點

9、，則直線BC有定向且（常數(shù)）. 3. 若P為雙曲線（a＞0,b＞0）右（或左）支上除頂點外的任一點,F1, F 2是焦點, , ，則（或）. 4. 設(shè)雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為雙曲線上任意一點，在△PF1F2中，記, ,，則有. 5. 若雙曲線（a＞0,b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，左準線為L，則當1＜e≤時，可在雙曲線上求一點P，使得PF1是P到對應(yīng)準線距離d與PF2的比例中項. 6. P為雙曲線（a＞0,b＞0）上任一點,F1,F2為二焦點，A為雙曲線內(nèi)一定點，則,當且僅當三點共線且和在y軸同側(cè)時，等號成立. 7. 雙曲線（a＞0

10、,b＞0）與直線有公共點的充要條件是. 8. 已知雙曲線（b＞a ＞0），O為坐標原點，P、Q為雙曲線上兩動點，且. （1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值為;（3）的最小值是. 9. 過雙曲線（a＞0,b＞0）的右焦點F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則. 10. 已知雙曲線（a＞0,b＞0）,A、B是雙曲線上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點, 則或. 11. 設(shè)P點是雙曲線（a＞0,b＞0）上異于實軸端點的任一點,F1、F2為其焦點記，則(1).(2) . 12. 設(shè)A、B是雙曲線（a＞0,b＞0）的長軸兩端點，P是雙曲線上的一

11、點，, ,，c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有(1). (2) .(3) . 13. 已知雙曲線（a＞0,b＞0）的右準線與x軸相交于點，過雙曲線右焦點的直線與雙曲線相交于A、B兩點,點在右準線上，且軸，則直線AC經(jīng)過線段EF 的中點. 14. 過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點與相應(yīng)焦點的連線必與切線垂直. 15. 過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線交相應(yīng)準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直. 16. 雙曲線焦三角形中,外點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率). (注:在雙曲線焦三角形中,非焦頂點的內(nèi)、外角平分線與長軸交點分別稱為內(nèi)、外點). 17. 雙曲線焦三角形中,其焦點所對的旁心將外點與非焦頂點連線段分成定比e. 18. 雙曲線焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點到雙曲線中心的比例中項.