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2022高中數(shù)學 初高中銜接讀本 專題2.1 一元二次方程根的判別式精講深剖學案

上傳人:xt****7 文檔編號:105691749 上傳時間:2022-06-12 格式:DOC 頁數(shù):4 大?。?1KB
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1、2022高中數(shù)學 初高中銜接讀本 專題2.1 一元二次方程根的判別式精講深剖學案 現(xiàn)行初中數(shù)學教材主要要求學生掌握一元二次方程的概念、解法及應用,而一元二次方程的根的判斷式及根與系數(shù)的關系,在高中教材中的二次函數(shù)、不等式及解析幾何等章節(jié)有著重要應用.本專題將對一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關系等進行講述。 【知識梳理】 一元二次方程的根的判別式 一元二次方程,用配方法將其變形為: (1) 當時,右端是正數(shù).因此,方程有兩個不相等的實數(shù)根: (2) 當時,右端是零.因此,方程有兩個相等的實數(shù)根: (3) 當時,右端是負數(shù).因此,方程沒有實數(shù)根. 由于可以用的取值情況來判定

2、一元二次方程的根的情況.因此,把叫做一元二次方程的根的判別式,表示為: 【精講深剖】 一元二次方程根的判別式即是判定方程根的情況的充分條件,也是求解方程根的一般方法。 【典例解析】1.判定下列關于x的方程的根的情況(其中a為常數(shù)),如果方程有實數(shù)根,寫出方程的 實數(shù)根. (1)x2-3x+3=0; (2)x2-ax-1=0; (3) x2-ax+(a-1)=0; (4)x2-2x+a=0. 【解析】(1)∵Δ=32-4×1×3=-3<0, ∴方程沒有實數(shù)根. (2)該方程的根的判別式Δ=a

3、2-4×1×(-1)=a2+4>0, 所以方程一定有兩個不等的實數(shù)根;, . (3)由于該方程的根的判別式為 Δ=a2-4×1×(a-1)=a2-4a+4=(a-2)2, 所以,①當a=2時,Δ=0, 所以方程有兩個相等的實數(shù)根:x1=x2=1; ②當a≠2時,Δ>0, 所以方程有兩個不相等的實數(shù)根: x1=1,x2=a-1. 【解題反思】在第3,4小題中,方程的根的判別式的符號隨著a的取值的變化而變化,于是,在解題過程中,需要對a的取值情況進行討論,這一方法叫做分類討論.分類討論這一思想方法是高中數(shù)學中一個非常重要的方法,在今后的解題中會經常地運用這一方法來解決問題.

4、 【變式訓練】 1.已知關于的一元二次方程,根據(jù)下列條件,分別求出的范圍: (1) 方程有兩個不相等的實數(shù)根; (2) 方程有兩個相等的實數(shù)根; (3)方程有實數(shù)根; (4) 方程無實數(shù)根. 【解析】 (1) ; (2) ; (3); (4) . 【點評】本題已知根的情況,運用根的判別式,求方程中參數(shù)的取值范圍。需要逆向思考,體現(xiàn)了思維的靈活性。 2.(1)判斷直線與拋物線的交點個數(shù); (2)若直線與拋物線有兩個不同的交點,求的范圍。 【分析】有題意,曲線交點個數(shù)可轉化為對應方程組的解的個數(shù),可借助根的判別式進行解決; (2

5、)由,代入消元得;, 整理得;, 由題意可得;,解得, 即當時,直線與拋物線有兩個不同的交點。 【點評】判斷兩曲線交點個數(shù)問題時,基本方法為直接求解法,判別式法即圖像法。而判別式法在解決二次曲線交點個數(shù)問題時更為高效。 3.已知關于x的一元二次方程. (1)求證:不管為何值,方程總有實數(shù)根; (2)若等腰三角形ABC的一邊長,另兩邊長恰好是這個方程的兩個根,求此三角形的周長. 【答案】(1);(2)16或22. 【分析】(1)計算出“根的判別式△的值”,然后通過配方可知無論k去何值,△的值恒大于或等于0,由此可得結論; (2)因為題目中沒有告訴等腰△ABC中邊是腰還是底,故

6、要分兩種情況討論:①當為腰時,則中有一邊為腰,即原方程有一根為6,代入方程可解得k的值,進一步可求得方程的另一根,從而可求△ABC的周長;②當為底時,則都為腰,此時原方程有兩個相等的實數(shù)根,則△=0,由此可求出k的值,代入原方程求解,從而可求△ABC的周長. 【解析】(1)∵在方程 中, △====, ∴無論k為何值,△0 , ∴不管k為何值,原方程總有實數(shù)根; ②當為底時,則兩邊均為腰,即原方程有兩個相等的實數(shù)根, 所以,解得, 此時原方程為:,解得: 即兩邊均為2,因為,此時三邊圍不成三角形,此種情況不成立; 綜合①②可得的周長為16或22 【點評】問題從一元二次根的判別式“△”入手,通過化簡、配方法等將“△”表達式轉化為可判斷其符號的形式,從而就可以判斷原一元二次方程根的情況了;(2)這類問題通常要分“已知邊是等腰三角形的腰和底”兩種情況分別討論,同時要特別注意在涉及三角形三邊的問題中,求出三邊后,一定要用三角形三邊間的關系進行檢驗,看能否圍成三角形.

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