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2022高中數(shù)學(xué) 第1章 統(tǒng)計案例章末復(fù)習(xí)提升練習(xí) 蘇教版選修1 -2

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1、2022高中數(shù)學(xué) 第1章 統(tǒng)計案例章末復(fù)習(xí)提升練習(xí) 蘇教版選修1 -2 1.獨(dú)立性檢驗 利用χ2=(其中n=a+b+c+d)來確定在多大程度上認(rèn)為“兩個變量有相關(guān)關(guān)系”.應(yīng)記熟χ2的幾個臨界值的概率. 2.回歸分析 (1)分析兩個變量相關(guān)關(guān)系常用:散點(diǎn)圖或相關(guān)系數(shù)r進(jìn)行判斷.在確認(rèn)具有線性相關(guān)關(guān)系后,再求線性回歸方程,進(jìn)行預(yù)測. (2)對某些特殊的非線性關(guān)系,可以通過變量轉(zhuǎn)化,把非線性回歸轉(zhuǎn)化為線性回歸,再進(jìn)行研究. 題型一 獨(dú)立性檢驗思想的應(yīng)用 獨(dú)立性檢驗的基本思想是統(tǒng)計中的假設(shè)檢驗思想,類似于數(shù)學(xué)中的反證法,要確認(rèn)兩個分類變量有關(guān)系這一結(jié)論成立的可信程度,首先假設(shè)該結(jié)論不

2、成立,即假設(shè)“兩個分類變量沒有關(guān)系”成立,在該假設(shè)下我們構(gòu)造的隨機(jī)變量χ2應(yīng)該很小,如果由觀測數(shù)據(jù)計算得到的χ2的觀測值很大,則在一定程度上說明假設(shè)不合理. 例1 為了比較注射A,B兩種藥物后產(chǎn)生的皮膚皰疹的面積,選200只家兔做試驗,將這200只家兔隨機(jī)地分成兩組,每組100只,其中一組注射藥物A,另一組注射藥物B.下表1和表2分別是注射藥物A和藥物B后的試驗結(jié)果.(皰疹面積單位:mm2) 表1:注射藥物A后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表 皰疹面積 [60,65) [65,70) [70,75) [75,80) 頻數(shù) 30 40 20 10 表2:注射藥物B后皮膚皰疹面積

3、的頻數(shù)分布表 皰疹面積 [60,65) [65,70) [70,75) [75,80) [80,85) 頻數(shù) 10 25 20 30 15 完成下面2×2列聯(lián)表,能否在犯錯誤概率不超過0.001的前提下,認(rèn)為“注射藥物A后的皰疹面積與注射藥物B后的皰疹面積有差異”. 表3: 皰疹面積 小于70mm2 皰疹面積不 小于70mm2 合計 注射藥物A a= b= 注射藥物B c= d= 合計 n= 解 列出2×2列聯(lián)表 皰疹面積 小于70mm2 皰疹面積不 小于70mm2 總計 注射藥物A a=70 b=

4、30 100 注射藥物B c=35 d=65 100 合計 105 95 n=200 χ2=≈24.56, 由于χ2>10.828,所以在犯錯誤概率不超過0.001的前提下,認(rèn)為“注射藥物A后的皰疹面積與注射藥物B后的皰疹面積有差異”. 跟蹤演練1 某企業(yè)為了更好地了解設(shè)備改造與生產(chǎn)合格品的關(guān)系,隨機(jī)抽取了180件產(chǎn)品進(jìn)行分析.其中設(shè)備改造前生產(chǎn)的合格品有36件,不合格品有49件;設(shè)備改造后生產(chǎn)的合格品有65件,不合格品有30件,根據(jù)上面的數(shù)據(jù),你能得出什么結(jié)論? 解 根據(jù)已知條件列出2×2列聯(lián)表: 合格品 不合格品 合計 設(shè)備改造后 65 30 9

5、5 設(shè)備改造前 36 49 85 合計 101 79 180 提出假設(shè)H0:設(shè)備改造與生產(chǎn)合格品無關(guān). 由公式得χ2=≈12.379. ∵χ2>10.828,∴我們有99.9%的把握認(rèn)為設(shè)備改造與生產(chǎn)合格品有關(guān)系. 題型二 線性回歸分析 進(jìn)行線性回歸分析的前提是兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系,否則求出的線性回歸方程就沒有實際意義,所以必須先判斷兩個變量是否線性相關(guān).分析判斷兩個變量是否線性相關(guān)的常用方法是利用散點(diǎn)圖進(jìn)行判斷,若各數(shù)據(jù)點(diǎn)大致分布在通過散點(diǎn)圖中心的一條直線附近,那么就說這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系.此方法直觀、形象,但缺乏精確性. 例2 在一段時間內(nèi),分5次

6、測得某種商品的價格x(萬元)和需求量y(t)之間的一組數(shù)據(jù)為 1 2 3 4 5 價格x 1.4 1.6 1.8 2 2.2 需求量y 12 10 7 5 3 已知xiyi=62,x=16.6. (1)畫出散點(diǎn)圖; (2)求出y對x的線性回歸方程; (3)如果價格定為1.9萬元,預(yù)測需求量大約是多少?(精確到0.01t). 解 (1)散點(diǎn)圖如下圖所示: (2)因為=×9=1.8,=×37=7.4, xiyi=62,x=16.6, 所以===-11.5, =-=7.4+11.5×1.8=28.1, 故y對x的線性回歸方程為=28.1-

7、11.5x. (3)=28.1-11.5×1.9=6.25(t). 故價格定為1.9萬元,預(yù)測需求量大約為6.25t. 跟蹤演練2 某車間為了規(guī)定工時定額,需要確定加工零件所花費(fèi)的時間,為此作了4次試驗,得到數(shù)據(jù)如下: 零件的個數(shù)x(個) 2 3 4 5 加工的時間y(小時) 2.5 3 4 4.5 (1)在給定的坐標(biāo)系中畫出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖; (2)求y關(guān)于x的線性回歸方程=x+; (3)試預(yù)測加工10個零件需要的時間. 解 (1)散點(diǎn)圖如圖所示: (2)==3.5,==3.5, iyi=2×2.5+3×3+4×4+5×4.5=52.5, =4

8、+9+16+25=54, ∴==0.7, =3.5-0.7×3.5=1.05, ∴所求線性回歸方程為=0.7x+1.05. (3)當(dāng)x=10時,=0.7×10+1.05=8.05, ∴預(yù)測加工10個零件需要8.05小時. 題型三 非線性回歸分析 非線性回歸問題有時并不給出經(jīng)驗公式.這時我們可以畫出已經(jīng)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖,把它與已經(jīng)學(xué)過的各種函數(shù)(冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等)圖象作比較,挑選一種跟這些散點(diǎn)擬合得最好的函數(shù),然后采用適當(dāng)?shù)淖兞恐脫Q,把問題化為線性回歸分析問題,使之得到解決. 例3 下表是某年美國舊轎車價格的調(diào)查資料,今以x表示轎車的使用年數(shù),y是表示相應(yīng)的年均價格,求y

9、關(guān)于x的回歸方程. 使用 年數(shù)x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年均價格 y(美元) 2651 1943 1494 1087 765 538 484 290 226 204 解 數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點(diǎn)圖如圖1, 圖1 可以發(fā)現(xiàn),各點(diǎn)并不是基本處于一條直線附近,因此,y與x之間是非線性回歸關(guān)系.與已學(xué)函數(shù)圖象比較,用=ex+來刻畫題中模型更為合理,令=ln,則=x+,題中數(shù)據(jù)變成如下表所示: x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 z 7.883 7.572 7.309 6.991 6.640

10、 6.288 6.182 5.670 5.421 5.318 相應(yīng)的散點(diǎn)圖如圖2,從圖2可以看出,變換的樣本點(diǎn)分布在一條直線附近,因此可以用線性回歸方程擬合. 圖2 由表中數(shù)據(jù)可得r≈-0.996.即|r|>r0.05=0.632,所以有95%的把握認(rèn)為x與z之間具有線性相關(guān)關(guān)系,由表中數(shù)據(jù)得≈-0.298,≈8.165, 所以=-0.298x+8.165,最后代回=ln,即=e-0.298x+8.165為所求. 跟蹤演練3 下表所示是一組試驗數(shù)據(jù): x 0.5 0.25 0.125 0.1 y 64 138 205 285 360 (1)作出

11、x與y的散點(diǎn)圖,并判斷是否線性相關(guān); (2)若變量y與成線性相關(guān)關(guān)系,求出y對x的回歸方程,并觀測x=10時y的值. 解 (1)散點(diǎn)圖如圖: 由散點(diǎn)圖可知y與x不具有線性相關(guān)關(guān)系,且樣本點(diǎn)分布在反比例函數(shù)y=+a的周圍. (2)令x′=,y′=y(tǒng)由已知數(shù)據(jù)制成下表 序號 x′i y′i x′ y′ x′iy′i 1 2 64 4 4096 128 2 4 138 16 19044 552 3 6 205 36 42025 1230 4 8 285 64 81225 2280 5 10 360 100 129600

12、 3600 ∑ 30 1052 220 275990 7790 ′=6,′=210.4, 故′-5()2=40,′-5()2=54649.2, r=≈0.9997,由于|r|>r0.05=0.878,說明y′與x′具有很強(qiáng)的線性關(guān)系,計算知=36.95,=210.4-36.95×6=-11.3,所以y′=-11.3+36.95x′.所求y對x的回歸方程y=-11.3. 當(dāng)x=10時,y=-11.3=-7.605. 1.獨(dú)立性檢驗是對兩個分類變量間是否存在相關(guān)關(guān)系的一種案例分析方法,而利用假設(shè)的思想方法,計算出某一個隨機(jī)變量χ2的值來判斷更精確些. 2.建立回歸模型的基本步驟:(1)確定研究對象.(2)畫出散點(diǎn)圖,觀察它們之間的關(guān)系.(3)由經(jīng)驗確定回歸方程的類型.(4)按照一定的規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù).

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