《2022高中數(shù)學(xué) 第2章 數(shù)列 2.3 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和學(xué)案 蘇教版必修5》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2022高中數(shù)學(xué) 第2章 數(shù)列 2.3 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和學(xué)案 蘇教版必修5(3頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022高中數(shù)學(xué) 第2章 數(shù)列 2.3 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和學(xué)案 蘇教版必修5
一、考點(diǎn)突破
知識(shí)點(diǎn)
課標(biāo)要求
題型
說(shuō)明
等差數(shù)列的前n項(xiàng)和
1. 掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式,并能運(yùn)用公式解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題;
2. 體會(huì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式與二次函數(shù)間的關(guān)系
選擇題
填空題
等差數(shù)列前n項(xiàng)和還要注意兩點(diǎn):公式推導(dǎo)的方法和函數(shù)的思想
二、重難點(diǎn)提示
重點(diǎn):運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式解決一些問(wèn)題。
難點(diǎn):等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式與二次函數(shù)間的關(guān)系。
考點(diǎn)一:等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及推導(dǎo)
(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式
Sn==na1+
(2) 等差數(shù)列的前
2、n項(xiàng)和公式的推導(dǎo):
∵Sn=a1+a2+…+an,
Sn=an+an-1+…+a1,
∴2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+…+(an+a1),
=n(a1+an),
∴Sn=n(a1+an)
這種推導(dǎo)方法稱(chēng)為倒序求和法。
【核心突破】
(1)由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及通項(xiàng)公式可知,若已知a1、d、n、an、Sn中三個(gè)便可求出其余兩個(gè),即“知三求二”?!爸蠖钡膶?shí)質(zhì)是方程思想,即建立方程組求解。
(2)在運(yùn)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式來(lái)求和時(shí),一般地,若已知首項(xiàng)a1及末項(xiàng)an用公式Sn=較方便;若已知首項(xiàng)a1及公差d用公式Sn=na1+d較好。
(3)在運(yùn)用公式S
3、n=求和時(shí),要注意性質(zhì)“設(shè)m、n、p、q均為正整數(shù),若m+n=p+q,則am+an=ap+aq”的運(yùn)用。
(4)在求和時(shí)除了直接用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和(即已知數(shù)列是等差數(shù)列)外,還要注意創(chuàng)設(shè)運(yùn)用公式條件(即將非等差數(shù)列問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列問(wèn)題),以利于求和。
考點(diǎn)二:等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)
數(shù)列{an}為等差數(shù)列,前n項(xiàng)和為Sn,則有如下性質(zhì):
(1)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…,也是等差數(shù)列,公差為m2d。
(2)若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n(n∈N*),則S偶-S奇=nd,=。
(3)若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n+1(n∈N*),則S奇-S偶=an+1,=。
(4)若{an}、{b
4、n}均為等差數(shù)列,前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn,則。
考點(diǎn)三:等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值
解決等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值的基本思想是利用前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系解決問(wèn)題,即:
(1)二次函數(shù)法:用求二次函數(shù)的最值的方法來(lái)求前n項(xiàng)和的最值,但要注意的是:。
(2)圖象法:利用二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性來(lái)確定的值,使取最值。
(3)通項(xiàng)法:當(dāng)時(shí),為使成立的最大的自然數(shù)時(shí),最大。這是因?yàn)楫?dāng)時(shí),,即遞增;當(dāng)時(shí),,即遞減。
類(lèi)似的,當(dāng)時(shí),則為使成立的最大的自然數(shù)時(shí),最小。
例題1(等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用)
在等差數(shù)列{an}中,前n項(xiàng)和為Sn。
(1)已知S8=48,S12=168,求a1和
5、d;
(2)已知a6=10,S5=5,求a8和S8;
(3)已知a3+a15=40,求S17。
思路分析:(1)利用前n項(xiàng)和公式,建立關(guān)于a1、d的方程組,解方程組求a1、d;
(2)根據(jù)前n項(xiàng)和公式求a1、d,再求a8和S8;
(3)先根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求a1+a17,再求S17。
答案:(1)由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,
得 解得
(2)∵a6=S6-S5,∴S6=S5+a6=15,
∴×6=15,即3(a1+10)=15,
∴a1=-5,∴d==3,
∴a8=a6+2d=16,S8=×8=44;
(3)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),有a3+a15=a1+a17=40,
∴
6、S17==340。
技巧點(diǎn)撥:
1. 本題第(3)問(wèn)看似缺少條件,但注意到a3+a15與a1+a17的聯(lián)系,便可以很容易地求出結(jié)果,所以應(yīng)注意各元素之間的某些特殊聯(lián)系。
2. 對(duì)于兩個(gè)求和公式Sn=和Sn=na1+,要根據(jù)題目的已知條件靈活選用。
例題2(等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值)
已知等差數(shù)列{an}中,a1=13且S3=S11,那么n取何值時(shí),Sn取得最大值?并求出Sn的最大值。
思路分析:先根據(jù)前n項(xiàng)和公式求公差d,再求出Sn的表達(dá)式,轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)在N*上的最值問(wèn)題;也可求出公差d后,利用通項(xiàng)公式an的符號(hào)解決。
答案:方法一 設(shè)公差為d,由S3=S11得3×13+d=
7、11×13+d,d=-2,又a1=13,∴Sn=n2+(a1-)n=-n2+14n=-(n-7)2+49,
∴當(dāng)n=7時(shí),Sn取得最大值,最大值是S7=49;
方法二 同方法一得
d=-2,an=13-2(n-1)=15-2n,
由 即
解得6.5≤n≤7.5,
∴當(dāng)n=7時(shí),Sn取得最大值,
∴Sn的最大值是S7==49;
方法三 同方法一得d=-2
又由S3=S11知a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10+a11=4(a7+a8)=0,
∵a1=13>0,
∴a7≥0,a8≤0,知數(shù)列的前7項(xiàng)和最大,
∴S7=7×13+×(-2)=49。
技巧點(diǎn)撥:
1.
8、 本題中方法一利用二次函數(shù)的最值確定n值;方法二利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式確定n值;方法三利用等差數(shù)列的性質(zhì),由條件本身的特點(diǎn)確定n值。
2. 求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值的常見(jiàn)方法:
(1)方法一:利用通項(xiàng)公式確定n值
①若a1>0,d<0,則Sn有最大值,n可由不等式組來(lái)確定;
②若a1<0,d>0,則Sn有最小值,n可由不等式組來(lái)確定。
(2)方法二:利用二次函數(shù)的最值確定n值
等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,當(dāng)d≠0時(shí),點(diǎn)(n,Sn)是二次函數(shù)y=ax2+bx(a≠0)上的間斷點(diǎn),因此可利用二次函數(shù)的最值確定n值。
一類(lèi)與等差數(shù)列有關(guān)的含絕對(duì)值的數(shù)列的求和
【滿分訓(xùn)練】已知數(shù)列為等差數(shù)列,,求
思路分析:所求和中關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值,故根據(jù)的正負(fù)去掉絕對(duì)值。先確定各項(xiàng)的正負(fù),再根據(jù)正負(fù)去掉絕對(duì)值,然后求和。
答案:由于有正也有負(fù),當(dāng)≥0時(shí),;當(dāng)<0時(shí),。
當(dāng)≥0時(shí),,所以
技巧點(diǎn)撥:
這類(lèi)數(shù)列的求和問(wèn)題的易錯(cuò)點(diǎn)是未考慮的情形,或者考慮了,但認(rèn)為它是一個(gè)常數(shù)。