《（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量、復(fù)數(shù) 4 第4講 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入教學(xué)案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量、復(fù)數(shù) 4 第4講 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入教學(xué)案（13頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第4講　數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 1．復(fù)數(shù)的有關(guān)概念 (1)復(fù)數(shù)的定義 形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中實(shí)部是a，虛部是b． (2)復(fù)數(shù)的分類 復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R) (3)復(fù)數(shù)相等 a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (4)共軛復(fù)數(shù) a＋bi與c＋di共軛?a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)． (5)復(fù)數(shù)的模 向量的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a、b∈R)． 2．復(fù)數(shù)的幾何意義 (1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)(a，b∈R)．　

2、(2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量． 3．復(fù)數(shù)的運(yùn)算 (1)復(fù)數(shù)的加、減 、乘、除運(yùn)算法則 設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)． (2)復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算定律 復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對(duì)任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z

3、2＋z3)． [疑誤辨析] 判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)若a∈C，則a2≥0.(　　) (2)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，當(dāng)a＝0時(shí)，復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)．(　　) (3)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)中，虛部為bi.(　　) (4)方程x2＋x＋1＝0沒有解．(　　) (5)由于復(fù)數(shù)包含實(shí)數(shù)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)兩個(gè)數(shù)能比較大小，因而在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)兩個(gè)數(shù)也能比較大小．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× [教材衍化] 1．(選修2-2P106B組T1改編)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足＝i，則|z|＝________． 解析：1＋z＝i(1－z)

4、，z(1＋i)＝i－1， z＝＝＝i，所以|z|＝|i|＝1. 答案：1 2．(選修2-2P112A組T2改編)在復(fù)平面內(nèi)，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是2＋i，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是－1－3i，則向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是________． 解析：＝＋＝－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i. 答案：－3－4i 3．(選修2-2P116A組T2改編)若復(fù)數(shù)z＝(x2－1)＋(x－1)i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)x的值為________． 解析：因?yàn)閦為純虛數(shù)，所以所以x＝－1. 答案：－1 [易錯(cuò)糾偏] (1)復(fù)數(shù)的幾何意義不清致誤； (2)復(fù)數(shù)的運(yùn)算方法不當(dāng)致使出錯(cuò)； (3)z與z的不清致誤． 1．在復(fù)平

5、面內(nèi)，復(fù)數(shù)6＋5i，－2＋3i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B.若C為線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是(　　) A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i 解析：選C.因?yàn)锳(6，5)，B(－2，3)，所以線段AB的中點(diǎn)C(2，4)，則點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z＝2＋4i.故選C. 2．若a為實(shí)數(shù)，且＝3＋i，則a＝________． 解析：由＝3＋i，得2＋ai＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i，即ai＝4i，因?yàn)閍為實(shí)數(shù)，所以a＝4. 答案：4 3．已知(1＋2i)z＝4＋3i，則z＝________． 解析：因?yàn)閦＝＝＝＝2－i，所以z＝2＋i. 答案：2＋i

6、　　　　　　復(fù)數(shù)的有關(guān)概念 (1)設(shè)有下面四個(gè)命題 p1：若復(fù)數(shù)z滿足∈R，則z∈R； p2：若復(fù)數(shù)z滿足z2∈R，則z∈R； p3：若復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1z2∈R，則z1＝z2； p4：若復(fù)數(shù)z∈R，則z∈R. 其中的真命題為(　　) A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4 (2)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虛數(shù)單位)，則a2＋b2＝________，ab＝________． 【解析】　(1)對(duì)于命題p1，設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，由＝＝∈R，得b＝0，則z∈R成立，故命題p1正確；對(duì)于命題p2，設(shè)z＝a＋bi(a

7、，b∈R)，由z2＝a2－b2＋2abi∈R，得ab＝0，則a＝0或b＝0，復(fù)數(shù)z可能為實(shí)數(shù)或純虛數(shù)，故命題p2錯(cuò)誤；對(duì)于命題p3，設(shè)z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，由z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i∈R，得ad＋bc＝0，不一定有z1＝z2，故命題p3錯(cuò)誤；對(duì)于命題p4，設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則由z∈R，得b＝0，所以z＝a∈R成立，故命題p4正確．故選B. (2)因?yàn)?a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝3＋4i， 所以所以或 所以a2＋b2＝5，ab＝2. 【答案】　(1)B　(2)5　2 解決復(fù)數(shù)概念問題的方法及注意事項(xiàng)

8、(1)復(fù)數(shù)的分類及對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實(shí)部和虛部滿足的方程(不等式)組即可． (2)解題時(shí)一定要先看復(fù)數(shù)是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實(shí)部和虛部．　 1．(2020·浙江省名校協(xié)作體高三聯(lián)考)設(shè)復(fù)數(shù)z＝，則z的共軛復(fù)數(shù)為(　　) A.－i　　 B.＋i C．1－3i　　 D．1＋3i 解析：選B.z＝＝＝＋i. 2．(2020·浙江省高中學(xué)科基礎(chǔ)測(cè)試)已知復(fù)數(shù)(i是虛數(shù)單位)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝(　　) A．－2　　　 　B．－1 C．0　 　 　　D．2 解析：選A

9、.＝＋i，由是純虛數(shù)得＝0，所以a＝－2，故選A. 　　　　　　復(fù)數(shù)的幾何意義 (1)(2020·臺(tái)州模擬)復(fù)數(shù)z＝＋3i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為(　　) A．第一象限　　　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)在復(fù)平面內(nèi)與復(fù)數(shù)z＝所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱的點(diǎn)為A，則A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(　　) A．1＋2i B．1－2i C．－2＋i D．2＋i (3)如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1，z2對(duì)應(yīng)的向量分別是，，則|z1＋z2|＝(　　) A．2 B．3 C．2 D．3 【解析】　(1)z＝＋3i＝＋3i＝＋3i＝2－i＋3i

10、＝2＋2i，故z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，故選A. (2)依題意得，復(fù)數(shù)z＝＝i(1－2i)＝2＋i，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(2，1)，因此點(diǎn)A(－2，1)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為－2＋i. (3)由題圖可知，z1＝－2－i，z2＝i，則z1＋z2＝－2，所以|z1＋z2|＝2. 【答案】　(1)A　(2)C　(3)A 復(fù)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用 (1)復(fù)數(shù)z、復(fù)平面上的點(diǎn)Z及向量相互聯(lián)系，即z＝a＋bi(a，b∈R)?Z(a，b)?. (2)由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題的解決更加直觀．　 1．已知

11、i是虛數(shù)單位，則滿足z－i＝|3＋4i|的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的象限為(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：選A.z－i＝|3＋4i|＝＝5，z＝5＋i，對(duì)應(yīng)點(diǎn)(5，1)，在第一象限，故選A. 2．已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(－3，1) B．(－1，3) C．(1，＋∞) D．(－∞，－3) 解析：選A.由已知可得復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(m＋3，m－1)，所以解得－3＜m＜1，故選A. 　　　　　　復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算(高頻考點(diǎn)) 復(fù)數(shù)代數(shù)

12、形式的四則運(yùn)算是每年高考的必考內(nèi)容，題型為選擇題或填空題，難度很?。饕}角度有： (1)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算； (2)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算； (3)利用復(fù)數(shù)相等求參數(shù)． 角度一　復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算 (2020·浙江新高考沖刺卷)已知復(fù)數(shù)z＝1＋i，其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)1＋z＋z2＋…＋z2 017的實(shí)部為(　　) A．1　　　　　　　　　　　　 B．－1 C．21 009 D．－21 009 【解析】　因?yàn)閦＝1＋i， 所以1＋z＋z2＋…＋z2 017＝＝ ＝＝＝＝21 009＋i. 所以復(fù)數(shù)1＋z＋z2＋…＋z2 017的實(shí)部為21 009.故選C. 【答案】　C

13、 角度二　復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算 計(jì)算下列各式的值． (1)；(2)；(3)＋i3. 【解】　(1)＝＝＝2i. (2)＝＝2－i. (3)＋i3＝＋i3＝＋i3＝i－i＝0. 角度三　利用復(fù)數(shù)相等求參數(shù) 已知＝a＋bi(a，b∈R，i為虛數(shù)單位)，則a＋b＝(　　) A．－7　　　 B．7　　　 C．－4　　 　D．4 【解析】　因?yàn)椋?＋＋＝－3－4i， 所以－3－4i＝a＋bi，則a＝－3，b＝－4， 所以a＋b＝－7，故選A. 【答案】　A (1)復(fù)數(shù)的乘法：復(fù)數(shù)的乘法類似于多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項(xiàng)，不含i

14、的看作另一類同類項(xiàng)，分別合并即可． (2)復(fù)數(shù)的除法：除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的冪寫成最簡(jiǎn)形式．　 1．(2018·高考浙江卷)復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)是(　　) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 解析：選B.因?yàn)椋剑剑?＋i，所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為1－i，故選B. 2．(2020·嘉興一中高考模擬)復(fù)數(shù)z滿足z·(2－i)＝3－4i(其中i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)||＝(　　) A. B．2 C. D. 解析：選D.復(fù)數(shù)z滿足z·

15、(2－i)＝3－4i(其中i為虛數(shù)單位)，所以z·(2－i)(2＋i)＝(3－4i)(2＋i)，化為：5z＝10－5i，可得z＝2－i.則復(fù)數(shù)||＝＝＝|－1－2i|＝|1＋2i|＝＝.故選D. 3．(2019·高考浙江卷)復(fù)數(shù)z＝(i為虛數(shù)單位)，則|z|＝________． 解析：通解：z＝＝＝－，所以|z|＝＝. 優(yōu)解：|z|＝＝＝＝. 答案： [基礎(chǔ)題組練] 1．(2020·溫州七校聯(lián)考)復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(　　) A．第一象限　　　　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：選C.＝＝＝－－i，其在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限．

16、 2．(2020·金華十校聯(lián)考)若復(fù)數(shù)z滿足z(1－i)＝|1－i|＋i，則z的實(shí)部為(　　) A. B.－1 C．1 D. 解析：選A.由z(1－i)＝|1－i|＋i，得z＝＝＝＋i，故z的實(shí)部為，故選A. 3．若復(fù)數(shù)z滿足(1＋2i)z＝1－i，則|z|＝(　　) A. B. C. D. 解析：選C.z＝＝?|z|＝. 4．如果復(fù)數(shù)z滿足|z＋1－i|＝2，那么|z－2＋i|的最大值是(　　) A.＋2 B．2＋i C.＋ D.＋4 解析：選A.復(fù)數(shù)z滿足|z＋1－i|＝2， 表示以C(－1，1)為圓心，2為半徑的圓． |z－2＋i|表示圓

17、上的點(diǎn)與點(diǎn)M(2，－1)的距離． 因?yàn)閨CM|＝＝. 所以|z－2＋i|的最大值是＋2. 故選A. 5．(2020·杭州市學(xué)軍中學(xué)聯(lián)考)已知＝1－yi，其中x，y是實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)單位，則x＋yi的共軛復(fù)數(shù)為(　　) A．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i 解析：選D.＝(x－xi)＝1－yi，所以解得x＝2，y＝1，故選D. 6．(2020·金麗衢十二校聯(lián)考)已知復(fù)數(shù)z＝x＋(x－a)i，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈(1，2)，恒有|z|>|z＋i|，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　) A. B. C. D. 解析：選C.因?yàn)閦＝x＋(x－a)i，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x

18、∈(1，2)，恒有|z|>|z＋i|， 所以>對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈(1，2)恒成立． 即2(x－a)＋1<0對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈(1，2)恒成立． 所以a>x＋(1

19、－z)·z|＝________． 解析：因?yàn)閦＝－1－i，所以z＝－1＋i， 所以(1－z)·z＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i， 所以|(1－z)·z|＝|－3＋i|＝. 答案： 9．(2020·寧波南三縣六校聯(lián)考)已知i是虛數(shù)單位，m，n∈R，且m(1＋i)＝1＋ni，則＝________． 解析：由m(1＋i)＝1＋ni，得m＋mi＝1＋ni，即m＝n＝1，所以＝＝i2＝－1. 答案：－1 10．已知復(fù)數(shù)z＝(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線x－2y＋m＝0上，則實(shí)數(shù)m＝________． 解析：z＝＝＝＝1－2i，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，－2)，

20、將其代入x－2y＋m＝0，得m＝－5. 答案：－5 11．計(jì)算：(1)； (2)＋； (3). 解：(1)＝ ＝＝＝＋i. (2)＋＝＋＝＋＝－1. (3)＝＝＝ ＝－－i. 12．實(shí)數(shù)m分別取什么數(shù)值時(shí)，復(fù)數(shù)z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i (1)與復(fù)數(shù)2－12i相等； (2)與復(fù)數(shù)12＋16i互為共軛復(fù)數(shù)； (3)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在x軸上方． 解：(1)根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件得 解得m＝－1. (2)根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義得 解得m＝1. (3)根據(jù)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)在x軸上方可得m2－2m－15＞0，解得m＜－3或m＞5. [綜合題組練] 1．對(duì)任意復(fù)

21、數(shù)z＝x＋yi(x，y∈R)，i為虛數(shù)單位，下列結(jié)論正確的是(　　) A．|z－z|＝2y B．z2＝x2＋y2 C．|z－z|≥2x D．|z|≤|x|＋|y| 解析：選D.依次判斷各選項(xiàng)，其中A，C錯(cuò)，應(yīng)為|z－z|＝2|yi|；B錯(cuò)，應(yīng)為z2＝x2－y2＋2xyi，D正確，因?yàn)閨z|＝≤＝＝|x|＋|y|. 2．若虛數(shù)(x－2)＋yi(x，y∈R)的模為，則的最大值是　　(　　) A. B. C. D. 解析：選D.因?yàn)?x－2)＋yi是虛數(shù)，所以y≠0， 又因?yàn)閨(x－2)＋yi|＝， 所以(x－2)2＋y2＝3. 由圖的幾何意義得，是復(fù)數(shù)x＋yi對(duì)

22、應(yīng)點(diǎn)的斜率，所以＝tan∠AOB＝， 所以的最大值為. 3．若復(fù)數(shù)z1.z2滿足|z1|＝|z2|＝2，|z1＋z2|＝2，則|z1－z2|＝________． 解析：由已知z1，z2均在以原點(diǎn)為圓心、以2為半徑的圓上，|z1－z2|為另一對(duì)角線長(zhǎng)，如圖，易知∠Z1OZ2＝60°，所以|z1－z2|＝2. 答案：2 4．已知復(fù)數(shù)z＝，當(dāng)a≥2時(shí)，|z|2＋t|z|＋4>0恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是________． 解析：當(dāng)a≥2時(shí)，復(fù)數(shù)z＝＝＝a－ai，|z|＝＝2a. 當(dāng)a≥2時(shí)，|z|2＋t|z|＋4>0恒成立，則4a2＋2at＋4>0，化為：t>＝－2. 令f(a

23、)＝a＋(a≥2)，f′(a)＝1－>0， 所以f(a)在a≥2時(shí)單調(diào)遞增，所以a＝2時(shí)取得最小值.所以t>－5. 答案：(－5，＋∞) 5．若虛數(shù)z同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件： ①z＋是實(shí)數(shù)；②z＋3的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)． 這樣的虛數(shù)是否存在？若存在，求出z；若不存在，請(qǐng)說明理由． 解：這樣的虛數(shù)存在，z＝－1－2i或z＝－2－i. 設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)， z＋＝a＋bi＋＝a＋bi＋ ＝＋i. 因?yàn)閦＋是實(shí)數(shù)，所以b－＝0. 又因?yàn)閎≠0，所以a2＋b2＝5.① 又z＋3＝(a＋3)＋bi的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)， 所以a＋3＋b＝0.② 由解得或 故存在虛數(shù)z，z＝－1－2i或z＝－2－i. 13