18、＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的長(zhǎng)為2，則a＝________.
答案 1
解析 兩圓的方程相減，得公共弦所在的直線方程為(x2＋y2＋2ay－6)－(x2＋y2)＝0－4?y＝，又a>0，結(jié)合圖形，利用半徑、弦長(zhǎng)的一半及弦心距所構(gòu)成的直角三角形，可知＝ ＝1?a＝1.
觸類旁通
如何處理兩圓的位置關(guān)系
判斷兩圓的位置關(guān)系時(shí)常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法．若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2、y2項(xiàng)得到．
【變式訓(xùn)練4】 已知圓C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0與圓
19、C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，若圓C1與圓C2相外切，則實(shí)數(shù)m＝( )
A．－5 B．－5或2 C．－6 D．8
答案 B
解析 對(duì)于圓C1與圓C2的方程，配方得圓C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圓C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4，則圓C1的圓心C1(m，－2)，半徑r1＝3，圓C2的圓心C2(－1，m)，半徑r2＝2.如果圓C1與圓C2相外切，那么有|C1C2|＝r1＋r2，即＝5，則m2＋3m－10＝0，解得m＝－5或m＝2，所以當(dāng)m＝－5或m＝2時(shí)，圓C1與圓C2相外切．
核心規(guī)律
切線、弦長(zhǎng)的求解方法
(1)求圓的切線方程可用待定系數(shù)法
20、，利用圓心到切線的距離等于半徑，列出關(guān)系式求出切線的斜率即可．
(2)幾何方法求弦長(zhǎng)，利用弦心距，即圓心到直線的距離、弦長(zhǎng)的一半及半徑構(gòu)成直角三角形計(jì)算．
滿分策略
1.過(guò)圓外一定點(diǎn)作圓的切線，有兩條，若在某種條件下只求出一個(gè)結(jié)果，則要想到還有斜率不存在的情況．
2.在兩個(gè)圓相交的情況下，兩個(gè)圓的方程相減后得到的直線方程才是公共弦所在的直線方程.
板塊三 啟智培優(yōu)·破譯高考
數(shù)學(xué)思想系列 8——數(shù)形結(jié)合思想在圓中的妙用
[2018·江西模擬]過(guò)點(diǎn)(，0)引直線l與曲線y＝相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積取最大值
21、時(shí)，直線l的斜率等于( )
A. B．－ C．± D．－
解題視點(diǎn) 如果等式、代數(shù)式的結(jié)構(gòu)中蘊(yùn)含著明顯的幾何特征，就要考慮數(shù)形結(jié)合法求解，解答本題時(shí)首先要看到曲線y＝表示的是以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的半個(gè)圓，作出圖形，結(jié)合三角形面積公式，確定面積最大時(shí)直線l的斜率．
解析 由y＝得x2＋y2＝1(y≥0)，即該曲線表示圓心在原點(diǎn)，半徑為1的半圓，如圖所示．
故S△AOB＝|OA|·|OB|·sin∠AOB＝sin∠AOB.所以當(dāng)sin∠AOB＝1，即OA⊥OB時(shí)，S△AOB取得最大值，此時(shí)點(diǎn)O到直線l的距離d＝|OA|·sin45°＝.設(shè)此時(shí)直線l的斜率為k，則方程為y＝k(
22、x－)，即kx－y－k＝0，則有＝，解得k＝±，由圖可知直線l的傾斜角為鈍角，故取k＝－.
答案 B
答題啟示 “數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)這座高樓大廈的兩塊最重要的基石，二者在內(nèi)容上互相聯(lián)系，在方法上互相滲透，在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化，而數(shù)形結(jié)合法正是在這一學(xué)科特點(diǎn)的基礎(chǔ)上發(fā)展而來(lái)的.在解答選擇題的過(guò)程中，可以先根據(jù)題意，作出草圖，然后參照?qǐng)D形的作法、形狀、位置、性質(zhì)，綜合圖象的特征，得出結(jié)論.
跟蹤訓(xùn)練
[2018·湖北模擬]若直線y＝x＋b與曲線y＝3－有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是( )
A．[1－2，1＋2] B．[1－，3]
C．[－1,1＋2] D．[1－2，3]
答
23、案 D
解析 ∵y＝3－，∴1≤y≤3，
∴(x－2)2＋(y－3)2＝4(1≤y≤3)，
即曲線y＝3－表示以(2,3)為圓心，2為半徑的下半圓．直線y＝x＋b與曲線y＝3－有公共點(diǎn)，表示兩曲線至少有一個(gè)公共點(diǎn)．符合條件的直線應(yīng)是夾在過(guò)點(diǎn)(0,3)和與下半圓相切的兩直線之間．
當(dāng)直線y＝x＋b過(guò)點(diǎn)(0,3)時(shí)，b＝3；當(dāng)直線y＝x＋b與圓y＝3－相切時(shí)，由點(diǎn)到直線的距離公式，得2＝，∴|b－1|＝2.結(jié)合圖形知b＝1－2.
∴1－2≤b≤3，故選D.
板塊四 模擬演練·提能增分
[A級(jí) 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]
1．[2018·福建漳州八校聯(lián)考]已知點(diǎn)P(a，b)(ab≠0)是圓x2
24、＋y2＝r2內(nèi)的一點(diǎn)，直線m是以P為中點(diǎn)的弦所在的直線，直線l的方程為ax＋by＝r2，那么( )
A．m∥l，且l與圓相交 B．m⊥l，且l與圓相切
C．m∥l，且l與圓相離 D．m⊥l，且l與圓相離
答案 C
解析 ∵點(diǎn)P(a，b)(ab≠0)在圓內(nèi)，∴a2＋b2＝r，∴m∥l，l與圓相離．故選C.
2．已知過(guò)點(diǎn)P(2,2)的直線與圓(x－1)2＋y2＝5相切，且與直線ax－y＋1＝0垂直，則a等于( )
A．－ B．
25、1 C．2 D.
答案 C
解析 圓心為C(1,0)，由于P(2,2)在圓(x－1)2＋y2＝5上，∴P為切點(diǎn)，CP與過(guò)點(diǎn)P的切線垂直．∴kCP＝＝2.又過(guò)點(diǎn)P的切線與直線ax－y＋1＝0垂直，∴a＝kCP＝2，選C.
3．[2018·湖北武漢調(diào)研]圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦所在直線和兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積為( )
A．1 B．2 C．4 D．8
答案 B
解析 圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦所在直線的方程為x－y＋2＝0，它與兩坐標(biāo)軸分別交于(－2,0)，(0,2)，所以直線和兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積為
26、×2×2＝2.故選B.
4．已知圓x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直線x＋y＋2＝0所得弦的長(zhǎng)度為4，則實(shí)數(shù)a的值是( )
A．－2 B．－4 C．－6 D．－8
答案 B
解析 由圓的方程x2＋y2＋2x－2y＋a＝0可得，圓心為(－1,1)，半徑r＝.圓心到直線x＋y＋2＝0的距離為d＝＝.由r2＝d2＋2，得2－a＝2＋4，所以a＝－4.
5．[2018·安徽模擬]若過(guò)點(diǎn)P(－，－1)的直線l與圓x2＋y2＝1有公共點(diǎn)，則直線l的傾斜角的取值范圍是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 設(shè)直線l的方程為y＋1＝k(x＋)，
即kx－y＋k－1＝0
27、.
由d＝≤1, 得0≤k≤，所以直線l的傾斜角的取值范圍是.
6．圓C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0與圓C2：x2＋y2－4x－2y＋4＝0的公切線有( )
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
答案 D
解析 圓C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，∴圓心C1(－1，－1)，半徑r1＝2；圓C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1，∴圓心C2(2,1)，半徑r2＝1.
∴兩圓心的距離d＝＝，r1＋r2＝3，∴d>r1＋r2，∴兩圓外離，∴兩圓有4條公切線．
7．由直線y＝x＋1上的一點(diǎn)向圓x2＋y2－6x＋8＝0引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為( )
A. B．2
28、 C．3 D.
答案 A
解析 如圖，在Rt△PAB中，要使切線PB最小，只需圓心與直線y＝x＋1上的點(diǎn)的距離取得相應(yīng)最小值即可，易知其最小值為圓心到直線的距離，即|AP|min＝＝2，故|BP|min＝ ＝.
8．[2018·太原質(zhì)檢]過(guò)點(diǎn)A(4,1)的圓C與直線x－y－1＝0相切于B(2,1)，則圓C的方程為_(kāi)_______．
答案 (x－3)2＋y2＝2
解析 設(shè)圓C的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由題意知：點(diǎn)(a，b)既在直線y－1＝－(x－2)上，又在AB的垂直平分線上，由得圓心坐標(biāo)為(3,0)，r＝|AC|＝＝，所以圓C的方程為(x－3)2＋y2＝2.
29、9．[2016·全國(guó)卷Ⅰ]設(shè)直線y＝x＋2a與圓C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝2，則圓C的面積為_(kāi)_______．
答案 4π
解析 圓C的方程可化為x2＋(y－a)2＝a2＋2，可得圓心的坐標(biāo)為C(0，a)，半徑r＝，所以圓心到直線x－y＋2a＝0的距離為＝，所以2＋()2＝()2，解得a2＝2，所以圓C的半徑為2，所以圓C的面積為4π.
10．[2018·沈陽(yáng)質(zhì)檢]過(guò)點(diǎn)M(1,2)的直線l與圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝25交于A，B兩點(diǎn)，C為圓心，當(dāng)∠ACB最小時(shí)，直線l的方程是________．
答案 x＋y－3＝0
解析 依題意得知，當(dāng)∠A
30、CB最小時(shí)，圓心C到直線l的距離達(dá)到最大，此時(shí)直線l與直線CM垂直，又直線CM的斜率為1，因此所求的直線l的方程是y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
[B級(jí) 知能提升]
1．已知圓C：(x－)2＋(y－1)2＝1和兩點(diǎn)A(－t,0)，B(t,0)，(t>0)，若圓C上存在點(diǎn)P，使得∠APB＝90°，則t的取值范圍是( )
A．(0,2] B．[1,2] C．[2,3] D．[1,3]
答案 D
解析 由題意可知，若使圓C上存在點(diǎn)P，使得∠APB＝90°，即圓C與以原點(diǎn)O為圓心，半徑為t的圓有交點(diǎn)，即|OC|－1≤t≤|OC|＋1，即1≤t≤3，∴t的取值范圍為[1,3]
31、，故選D.
2．[2017·河南洛陽(yáng)二模]已知圓C的方程為x2＋y2＝1，直線l的方程為x＋y＝2，過(guò)圓C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為45°的直線交l于點(diǎn)A，則|PA|的最小值為( )
A. B．1 C.－1 D．2－
答案 D
解析 解法一：由題意可知，直線PA與坐標(biāo)軸平行或重合，不妨設(shè)直線PA與y軸平行或重合，設(shè)P(cosα，sinα)，則A(cosα，2－cosα)，∴|PA|＝|2－cosα－sinα|＝，∴|PA|的最小值為2－.故選D.
解法二：由題意可知圓心(0,0)到直線x＋y＝2的距離d＝＝，∴圓C上一點(diǎn)到直線x＋y＝2的距離的最小值為－1.由題意可得|PA|m
32、in＝(－1)＝2－.故選D.
3．[2017·江蘇高考]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(－12,0)，B(0,6)，點(diǎn)P在圓O：x2＋y2＝50上．若·≤20，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是________．
答案 [－5，1]
解析 解法一：因?yàn)辄c(diǎn)P在圓O：x2＋y2＝50上，
所以設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，±)(－5≤x≤5)．
因?yàn)锳(－12,0)，B(0,6)，所以＝(－12－x，－)或＝(－12－x，)，＝(－x，6－)或＝(－x,6＋)．
因?yàn)椤ぁ?0，先取P(x, )進(jìn)行計(jì)算，
所以(－12－x)(－x)＋(－)(6－)≤20，即2x＋5≤ .
當(dāng)2x＋5≤0，即x≤－時(shí)，上
33、式恒成立；
當(dāng)2x＋5≥0，即x≥－時(shí)，(2x＋5)2≤50－x2，解得－5≤x≤1，故x≤1.
同理可得P(x，－)時(shí)，x≤－5.
又－5≤x≤5，所以－5≤x≤1.
故點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍為[－5，1]．
解法二：設(shè)P(x，y)，則＝(－12－x，－y)，＝(－x，6－y)．
∵·≤20，∴(－12－x)·(－x)＋(－y)(6－y)≤20，
即2x－y＋5≤0.
如圖，作圓O：x2＋y2＝50，直線2x－y＋5＝0與⊙O交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，
∵P在圓O上且滿足2x－y＋5≤0，
∴點(diǎn)P在上．
由得F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.
又D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－5，
∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值
34、范圍為[－5，1]．
4．[2017·全國(guó)卷Ⅲ]已知拋物線C：y2＝2x，過(guò)點(diǎn)(2,0)的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，圓M是以線段AB為直徑的圓．
(1)證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；
(2)設(shè)圓M過(guò)點(diǎn)P(4，－2)，求直線l與圓M的方程．
解 (1)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2，
由可得y2－2my－4＝0，則y1y2＝－4.
又x1＝，x2＝，故x1x2＝＝4.
因此OA的斜率與OB的斜率之積為·＝＝－1，所以O(shè)A⊥OB.
故坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上．
(2)由(1)可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4.
故圓心M的坐標(biāo)為
35、(m2＋2，m)，
圓M的半徑r＝.
由于圓M過(guò)點(diǎn)P(4，－2)，因此·＝0，
故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0，
即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0.
由(1)可得y1y2＝－4，x1x2＝4.
所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－.
當(dāng)m＝1時(shí)，直線l的方程為x－y－2＝0，圓心M的坐標(biāo)為(3,1)，圓M的半徑為，圓M的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝10.
當(dāng)m＝－時(shí)，直線l的方程為2x＋y－4＝0，圓心M的坐標(biāo)為，圓M的半徑為，
圓M的方程為2＋2＝.
5．[2015·全國(guó)卷Ⅰ]已知過(guò)點(diǎn)A(0,1)且斜
36、率為k的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N兩點(diǎn)．
(1)求k的取值范圍；
(2)若·＝12，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|MN|.
解 (1)由題設(shè)，可知直線l的方程為y＝kx＋1.
因?yàn)閘與C交于兩點(diǎn)，所以<1，
解得
（全國(guó)版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 平面解析幾何 第4講 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系學(xué)案
