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2022年高中數(shù)學(xué)必修四 2.4.1《平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義》教案2

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1、2022年高中數(shù)學(xué)必修四 2.4.1《平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義》教案2 備課人 授課時(shí)間 課題 §2.4.1平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義 課標(biāo)要求 掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律 教 學(xué) 目 標(biāo) 知識(shí)目標(biāo) 掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義及向量垂直的條件. 技能目標(biāo) 用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問(wèn)題 情感態(tài)度價(jià)值觀 培養(yǎng)細(xì)心嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度 重點(diǎn) 平面向量的數(shù)量積定義 難點(diǎn) 平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解和平面向量數(shù)量積的應(yīng)用 教 學(xué) 過(guò) 程 及 方 法 問(wèn)題與情境

2、及教師活動(dòng) 學(xué)生活動(dòng) 一、復(fù)習(xí)引入: 1. 向量共線定理 向量與非零向量共線的充要條件是:有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù)λ,使=λ. 2.平面向量基本定理:如果,是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1,λ2使=λ1+λ2 3.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 若,,則,,. 若,,則 4. 力做的功:W = |F|×|s|cosq,q是F與s的夾角. 二、講解新課: 1.兩個(gè)非零向量夾角的概念 已知非零向量a與b,作=a,=b,則∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a與b的夾角. 說(shuō)明:(1)當(dāng)θ=0時(shí),a與b同向; (2)當(dāng)θ=π時(shí),a與b反向; C

3、 教 學(xué) 過(guò) 程 及 方 法 問(wèn)題與情境及教師活動(dòng) 學(xué)生活動(dòng) (3)當(dāng)θ=時(shí),a與b垂直,記a⊥b; (4)注意在兩向量的夾角定義,兩向量必須是同起點(diǎn)的.范圍0°≤q≤180° C 2.平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義:已知兩個(gè)非零向量a與b,它們的夾角是θ,則數(shù)量|a||b|cosq叫a與b的數(shù)量積,記作a×b,即有a×b = |a||b|cosq,(0≤θ≤π).并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0. ×探究:兩個(gè)向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積

4、有很大區(qū)別 (1)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù),不是向量,符號(hào)由cosq的符號(hào)所決定. (2)兩個(gè)向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積,寫成a×b;今后要學(xué)到兩個(gè)向量的外積a×b,而a×b是兩個(gè)向量的數(shù)量的積,書寫時(shí)要嚴(yán)格區(qū)分.符號(hào)“· ”在向量運(yùn)算中不是乘號(hào),既不能省略,也不能用“×”代替. (3)在實(shí)數(shù)中,若a10,且a×b=0,則b=0;但是在數(shù)量積中,若a10,且a×b=0,不能推出b=0.因?yàn)槠渲衏osq有可能為0. (4)已知實(shí)數(shù)a、b、c(b10),則ab=bc T a=c.但是a×b = b×c a = c 如右圖:a×b = |a||b|cosb = |b||OA|,b×c

5、= |b||c|cosa = |b||OA| T a×b = b×c 但a 1 c (5)在實(shí)數(shù)中,有(a×b)c = a(b×c),但是(a×b)c 1 a(b×c) 顯然,這是因?yàn)樽蠖耸桥cc共線的向量,而右端是與a共線的向量,而一般a與c不共線. 3.向量數(shù)量積的運(yùn)算律 4.“投影”的概念:作圖 .

6、 教 學(xué) 過(guò) 程 及 方 法 問(wèn)題與情境及教師活動(dòng) 學(xué)生活動(dòng) 定義:|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影 投影也是一個(gè)數(shù)量,不是向量;當(dāng)q為銳角時(shí)投影為正值;當(dāng)q為鈍角時(shí)投影為負(fù)值;當(dāng)q為直角時(shí)投影為0;當(dāng)q = 0°時(shí)投影為 |b|;當(dāng)q = 180°時(shí)投影為 -|b|. 4.向量的數(shù)量積的幾何意義: 數(shù)量積a×b等于a的長(zhǎng)度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積. 5.兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì): 設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量,e是與b同向的單位向量. 1° e×a = a×e =|a|cosq 2° a^b ? a

7、×b = 0 3° 當(dāng)a與b同向時(shí),a×b = |a||b|;當(dāng)a與b反向時(shí),a×b = -|a||b|. 特別的a×a = |a|2或 4° cosq = 5° |a×b| ≤ |a||b| 三、講解范例:課本104頁(yè)例1 105頁(yè)例2 例3 例4 例5判斷正誤,并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由. ①a·0=0;②0·a=0;③0-=;④|a·b|=|a||b|;⑤若a≠0,則對(duì)任一非零b有a·b≠0;⑥a·b=0,則a與b中至少有一個(gè)為0;⑦對(duì)任意向量a,b,с都有(a·b)с=a(b·с);⑧a與b是兩個(gè)單位向量,則a2=b2. 解:上述8個(gè)命題中只有③⑧正確; 評(píng)述:這一類型題,要求學(xué)生確實(shí)把握好數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律. 五、小結(jié)(略) 六、課后作業(yè)(略) 教 學(xué) 小 結(jié) 課后 反思

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