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1、2022年高中數(shù)學(xué)必修四 4-1.2.1《任意角的三角函數(shù)》(一)教案
教學(xué)目的:
知識目標(biāo):1.掌握任意角的三角函數(shù)的定義;
2.已知角α終邊上一點,會求角α的各三角函數(shù)值;
3.記住三角函數(shù)的定義域、值域,誘導(dǎo)公式(一)。
能力目標(biāo):(1)理解并掌握任意角的三角函數(shù)的定義;
(2)樹立映射觀點,正確理解三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù);
(3)通過對定義域,三角函數(shù)值的符號,誘導(dǎo)公式一的推導(dǎo),提高學(xué)生分析、探究、解決問題的能力。
德育目標(biāo): (1)使學(xué)生認(rèn)識到事物之間是有聯(lián)系的,三角函數(shù)就是角度(自變量)與比值(函數(shù)值)的一種聯(lián)系方式;
(2)學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化的思想,
2、培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)、一絲不茍的科學(xué)精神;
教學(xué)重點:任意角的正弦、余弦、正切的定義(包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號),以及這三種函數(shù)的第一組誘導(dǎo)公式。公式一是本小節(jié)的另一個重點。
教學(xué)難點:利用與單位圓有關(guān)的有向線段,將任意角α的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用他們的集合形式表示出來.
教學(xué)過程:
一、復(fù)習(xí)引入:初中銳角的三角函數(shù)是如何定義的?
在Rt△ABC中,設(shè)A對邊為a,B對邊為b,C對邊為c,銳角A的正弦、余弦、正切依次為 .
角推廣后,這樣的三角函數(shù)的定義不再適用,我們必須對三角函數(shù)重新定義。
二、講解新課:
1.三角函數(shù)定義
在直角坐標(biāo)系中,
3、設(shè)α是一個任意角,α終邊上任意一點(除了原點)的坐標(biāo)為,它與原點的距離為,那么
(1)比值叫做α的正弦,記作,即;
(2)比值叫做α的余弦,記作,即;
(3)比值叫做α的正切,記作,即;
(4)比值叫做α的余切,記作,即;
說明:①α的始邊與軸的非負(fù)半軸重合,α的終邊沒有表明α一定是正角或負(fù)角,以及α的大小,只表明與α的終邊相同的角所在的位置;
②根據(jù)相似三角形的知識,對于確定的角α,四個比值不以點在α的終邊上的位置的改變而改變大小;
③當(dāng)時,α的終邊在軸上,終邊上任意一點的橫坐標(biāo)都等于,
所以無意義;同理當(dāng)時,無意義;
④除以上兩種情況外,對于確定的值α,比值、
4、、、分別是一個確定的實數(shù),
正弦、余弦、正切、余切是以角為自變量,比值為函數(shù)值的函數(shù),以上四種函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)。
函 數(shù)
定 義 域
值 域
2.三角函數(shù)的定義域、值域
注意:
(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)研究角的問題,其頂點都在原點,始邊都與x軸的非負(fù)半軸重合.
(2) α是任意角,射線OP是角α的終邊,α的各三角函數(shù)值(或是否有意義)與ox轉(zhuǎn)了幾圈,按什么方向旋轉(zhuǎn)到OP的位置無關(guān).
(3)sin是個整體符號,不能認(rèn)為是“sin”與“α”的積.其余五個符號也是這樣.
(4)任意角的三角函數(shù)的
5、定義與銳角三角函數(shù)的定義的聯(lián)系與區(qū)別:
銳角三角函數(shù)是任意角三角函數(shù)的一種特例,它們的基礎(chǔ)共建立于相似(直角)三角形的性質(zhì),“r”同為正值. 所不同的是,銳角三角函數(shù)是以邊的比來定義的,任意角的三角函數(shù)是以坐標(biāo)與距離、坐標(biāo)與坐標(biāo)、距離與坐標(biāo)的比來定義的,它也適合銳角三角函數(shù)的定義.實質(zhì)上,由銳角三角函數(shù)的定義到任意角的三角函數(shù)的定義是由特殊到一般的認(rèn)識和研究過程.
(5)為了便于記憶,我們可以利用兩種三角函數(shù)定義的一致性,將直角三角形置于平面直角坐標(biāo)系的第一象限,使一銳角頂點與原點重合,一直角邊與x軸的非負(fù)半軸重合,利用我們熟悉的銳角三角函數(shù)類比記憶.
3.例題分析
例1.求下
6、列各角的四個三角函數(shù)值: (通過本例總結(jié)特殊角的三角函數(shù)值)
(1); (2); (3).
解:(1)因為當(dāng)時,,,所以
, , , 不存在。
(2)因為當(dāng)時,,,所以
, , , 不存在,
(3)因為當(dāng)時,,,所以
, , 不存在, ,
例2.已知角α的終邊經(jīng)過點,求α的四個函數(shù)值。
解:因為,所以,于是
; ;
; .
例3.已知角α的終邊過點,求α的四個三
7、角函數(shù)值。
解:因為過點,所以,
當(dāng);;
當(dāng);
; .
4.三角函數(shù)的符號
由三角函數(shù)的定義,以及各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的符號,我們可以得知:
①正弦值對于第一、二象限為正(),對于第三、四象限為負(fù)();
②余弦值對于第一、四象限為正(),對于第二、三象限為負(fù)();
③正切值對于第一、三象限為正(同號),對于第二、四象限為負(fù)(異號).
說明:若終邊落在軸線上,則可用定義求出三角函數(shù)值。
練習(xí): 確定下列三角函數(shù)值的符號:
(1); (2); (3); (4).
例4.求證:若且,則角是第三象限角,反之也成立。
5.誘導(dǎo)公式
8、由三角函數(shù)的定義,就可知道:終邊相同的角三角函數(shù)值相同。即有:
,
,其中.
,
這組公式的作用是可把任意角的三角函數(shù)值問題轉(zhuǎn)化為0~2π間角的三角函數(shù)值問題.
例5.求下列三角函數(shù)的值:(1), (2),
例6.求函數(shù)的值域
解: 定義域:cosx10 ∴x的終邊不在x軸上 又∵tanx10 ∴x的終邊不在y軸上
∴當(dāng)x是第Ⅰ象限角時, cosx=|cosx| tanx=|tanx| ∴y=2
…………Ⅱ…………, |cosx|=-cosx |tanx|=-tanx ∴y=-2
…………ⅢⅣ………, |cosx|=-cosx |tanx|=tanx ∴y=0
四、小 結(jié):本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容:
1.任意角的三角函數(shù)的定義;2.三角函數(shù)的定義域、值域;3.三角函數(shù)的符號及誘導(dǎo)公式。
五、鞏固與練習(xí)
1、教材P15面練習(xí);
2、作業(yè)P20面習(xí)題1.2A組第1、2、3(1)(2)(3)題及P21面第9題的(1)、(3)題。