《（浙江專用）2021版新高考數(shù)學一輪復習 第六章 數(shù)列與數(shù)學歸納法 4 第4講 數(shù)列求和教學案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（浙江專用）2021版新高考數(shù)學一輪復習 第六章 數(shù)列與數(shù)學歸納法 4 第4講 數(shù)列求和教學案（17頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第4講　數(shù)列求和 1．基本數(shù)列求和方法 (1)等差數(shù)列求和公式：Sn＝＝na1＋d． (2)等比數(shù)列求和公式：Sn＝ 2．一些常見數(shù)列的前n項和公式 (1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝； (2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2； (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n． 3．數(shù)列求和的常用方法 (1)倒序相加法 如果一個數(shù)列{an}的前n項中首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項和即是用此法推導的． (2)錯位相減法 如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構成的，那

2、么這個數(shù)列的前n項和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項和就是用此法推導的． (3)裂項相消法 把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和． (4)分組轉化法 一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組轉化法，分別求和后再相加減． (5)并項求和法 一個數(shù)列的前n項和，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解． [疑誤辨析] 判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)當n≥2時，＝－.(　　) (2)利用倒序相加法可求得sin21°＋sin22°＋s

3、in23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.(　　) (3)若Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan，當a≠0，且a≠1時，求Sn的值可用錯位相減法求得．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√ [教材衍化] 1．(必修5P61A組T5改編)一個球從100 m高處自由落下，每次著地后又跳回到原高度的一半再落下，當它第10次著地時，經(jīng)過的路程是(　　) A．100＋200(1－2－9)　　　　 B．100＋100(1－2－9) C．200(1－2－9) D．100(1－2－9) 解析：選A.第10次著地時，經(jīng)過的路程為100＋2(50＋25＋…＋100×2－9)

4、＝100＋2×100×(2－1＋2－2＋…＋2－9)＝100＋200×＝100＋200(1－2－9)． 2．(必修5P47B組T4改編)在數(shù)列{an}中，an＝，若{an}的前n項和為，則項數(shù)n為(　　) A．2 014 B．2 015 C．2 016 D．2 017 解析：選D.an＝＝－，Sn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝＝，所以n＝2 017.故選D. 3．(必修5P61A組T4(3)改編)1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1＝________(x≠0且x≠1)． 解析：設Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1，①　則xSn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，②?、伲诘茫?1

5、－x)Sn＝1＋x＋x2＋…＋xn－1－nxn＝－nxn，所以Sn＝－. 答案：－ [易錯糾偏] (1)不會分組致誤； (2)錯位相減法運用不熟練出錯． 1．已知數(shù)列：1，2，3，…，，…，則其前n項和關于n的表達式為________． 解析：設所求的數(shù)列前n項和為Sn，則 Sn＝(1＋2＋3＋…＋n)＋＋＋…＋＝＋1－. 答案：＋1－ 2．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn且an＝n·2n，則Sn＝________． 解析：Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，① 所以2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1，② ①－②得－Sn＝2＋22＋23＋

6、…＋2n－n×2n＋1＝－n×2n＋1， 所以Sn＝(n－1)2n＋1＋2. 答案：(n－1)2n＋1＋2 　　　　　　分組轉化法求和 設數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*. (1)求通項公式an； (2)求數(shù)列{|an－n－2|}的前n項和． 【解】　(1)由題意得則 又當n≥2時， 由an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an， 得an＋1＝3an. 所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝3n－1，n∈N*. (2)設bn＝|3n－1－n－2|，n∈N*，b1＝2，b2＝1. 當n≥3時，由于3n－1>

7、n＋2，故bn＝3n－1－n－2，n≥3. 設數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，則T1＝2，T2＝3. 當n≥3時， Tn＝3＋－＝， 所以Tn＝ 分組轉化法求和的常見類型 (1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組轉化法求{an}的前n項和； (2)通項公式為an＝的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組轉化法求和．　 1．數(shù)列{an}的通項公式an＝2n－n，前n項之和為Sn，則Sn＝________． 解析：Sn＝21＋22＋…＋2n－(1＋2＋…＋n)＝－＝2n＋1－. 答案：2n＋1－ 2．(202

8、0·麗水模擬)在等比數(shù)列{an}中，公比q≠1，等差數(shù)列{bn}滿足b1＝a1＝3，b4＝a2，b13＝a3. (1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式； (2)記cn＝(－1)nbn＋an，求數(shù)列{cn}的前2n項和S2n. 解：(1)設等差數(shù)列{bn}的公差為d. 則有解得或(舍去)， 所以an＝3n，bn＝2n＋1. (2)由(1)知cn＝(－1)n(2n＋1)＋3n， 則S2n＝(3＋32＋33＋…＋32n)＋{(－3)＋5＋(－7)＋9＋…＋[－(4n－1)]＋(4n＋1)} ＝＋[(5－3)＋(9－7)＋…＋(4n＋1－4n＋1)] ＝＋2n. 　　　　　　

9、錯位相減法求和 已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1＝2，b1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，b1＋b2＋b3＋…＋bn＝bn＋1－1(n∈N*)． (1)求an與bn的通項公式； (2)記數(shù)列{anbn}的前n項和為Tn，求Tn. 【解】　(1)由a1＝2，an＋1＝2an，得an＝2n(n∈N*)． 由題意知當n＝1時，b1＝b2－1，故b2＝2. 當n≥2時，bn＝bn＋1－bn， 整理得＝， 所以bn＝n. 當n＝1時，也符合bn＝n，綜上bn＝n(n∈N*)． (2)由(1)知anbn＝n·2n， 因此Tn＝2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n， 2Tn＝

10、22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1， 所以Tn－2Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1. 故Tn＝(n－1)2n＋1＋2(n∈N*)． 錯位相減法求和策略 (1)如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和時，可采用錯位相減法，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列{bn}的公比，然后作差求解． (2)在寫“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“Sn－qSn”的表達式． (3)在應用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應分公比等于1和不等于1兩種情況求解．　 1．數(shù)列，，，，…，的前10

11、項之和為________． 解析：S10＝＋＋＋…＋，① 所以S10＝＋＋…＋＋.② ①－②得 S10＝＋－ ＝＋－ ＝－－＝， 所以S10＝＝. 答案： 2．已知{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1＋ a2 ＝6，a1a2＝ a3. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2){bn}為各項非零的等差數(shù)列，其前n項和為Sn.已知S2n＋1＝bnbn＋1，求數(shù)列的前n項和Tn. 解：(1)設{an}的公比為q， 由題意知a1(1＋q)＝6，aq＝a1q2. 又an>0， 解得a1＝2，q＝2， 所以an＝2n. (2)由題意知：S2n＋1＝＝(2n＋1)bn＋

12、1， 又S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0， 所以bn＝2n＋1. 令cn＝， 則cn＝， 因此Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋＋＋…＋＋， 又Tn＝＋＋＋…＋＋， 兩式相減得 Tn＝＋－， 所以Tn＝5－. 　　　　　　裂項相消法求和(高頻考點) 裂項相消法求和是每年高考的熱點，題型多為解答題第二問，難度適中．主要命題角度有： (1)形如an＝型； (2)形如an＝型； (3)形如an＝(a>0，a≠1)型． 角度一　形如an＝型 (2020·舟山市普陀三中高三期中)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝1，＋＋＝12. (1)求{an}的通

13、項公式； (2)若bn＝，{bn}的前n項和為Tn，求證：Tn<. 【解】　(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d，則S2＝2a1＋d，S3＝3a1＋3d，S4＝4a1＋6d， 因為＋＋＝12， 所以3a1＋3d＝12，即3＋3d＝12，解得d＝3， 所以an＝1＋3(n－1)＝3n－2. (2)證明：bn＝＝， 所以Tn＝＋＋＋…＋ ＝ ＝ ＝， 所以Tn＝<＝. 角度二　形如an＝型 (2020·臺州質檢)已知函數(shù)f(x)＝xα的圖象過點(4，2)，令an＝，n∈N*.記數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則S2 018＝(　　) A.－1　　　　　　　 B.－1

14、 C.－1 D. ＋1 【解析】　由f(4)＝2可得4α＝2，解得α＝. 則f(x)＝x. 所以an＝＝＝－， 所以S2 018＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 018＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－ )＋(－)＝－1. 【答案】　C 角度三　形如an＝(a>0，a≠1)型 (2020·杭州市高三期末考試)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若Sn＝2an－n，則＋＋＋＝________． 【解析】　因為Sn＝2an－n，所以n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2an－n－[2an－1－(n－1)]， 所以an＝2an－1＋1，化為：an＋1＝2(an－1＋1)， n＝1時，a

15、1＝2a1－1，解得a1＝1. 所以數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列，首項為2，公比為2. 所an＋1＝2n，即an＝2n－1， 所以＝＝－. 所以＋＋＋＝＋＋…＋＝1－＝. 【答案】　 利用裂項相消法求和的注意事項 (1)抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項；或者前面剩幾項，后面也剩幾項； (2)將通項裂項后，有時需要調整前面的系數(shù)，使裂開的兩項之差和系數(shù)之積與原通項相等．如：若{an}是等差數(shù)列，則＝，＝(－)．　 　已知等差數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，a1＝3，前n項和為Sn，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，b1＝1，且b2S2＝64，b3S3

16、＝960. (1)求an與bn的通項公式； (2)求和：＋＋＋…＋. 解：(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q， 因為等差數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，即an>0， 所以d>0，an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1， 依題意得， 解得，或(舍去)， 故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1. (2)因為Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)， 所以＝＝， 所以＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋ ＝(1－＋－＋－＋…＋－)＝(1＋－－)＝－. [基礎題組練] 1．若數(shù)列{an}的通項公式是an＝(－1)n·(3n－2)，則a1＋a2＋

17、…＋a12＝(　　) A．18　　　　　　　　　 B．15 C．－18 D．－15 解析：選A.記bn＝3n－2，則數(shù)列{bn}是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列，所以a1＋a2＋…＋a11＋a12 ＝(－b1)＋b2＋…＋(－b11)＋b12＝(b2－b1)＋(b4－b3)＋…＋(b12－b11)＝6×3＝18. 2．已知{an}是首項為1的等比數(shù)列，Sn是{an}的前n項和，且9S3＝S6，則數(shù)列的前5項和為(　　) A.或5 B.或5 C. D. 解析：選C.設數(shù)列{an}的公比為q.由題意可知q≠1，且＝，解得q＝2，所以數(shù)列是以1為首項，為公比的等比數(shù)列

18、，由求和公式可得S5＝. 3．數(shù)列{an}的通項公式是an＝，若前n項和為10，則項數(shù)n為(　　) A．120 B．99 C．11 D．121 解析：選A.an＝＝＝－，所以a1＋a2＋…＋an＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1＝10.即＝11，所以n＋1＝121，n＝120. 4．設各項均為正數(shù)的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a4a8＝32，則S11的最小值為(　　) A．22 B．44 C．22 D．44 解析：選B.因為數(shù)列{an}為各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，所以a4＋a8≥2＝8，S11＝＝(a4＋a8)≥×8＝44，故S11的最小值為44，當且僅

19、當a4＝a8＝4時取等號． 5．設等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a1＝，a＝4a2a8，若＝log2a1＋log2a2＋…＋log2an，則數(shù)列{bn}的前10項和為(　　) A．－ B. C．－ D. 解析：選A.設等比數(shù)列{an}的公比為q，因為a＝4a2a8，所以(a1q3)2＝4a1q·a1q7，即4q2＝1，所以q＝或q＝－(舍)，所以an＝＝2－n，所以log2an＝log22－n＝－n，所以＝－(1＋2＋3＋…＋n)＝－，所以bn＝－＝－2， 所以數(shù)列{bn}的前10項和為 －2＝ －2＝－. 6．(2020·杭州八校聯(lián)考)在各項都為正數(shù)的數(shù)列{an}

20、中，首項a1＝2，且點(a，a)在直線x－9y＝0上，則數(shù)列{an}的前n項和Sn等于(　　) A．3n－1 B. C. D. 解析：選A.由點(a，a)在直線x－9y＝0上，得a－9a＝0，即(an＋3an－1)(an－3an－1)＝0，又數(shù)列{an}各項均為正數(shù)，且a1＝2，所以an＋3an－1>0，所以an－3an－1＝0，即＝3，所以數(shù)列{an}是首項a1＝2，公比q＝3的等比數(shù)列，其前n項和Sn＝＝＝3n－1，故選A. 7．在等差數(shù)列{an}中，a1>0，a10·a11<0，若此數(shù)列的前10項和S10＝36，前18項和S18＝12，則數(shù)列{|an|}的前18項和T18

21、的值是________． 解析：由a1>0，a10·a11<0可知d<0，a10>0，a11<0， 所以T18＝a1＋…＋a10－a11－…－a18 ＝S10－(S18－S10)＝60. 答案：60 8．設函數(shù)f(x)＝＋log2，定義Sn＝f＋f＋…＋f，其中n∈N*，且n≥2，則Sn＝________． 解析：因為f(x)＋f(1－x)＝＋log2＋＋log2＝1＋log21＝1， 所以2Sn＝＋[f＋f]＋…＋＝n－1. 所以Sn＝. 答案： 9．數(shù)列的前n項和為，則n的值為________． 解析：由題意得＋＋＋…＋＝－＋－＋－＋…＋－＝1－＝＝.所以n＝99.

22、 答案：99 10．(2020·溫州中學高三?？?已知數(shù)列{an}滿足：a1＝，an＋1＝a＋an，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則的值等于________． 解析：因為an＋1＝a＋an，故an＋1－an＝a>0，即數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，由an＋1＝a＋an可得an＋1＝an(an＋1)，所以＝－，從而＝－， 所以1<＋＋…＋＝－<＝2，故＝1. 答案：1 11．(2020·金華十校聯(lián)考)設數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a1，22，a2，24，…，an，22n，…成等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，若Sk≥30(2k＋1)，

23、求正整數(shù)k的最小值． 解：(1)設等比數(shù)列的公比為q，則q2＝＝22， 又由題意q＞0，故q＝2， 從而an＝＝22n－1， 即數(shù)列{an}的通項公式為an＝22n－1. (2)由(1)知a1＝2，數(shù)列{an}是以22為公比的等比數(shù)列， 故Sn＝＝(22n－1)． 因此不等式Sk≥30(2k＋1)可化為(22k－1)≥30(2k＋1)，即(2k－1)(2k＋1)≥30(2k＋1)， 因為2k＋1＞0， 所以2k≥46， 即k≥log246， 又5＜log246＜6， 所以正整數(shù)k的最小值為6. 12．(2020·溫州市普通高中模考)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a

24、1＝，2Sn＝(n＋1)an＋1(n≥2)． (1)求{an}的通項公式； (2)設bn＝(n∈N*)，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，證明：Tn<(n∈N*)． 解：(1)當n＝2時，2S2＝3a2＋1，解得a2＝2. 當n＝3時，2S3＝4a3＋1， 解得a3＝3. 當n≥3時，2Sn＝(n＋1)an＋1，2Sn－1＝nan－1＋1， 以上兩式相減，得2an＝(n＋1)an－nan－1， 所以＝， 所以＝＝…＝＝1， 所以an＝. (2)證明：bn＝＝， 當n≥2時，bn＝<＝－， 所以Tn＝＋＋＋…＋＝－<. [綜合題組練] 1．已知{an}是等差數(shù)列，公差d

25、不為零，前n項和是Sn，若a3，a4，a8成等比數(shù)列，則(　　) A．a(chǎn)1d>0，dS4>0 B．a(chǎn)1d<0，dS4<0 C．a(chǎn)1d>0，dS4<0 D．a(chǎn)1d<0，dS4>0 解析：選B.因為 a3，a4，a8成等比數(shù)列，所以a＝a3a8，所以(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋7d)，展開整理，得－3a1d＝5d2，即a1d＝－d2.因為 d≠0，所以a1d＜0.因為 Sn＝na1＋d，所以S4＝4a1＋6d，dS4＝4a1d＋6d2＝－d2<0. 2．在等差數(shù)列{an}中，a2＝5，a6＝21，記數(shù)列的前n項和為Sn，若S2n＋1－Sn≤對任意的n∈N*恒成立，則正整

26、數(shù)m的最小值為(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：選C.在等差數(shù)列{an}中，因為a2＝5，a6＝21， 所以解得a1＝1，d＝4， 所以＝＝. 因為－ ＝－ ＝－－＝－－ ＝＋>0，所以數(shù)列(n∈N*)是遞減數(shù)列，數(shù)列(n∈N*)的最大項為S3－S1＝＋＝，所以≤，m≥.又m是正整數(shù)，所以m的最小值是5. 3．設a1，d為實數(shù)，首項為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足S5S6＋15＝0，則d的取值范圍是________． 解析：由S5S6＋15＝0，得·(6a1＋d)＋15＝0. 整理可得2a＋9a1d＋10d2＋1＝0. 因

27、為a1，d為實數(shù)，所以Δ＝(9d)2－4×2×(10d2＋1)≥0，解得d≤－2或d≥2. 答案：d≤－2或d≥2 4．(2020·臺州診斷考試)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且當n≥2時，有＝1成立，則S2 017＝________． 解析：當n≥2時，由＝1，得2(Sn－Sn－1)＝(Sn－Sn－1)Sn－S＝－SnSn－1， 所以－＝1，又＝2，所以是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列， 所以＝n＋1，故Sn＝， 則S2 017＝. 答案： 5．(2020·浙江“七彩陽光”聯(lián)盟聯(lián)考)在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an. (1)求數(shù)列{

28、an}的通項公式； (2)設bn＝，數(shù)列{bn}的前n項的和為Sn，試求數(shù)列{S2n－Sn}的最小值． 解：(1)由條件an＋1＝2an得＝2·， 又a1＝2，所以＝2， 因此數(shù)列構成首項為2，公比為2的等比數(shù)列， 從而＝2·2n－1＝2n，因此，an＝n·2n. (2)由(1)得bn＝，設cn＝S2n－Sn，則cn＝＋＋…＋， 所以cn＋1＝＋＋…＋＋＋， 從而cn＋1－cn＝＋－>＋－＝0， 因此數(shù)列{cn}是單調遞增的，所以{cn}min＝c1＝. 6．(2020·嚴州階段測試)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a7＝4，a19＝2a9，數(shù)列{bn}的前n項和為

29、Tn，滿足42an－1＝λTn－(a5－1)(n∈N*)． (1)是否存在非零實數(shù)λ，使得數(shù)列{bn}為等比數(shù)列？并說明理由； (2)已知對于n∈N*，不等式＋＋＋…＋＜M恒成立，求實數(shù)M的最小值． 解：(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d， 則an＝a1＋(n－1)d. 因為 所以解得a1＝1，d＝， 所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝. 因為a5＝3，42an－1＝λTn－(a5－1)， 所以4n＝λTn－2，Tn＝4n＋. 當n＝1時，b1＝； 當n≥2時，bn＝Tn－Tn－1＝4n＋－4n－1－＝4n－1. 所以bn＋1＝4n＝4bn(n≥2)， 若數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，則有b2＝4b1， 而b2＝，所以＝2與b2＝4b1矛盾． 故不存在非零實數(shù)λ，使得數(shù)列{bn}為等比數(shù)列． (2)由(1)知Sn＝， 所以＝＝， 從而＋＋＋…＋ ＝ ＝ ＝＜， 所以M ≥，故實數(shù)M的最小值為. 17