《（浙江專用）2021版新高考數(shù)學一輪復習 第十章 計數(shù)原理與古典概率 5 第5講 古典概型教學案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專用）2021版新高考數(shù)學一輪復習 第十章 計數(shù)原理與古典概率 5 第5講 古典概型教學案（14頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第5講　古典概型 1．基本事件的特點 (1)任何兩個基本事件都是互斥的． (2)任何事件都可以表示成基本事件的和(除不可能事件)． 2．古典概型 (1)特點 ①試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個，即有限性． ②每個基本事件發(fā)生的可能性相等，即等可能性． (2)概率公式 P(A)＝． [教材衍化] 1．(必修3P127例3改編)一個盒子里裝有標號為1，2，3，4的4張卡片，隨機地抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率是________． 解析：抽取兩張卡片的基本事件有：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6種，

2、和為奇數(shù)的事件有：(1，2)，(1，4)，(2，3)，(3，4)，共4種．所以所求概率為＝. 答案： 2．(必修3P145A組T5改編)袋中裝有6個白球， 5個黃球，4個紅球．從中任取一球，則取到白球的概率為________． 解析：從袋中任取一球，有15種取法，其中取到白球的取法有6種，則所求概率為P＝＝. 答案： 3．(必修3P134A組T6改編)已知5件產(chǎn)品中有2件次品，其余為合格品．現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件，恰有一件次品的概率為________． 解析：從5件產(chǎn)品中任取2件共有C＝10(種)取法，恰有一件次品的取法有CC＝6(種)，所以恰有一件次品的概率為＝0.6. 答案

3、：0.6 　　　　　　求古典概型的概率(高頻考點) 求古典概型的概率問題是高考考查的熱點．主要命題角度有： (1)直接列舉法；(2)圖表、樹型法； (3)逆向思維法；(4)對稱性法． 角度一　直接列舉法 袋中有6個球，其中4個白球，2個紅球，從袋中任意取出兩個，求下列事件的概率． (1)取出的兩球都是白球； (2)取出的兩球一個是白球，另一個是紅球． 【解】　設(shè)4個白球的編號為1，2，3，4，2個紅球的編號為5，6，從袋中的6個小球中任取兩個的所有可能結(jié)果如下： (1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，

4、6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共15個． (1)從袋中的6個球中任取兩個，所取的兩球全是白球的方法數(shù)，即是從4個白球中任取兩個的方法數(shù)，共有6個，即為(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)． 所以取出的兩個球全是白球的概率為P＝＝. (2)從袋中的6個球中任取兩個，其中一個是紅球，而另一個為白球，其取法包括(1，5)，(1，6)，(2，5)，(2，6)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，共8個． 所以取出的兩個球一個是白球，另一個是紅球的概率為P＝. 角度二　圖表、樹型法 一個口袋內(nèi)裝有

5、大小相等的1個白球和已編有不同號碼的3個黑球，從中摸出2個球，則摸出2個黑球的概率為____________． 【解析】　如圖所示，所有結(jié)果組成的集合U含有6個元素，故共有6種不同的結(jié)果． U的子集A有3個元素，故摸出2個黑球有3種不同的結(jié)果． 因此，摸出2個黑球的概率是P＝＝. 【答案】　 角度三　逆向思維法 同時拋擲兩枚骰子，則至少有一個5點或6點的概率為____________． 【解析】　至少有一個5點或6點的對立事件是：沒有5點或6點．因為沒有5點或6點的結(jié)果共有16個，而拋擲兩枚骰子的結(jié)果共有36個，所以沒有5點或6點的概率為P＝＝.至少有一個5點或6點的概率為

6、1－＝. 【答案】　 角度四　對稱性法 有A，B，C，D，E共5人站成一排，則A在B的右邊(A，B可以不相鄰)的概率為____________． 【解析】　由于A，B不相鄰，A在B的右邊和B在A的右邊的總數(shù)是相等的，且A在B的右邊的排法數(shù)與B在A的右邊的排法數(shù)組成所有基本事件總數(shù)，所以A在B的右邊的概率是. 【答案】　 (1) (2)求較復雜事件的概率問題的方法 ①將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和事件，再利用互斥事件的概率加法公式求解． ②先求其對立事件的概率，再利用對立事件的概率公式求解．　 1．從分別標有1，2，…，9的9張卡片中不放回地隨機抽取2次，每

7、次抽取1張，則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：選C.所求概率為P＝＝. 2．(2020·臺州高三教學質(zhì)量評估)袋子里裝有編號分別為“1，2，2，3，4，5”的6個大小、質(zhì)量相同的小球，某人從袋子中一次任取3個球，若每個球被取到的機會均等，則取出的3個球編號之和大于7的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選B.由題設(shè)取三個球的所有可能有n＝C＝＝20，其中編號之和小于或等于7的所有可能有(1，2，2)，(1，2，3)，(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，4)，(2，2，3)，共6種，其概率

8、P＝＝，所以3個球編號之和大于7的概率為P′＝1－＝. 3．(2020·溫州八校聯(lián)考)依次從標號為1，2，3，4，5的五個黑球和標號為6，7，8，9的四個白球中隨機地各取一個球，用數(shù)對(x，y)表示事件“抽到兩個球標號分別為x，y”． (1)問共有多少個基本事件？并列舉出來； (2)求所抽取的標號之和小于11但不小于9或標號之和大于12的概率． 解：(1)共有20個基本事件，列舉如下：(1，6)，(1，7)，(1，8)，(1，9)，(2，6)，(2，7)，(2，8)，(2，9)，(3，6)，(3，7)，(3，8)，(3，9)，(4，6)，(4，7)，(4，8)，(4，9)，(5，6)，

9、(5，7)，(5，8)，(5，9)，共20個． (2)記事件“所抽取的標號之和小于11但不小于9”為事件A，由(1)可知事件A共含有7個基本事件，列舉如下：(1，8)，(1，9)，(2，7)，(2，8)，(3，6)，(3，7)，(4，6)，共7個．“抽取的標號之和大于12”記作事件B，則事件B包含：(4，9)，(5，8)，(5，9)，共3個．故P(A)＋P(B)＝＋＝，故抽取的標號之和小于11但不小于9或大于12的概率為. 　　　　　　古典概型與其他知識的交匯(高頻考點) 近幾年高考對交匯型古典概型問題有所側(cè)重．主要命題角度有： (1)與平面向量的交匯； (2)與函數(shù)(方程)的交

10、匯； (3)與解析幾何的交匯． 角度一　與平面向量的交匯 從集合{2，3，4，5}中隨機抽取一個數(shù)a，從集合{1，3，5}中隨機抽取一個數(shù)b，則向量m＝(a，b)與向量n＝(1，－1)垂直的概率為(　　) A. B. C. D. 【解析】　由題意可知m＝(a，b)有：(2，1)，(2，3)，(2，5)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(4，1)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)，共12種情況． 因為m⊥n，即m·n＝0， 所以a×1＋b×(－1)＝0，即a＝b， 滿足條件的有(3，3)，(5，5)，共2個， 故所求的概率為. 【答案

11、】　A 角度二　與函數(shù)(方程)的交匯 已知|p|≤3，|q|≤3，當p，q∈Z，則方程x2＋2px－q2＋1＝0有兩個相異實數(shù)根的概率是________． 【解析】　由方程x2＋2px－q2＋1＝0有兩個相異實數(shù)根，可得Δ＝(2p)2－4(－q2＋1)>0，即p2＋q2>1. 當p，q∈Z時，設(shè)點M(p，q)， 如圖，直線p＝－3，－2，－1，0，1，2，3和直線q＝－3，－2，－1，0，1，2，3的交點，即為點M，共有49個，其中在圓上和圓內(nèi)的點共有5個(圖中黑點)．當點M(p，q)落在圓p2＋q2＝1外時，方程x2＋2px－q2＋1＝0有兩個相異實數(shù)根， 所以方程x2＋2

12、px－q2＋1＝0有兩個相異實數(shù)根的概率P＝＝. 【答案】　 角度三　與解析幾何的交匯 甲、乙兩顆質(zhì)地均勻且形狀為正方體的骰子，它的六個面上的點數(shù)依次為1，2，3，4，5，6，現(xiàn)將甲、乙兩顆骰子先后各拋一次，a，b分別表示擲甲、乙兩顆骰子所出現(xiàn)的向上的點數(shù)． (1)若“點M(a，b)落在直線x＋y＝6上的事件”記為A，求事件A的概率； (2)若“點M(a，b)落在圓x2＋y2＝25內(nèi)部的事件”記為B，求事件B的概率． 【解】　(1)先后拋擲甲、乙兩顆骰子所得的點M(a，b)共有36個，其中落在直線x＋y＝6上的點有(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，共5個

13、點， 所以P(A)＝. (2)同(1)，落在圓x2＋y2＝25的內(nèi)部的點共有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，共13個點， 所以P(B)＝. 求解古典概型與其他知識交匯問題的思路 解決古典概型與其他知識交匯問題，其關(guān)鍵是將平面向量、直線與圓、函數(shù)的單調(diào)性及方程的根的情況轉(zhuǎn)化為概率模型，再按照求古典概型的步驟求解．　 　設(shè)a∈{2，4}，b∈{1，3}，函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1. (1)求f(x)在區(qū)間(－∞，－1]上是減函數(shù)的概率； (2)從f(

14、x)中隨機抽取兩個，求它們在(1，f(1))處的切線互相平行的概率． 解：(1)由題意－≥－1，即b≤a. 而(a，b)共有C·C＝4種，滿足b≤a的有3種，故概率為. (2)由(1)可知，函數(shù)f(x)共有4種可能，從中隨機抽取兩個，有6種抽法． 因為函數(shù)f(x)在(1，f(1))處的切線的斜率為f′(1)＝a＋b， 所以這兩個函數(shù)中的a與b之和應該相等，而只有(2，3)，(4，1)這1組滿足，故概率為. 　　　　　　古典概型概率的應用 將一顆骰子投擲兩次，第一次出現(xiàn)的點數(shù)記為a，第二次出現(xiàn)的點數(shù)記為b，設(shè)任意投擲兩次使兩條不重合直線l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2

15、平行的概率為P1，相交的概率為P2，若點(P1，P2)在圓(x－m)2＋y2＝的內(nèi)部，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A.　　　　　 B. C. D. 【解析】　對于a與b各有6種情形，故總數(shù)為36種． 兩條直線l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2平行的情形有a＝2，b＝4或a＝3，b＝6，故概率為P1＝＝，兩條直線l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2相交的情形除平行與重合(a＝1，b＝2)即可， 所以P2＝＝， 因為點(P1，P2)在圓(x－m)2＋y2＝的內(nèi)部， 所以＋＜， 解得－＜m＜，故選D. 【答案】　D 概率問題主要體現(xiàn)必然與或然思想，在生活、生產(chǎn)

16、中有著廣泛的應用．在高考中常以生產(chǎn)、生活中的決策與判斷、求參數(shù)的范圍等問題呈現(xiàn)，多具有開放性特點．　 　甲、乙兩人各拿出200元，用作擲硬幣游戲的獎金，兩人商定：一局中擲出正面向上則甲勝，否則乙勝，誰先勝三局就得所有獎金．比賽開始后，甲勝了兩局，乙勝了一局，這時因為意外事件中斷游戲，請問怎樣分配這400元才合理？ 解：為了決出勝負，最多再賽兩局，用“甲”表示甲勝，用“乙”表示乙勝，于是這兩局有四種可能：(甲，甲)，(甲，乙)，(乙，甲)，(乙，乙)． 其中甲獲勝有3種情況，而乙獲勝只有1種情況，所以甲獲勝的概率是，乙獲勝的概率是. 因此，合理的分法為甲得300元，乙得100元． [

17、基礎(chǔ)題組練] 1．從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：選D.依題意，記兩次取得卡片上的數(shù)字依次為a，b，則一共有25個不同的數(shù)組(a，b)，其中滿足a>b的數(shù)組共有10個，分別為(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，因此所求的概率為＝，選D. 2．高三畢業(yè)時，甲、乙、丙等五位同學站成一排合影留念，已知甲、乙相鄰，則甲、丙相鄰的概率為(　　) A.

18、 B. C. D. 解析：選B.五人排隊，甲、乙相鄰的排法有AA＝48(種)，若甲、丙相鄰，此時甲在乙、丙中間，排法有AA＝12(種)，故甲、丙相鄰的概率為＝. 3．袋中共有15個除了顏色外完全相同的球，其中有10個白球，5個紅球，從袋中任取2個球，所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球的概率為(　　) A．1 B. C. D. 解析：選C.從袋中任取2個球共有C＝105種，其中恰好1個白球，1個紅球共有CC＝50種，所以恰好1個白球，1個紅球的概率為＝. 4．(2020·臺州高三質(zhì)檢)已知集合M＝{1，2，3，4}，N＝{(a，b)|a∈M，b∈M}，A是集合N中任

19、意一點，O為坐標原點，則直線OA與y＝x2＋1有交點的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：選C.易知過點(0，0)與y＝x2＋1相切的直線為y＝2x(斜率小于0的無需考慮)，集合N中共有16個元素，其中使OA斜率不小于2的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，4)，共4個，由古典概型知概率為＝. 5．(2020·湖州模擬)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋b2x＋1，若a是從1，2，3三個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0，1，2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，則該函數(shù)有兩個極值點的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選D.f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要

20、使函數(shù)f(x)有兩個極值點，則有Δ＝(2a)2－4b2＞0，即a2＞b2.由題意知所有的基本事件有9個，即(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，其中第一個數(shù)表示a的取值，第二個數(shù)表示b的取值．滿足a2＞b2的有6個基本事件，即(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，所以所求事件的概率為＝. 6．一個三位自然數(shù)百位，十位，個位上的數(shù)字依次為a，b，c，當且僅當a＞b，b＜c時稱為“凹數(shù)”(如213，312等)，若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，則這個三位數(shù)為“凹數(shù)”的概率

21、是(　　) A. B. C. D. 解析：選C.由1，2，3組成的三位自然數(shù)為123，132，213，231，312，321，共6個； 同理由1，2，4組成的三位自然數(shù)共6個； 由1，3，4組成的三位自然數(shù)也是6個； 由2，3，4組成的三位自然數(shù)也是6個． 所以共有6＋6＋6＋6＝24個． 當b＝1時，有214，213，314，412，312，413，共6個“凹數(shù)”． 當b＝2時，有324，423，共2個“凹數(shù)”． 所以這個三位數(shù)為“凹數(shù)”的概率P＝＝. 7．(2020·杭州學軍中學高三質(zhì)檢)甲、乙兩個箱子里各裝有2個紅球和1個白球，現(xiàn)從兩個箱子中隨機各取一個球，

22、則至少有一個紅球的概率為________． 解析：兩個箱子各取一個球全是白球的概率P＝＝，所以至少有一個紅球的概率為1－P＝1－＝. 答案： 8．在3張獎券中有一、二等獎各1張，另1張無獎．甲、乙兩人各抽取1張，兩人都中獎的概率是________． 解析：記“兩人都中獎”為事件A，設(shè)中一、二等獎及不中獎分別記為1，2，0，那么甲、乙抽獎結(jié)果有(1，2)，(1，0)，(2，1)，(2，0)，(0，1)，(0，2)，共6種．其中甲、乙都中獎有(1，2)，(2，1)，2種，所以P(A)＝＝. 答案： 9．從20名男生、10名女生中任選3名參加體能測試，則選到的3名學生中既有男生又有女生的

23、概率為________． 解析：選到的學生中有男生1名、女生2名的選法有CC 種，選到的學生中有男生2名、女生1名的選法有CC 種，則選到的3名學生中既有男生又有女生的概率為P＝＝. 答案： 10．有100本書，既分為文科、理科2類，又分為精裝、平裝2種，其中文科書40本，精裝書70本，理科的平裝書20本，則： (1)任取1本恰是文科精裝書的概率是________； (2)先任取1本恰是文科書，放回后再取1本恰是精裝書的概率是________． 解析：(1)基本事件總數(shù)為100，其中文科書40本，理科書60本；精裝書70本，理科的平裝書20本，精裝書40本；文科的精裝書30本，文科

24、的平裝書10本． 則任取1本恰是文科精裝書的概率為＝0.3. (2)基本事件總數(shù)為100×100，則所求概率P＝＝×＝0.28. 答案：(1)0.3　(2)0.28 11．某旅游愛好者計劃從3個亞洲國家A1，A2，A3和3個歐洲國家B1，B2，B3中選擇2個國家去旅游． (1)若從這6個國家中任選2個，求這2個國家都是亞洲國家的概率； (2)若從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個，求這2個國家包括A1但不包括B1的概率． 解：(1)由題意知，從6個國家中任選2個國家，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有： {A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，

25、{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15個． 所選兩個國家都是亞洲國家的事件所包含的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3個． 則所求事件的概率為P＝＝. (2)從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有： {A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9個． 包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：{A1

26、，B2}，{A1，B3}，共2個， 則所求事件的概率為P＝. 12．在100件產(chǎn)品中，有95件合格品、5件次品，從中任取2件，求： (1)2件都是合格品的概率； (2)2件都是次品的概率； (3)1件是合格品、1件是次品的概率． 解：從100件產(chǎn)品中任取2件可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)就是從100個元素中任取2個元素的組合數(shù)C，由于任意抽取，這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，則C＝4 950為基本事件總數(shù)． (1)100件產(chǎn)品中有95件合格品，取到2件合格品的結(jié)果數(shù)就是從95個元素中任取2個的組合數(shù)C，記“任取2件都是合格品”為事件A1，那么P(A1)＝＝. (2)由于在100件產(chǎn)品中有5件次品，

27、取到2件次品的結(jié)果數(shù)為C，記“任取2件都是次品”為事件A2，那么事件A2的概率P(A2)＝＝. (3)記“任取2件，1件是次品，1件是合格品”為事件A3，而取到1件合格品、1件次品的結(jié)果有C·C種，則事件A3的概率P(A3)＝＝. [綜合題組練] 1．從1到10這十個自然數(shù)中隨機取三個數(shù)，則其中一個數(shù)是另兩個數(shù)之和的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：選A.不妨設(shè)取出的三個數(shù)為x，y，z(x

28、，則f(3a＋2)>f(2a)>0的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選B.因為a∈{，，2，4，5，8，9}， 所以3a＋2>2a， 又f(3a＋2)>f(2a)>0，所以函數(shù)f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)． 因為f(x)＝logax－3loga2＝loga， 所以a>1， 又f(2a)>0，所以loga>0， 所以>1，即a>4，則f(3a＋2)>f(2a)>0的概率P＝.故選B. 3．某同學同時擲兩顆骰子，得到的點數(shù)分別為a，b，則雙曲線－＝1的離心率e>的概率是________． 解析：由e＝>，得b>2a. 當a＝1時，b＝3，4，5，6四種情況；

29、 當a＝2時，b＝5，6兩種情況，總共有6種情況． 又同時擲兩顆骰子，得到的點數(shù)(a，b)共有36種結(jié)果． 所以所求事件的概率P＝＝. 答案： 4．連續(xù)拋擲同一顆均勻的骰子，記第i次得到的向上一面的點數(shù)為ai，若存在正整數(shù)k，使a1＋a2＋…＋ak＝6，則稱k為幸運數(shù)字，則幸運數(shù)字為3的概率是________． 解析：連續(xù)拋擲同一顆均勻的骰子3次，所含基本事件總數(shù)n＝6×6×6， 要使a1＋a2＋a3＝6，則a1，a2，a3可取1，2，3或1，1，4或2，2，2三種情況， 其所含的基本事件個數(shù)m＝A＋C＋1＝10. 故幸運數(shù)字為3的概率為P＝＝. 答案： 5．已知8支球隊

30、中有3支弱隊，以抽簽方式將這8支球隊分為A，B兩組，每組4支，求： (1)A，B兩組中有一組恰好有2支弱隊的概率； (2)A組中至少有2支弱隊的概率． 解：(1)法一：3支弱隊在同一組中的概率為×2＝， 故有一組恰好有2支弱隊的概率為1－＝. 法二：A組恰有2支弱隊的概率為，B組恰好有2支弱隊的概率為， 所以有一組恰好有2支弱隊的概率為＋＝. (2)法一：A組中至少有2支弱隊的概率為＋＝. 法二：A，B兩組有一組中至少有2支弱隊的概率為1(因為此事件為必然事件)．由于對A組和B組而言，至少有2支弱隊的概率是相同的，所以A組中至少有2支弱隊的概率為. 6．在某大型活動中，甲、乙

31、等五名志愿者被隨機地分到A，B，C，D四個不同的崗位服務，每個崗位至少有一名志愿者． (1)求甲、乙兩人同時參加A崗位服務的概率； (2)求甲、乙兩人不在同一個崗位服務的概率； (3)求五名志愿者中僅有一人參加A崗位服務的概率． 解：(1)記“甲、乙兩人同時參加A崗位服務”為事件EA，那么P(EA)＝＝，即甲、乙兩人同時參加A崗位服務的概率是. (2)記“甲、乙兩人同時參加同一崗位服務”為事件E，那么P(E)＝＝，所以甲、乙兩人不在同一崗位服務的概率是P()＝1－P(E)＝. (3)有兩人同時參加A崗位服務的概率P2＝＝，所以僅有一人參加A崗位服務的概率P1＝1－P2＝. 14